BD-CE.AP UC-CA.FIS

Ex. It. Par lessommets d'un triangle ABC,oii mène trois droites passant pariin môme pfiinl d couiiBiil les côtes opposes aux points D, E, F ; prouver que l'on a toujours BD-CEAF DCEA.FB" " Ex. 19. Étant donne un quodrilstère ABCD, on mène los diagonales du parallëlo- Rrauimc ayant pour sommets les milieux des côtés; soit I leur point d'inlerseetion, et F, G, les milieux des diagonales du quadnlatère. Les points I, F, G sont eu ligne droite et le point I est le milieu de FG.

aï. Trouver l'équation d'une droite qui passe par un point el (/(»' est parallèle à une droite donnée.

Soit M (37', y') et y == px -t- q le point et la droite donniîs. La droite chercTiée nura une équation de la forme {N° ^2)

y =' px -i- ï, cl, comme clic doit passer par le point M (x', y'), on a la condition 1/' =pa;' -t- l.

En retranchan! membre à membre, le eoe/Rriont indétcrmini! ). disparait, et il vient, pour l'équation demandée,

Ex. 1. Quelle est l'eqnation d'une droite passant par M (a;', y') et parallèle à l'uno des droites suivantes :

Ay-4-ftK4-C = 0, -M-|=:l?

R. A{,j-y-)-^li{^~^') = 0, IZ^ + 'LZlL^O.

Es. ». Un triangle a pour sommets A (1, 2), B(— 1, 1), C (,1,5); trouver les droites nisnécs par les sommets parallèlemcitt aux côtés opposés.

R. ig-x = l, ï,= I, ay-ï-I^O.

38. Trouver l'équation générale des droites qui passent par le point d'intersection de deux droites données.

Soient les équalions des droites données,

y — m.r — 6 =■ 0, y — m'x ~ 6' == 0; l'équation demandée sera

(k) y — mx — 6 = ï, (y — m'x — 6'),

dans laquelle }. est indéterminé. En effet, elle est du premier degré en x

ety, et, à cause de la présence de J.j elle représente une infinité de droites; de plus, loules ces droites passent par le point d'intersection des deux premières; car les coordonnées de ce point annulent le premier et le second membre de l'équation, quel que soit i.

Une condition uonvelle permettra de déterminer 1; si, par exemple, la droite est assujettie à passer par un point M {x', y'), on a In relation 9'»,.'-6»(,'-mV l').

Par l'élimination de )., on Ironve l'équation

y — ma: — b y — m'x — 6' y' ~ mx' — b" y' — m'x' — b' qui représente une droite issue du point d'intcrsecliondes deux premières, et passant par le point donné.

Pour exprimer que l'une des droites (k) doit être parallèle à la droite y — par — ^ = 0, il faudrait d'abord écrire ainsi l'équation

(1 —>))/-+- {m'I — m) a: -4- t'X — 6 = ; et la condition du parallélisme serait

— j— ZT^-

Cette relation suffit pour déterminer l.

Ex. I. DroitepasssntparM(l, — 2] etleptiintd'i

y = ac — 3 et ï-t-*

Es. *. Droite passant par l'origine et le point corn

a. Droite parallèle à 2?/ -i- oa; = S et passant par le point d'intersection Jes i de l'exfimple i.

39. Reconnaître si trois droites concourent en un même point.

Considérons les droites représentées par les équations Ay + B;c + C = 0, A'y -i- S'x + C = 0, A"i/ ■+■ B"x h- C" = 0.

On cherche les valeurs de a' et de y du point d'intersection des deux premières : si les valeurs obtenues satisfont à la troisième équation, les trois droites proposées passent par un môme point. On trouve ainsi, pour la condition {çcnéralc,