t- m cos 9 m -h cos S
BcosS — A Acose — b' Ex. t. Droite issue du point (— 1, 2) et perpendiculaire à la droite Sj: — 2i/=:5,
fl, % + 2œ = 8, Ex. «. Les sommets d'un triangle sont A(l, 2),B{— 1, ]),C(— 2, 5) trouver les équations des perpen dieu la ires abaissées des sommets sur les eûtes opposés.
Equuti,
™s dos eôLos :
2jf-ai-3 = 0,
Equali<
ma des perpcndiculaii-e
Eï. 3, Droite passant par ,11 (œ'i y') et perpendiculaire à - -i--^ I.
R, a (3^ - X-} — rj{s-y-} = 0.
Ex. 4. Les trois iiaulcurs d'un triangle passent par un m^inu puînt. En elTet, si on choisit deuï axes rectangulaires de manière à ce que les coordonnées lies sommets soient: A|i',0), 8(0,5,"), C{x"',0), on trouvera, pour les équations des
!/"!/ — x'[x — x"'j = 0, 7,"!/ — ar"'(cc — a') — 0. Jr^O;
Ex. 5. Les perpendiculaires élevées aux milieux des eûtes d'un triangle passent par un niéroc point.
Avec le triangle de l'exemple précédent, on aura, pour les équations des pcrpen-
Eu retranchant les deux premières, on retrouve la troisième ; donc, etc.
Ex. •. Droite passant par le point M(a!',y'j el perpendiculairi! kx cos!t+ijsiniL—p=0. R. (a! — x') siii H — (y — y') cos a = 0, ou » sin a — y eos i = ai' sio o — y' cos a,
Ex. ». Droite menée pur le point d'intersection des droites r, — 2c — S=0, i» + E — I ;= 0, et perpendiculaire il 2j — B* ^ 9.
41 . Chercher l'expression de la distance d'un point à une droite.
Supposons d'abord les axes reclaiigtilaires. La distance d'un point ^{^'< y') à une droite donnée y — mx — 6 = se compte sur la perpimdiciilaire i'cpi-ésenl<;c pnr lequalion
Soient xt, !)i les poordonnëes inconnues du jiieil de l;i perpendiculaire cl P la distnnce cherehce: on nurn
p = ^(^, :,',. + (y, jy.
Or, CD vertu d'une propriété des fractions égales,
yGoosle
Riimpliiçons les coordonnées courantes x cl y pat* Xi, yi : coniiiic le j)ied de la perpendiculaire appartient a la fois aux deux droites, i/p— mx, = b; il viendra donc, pour calculer les différences xi — a;', yi — y', les lîquations suivantes :
y< — .*/' __ — i^'' — ^') —iy' — '"^'— '') .
si on substitue leurs valeurs duns le radîeyl precédenl, on trouve, pour l'expression clie reliée,
Lorsque l'équation (le la droite donnée est de la forme At/+Ba:-+-C=0, wi ^ — - 1 (i ^ — -^ ; il vient, dans ce cas,
Le nuniéraleur de ces fractions est le premier membre de l'équation de la droite où x et y sont remplacés par x' et y' . De là découle cette règle ; Le premier membre de l'équation d'une droite Ay -hBx -t- C=^0, divisé par j/A* ■+■ B*, représetile la distance d'un point quelconque M {x, y) du plan à cette droite.
Enfin, si la droite donnée est représentée par l'équation x cos a+ «/sin a — ;i = 0, on n pour la perpendiculaire
I' =^ -■- =^ ± [x' cos <x -<r y' sin a. — p).
- y' sin a l/cos" a H- s
Donc, SI on substitue duns le premier membre de l'équation de la droite X cos a-t-t/sina — p=0 les coordonnées d'un point H {x',y'), on obtient une quantité x' cos a -i- y' sin a — p qui mesure la distance de ee point « la droite.
Pour nlti'ibuer des signes différents à la perpendiculaire suivant la position du point par rapport à la droite, il faut remarquer qu'avec x'-=0 et y' = 0, on a : x' cos a -H y'sin a.~p = — p. La distance de l'origine à la droite est négative; il faudra regarder, comme négatives, les perpendiculaires qui se rapportent aux points du plan situés du même coté de la droite que l'origine : car lu fonction a: cos a -h y sin « — p est continue;
__ 47 clic reste négative jusqu'il ce que le point M arrive sur l,i droite; elle passe alors par et devient positive pour un point situé au-delà. Lofsqiie les axes sont obliques, la distance
P =l/(x, — x'f -H {y, - y'y ^i{j:,~ x') (y, - y') cos se compte sur In perpeodicuUiîcc qui n pour équation y — .'/'
cosÛ mtôt les r
De là, on aur;
y — y' ^ —{x—x') ij—y' — mjx — x') ^ —y' + mx' + y ~ iiix ^ i + wtcosS m ■+■ cose ■ 1 H- m^ -t- 2mcosO " 1 -+- ut* -t- a»» eos C ' et, pour le pied (x,,y,) de la perpendiculaire,
y, — If- —(x,~x') — iy' -^ mx' — I,)
l -i- m cos 6 ï/n- cos 9 1 ^ )»' -+- %,t eos 6 lin substituant les valeurs de x, — x', iji — if lirées do ces équations dans le radical, on trouve, après les réductions,
. ^ (y- ->».'- 6) sine
/■l -t- !(i^ -1- 2m cos 9 Cette valeur de P est aussi proportionnelle à la quanlilé // — lux' — 6. E\. 1 . Dislaiicp ilu |)oiiit (— 1 , 5) à la ilroit« œ + Si/ — 5 = 0,
Ex. «. Distances de t'origin R. P =
ili'ollcs Ay -1- Bj! -H- C = cl
Ex. 3. Traiiïfir les équations lies liisseetriccs d'un triangle dont les côtés soDt Al/ + Hb -H C = 0, M y -t- li'jr -+-C' —Q, ,\"y 4- B"x -i- C" = 0,
on aura pour les liissecli'iecs iiiléi'ii'Ul'es, l'eiigiiie étant ilulls If Imiigic,
k {.Ky ^- Ban- C) — i' {A'y -t- B'x -1- C) =: 0,
li- (A'y H- B'» -I- C) - /;" (A"!^ -H B"œ + C") = 0.
k" {\-'y + D"x -H C") - lt{Ay-i-Bx-hC] = 0.
Ces ili'oiles cnnuniireul en un mf.ma jioiiil ; In somme lies éi)iiatïons iIoiidc = û.
En. 4. Élaiit doniiés Ips angles {«', ^'), (a", |î") de deux dfoil«s avec les ïxïS, dclormiiicr Ifls cnsinus des angles unalogues de In lisscclrice de l'angle de ei'S droites. Soient (a,, fs,) les angles clierdiés cl V celui des droiles. On aura
cciriee, on aurait
Ex. fi. Trouver les coordoiinées des jlicds lies perpendiculaires abaissées du point M (j)', S,') sur les dtoitos
Aï/ + lia: -1- C = 0, ir eos tt -+- j( siii K — p = li.
A (A</' .4- Ite' H- C) , B (Aï' -1- B-:' -4- C]
■ ^:ni^ ■ ^=^' ÂTipEi — '
Ex, O. Délermiiier l'aire d'un triangle en fonction des coordonnées des sommets. Soient \(x',y'), S(x",y"],C(s"' ,y'") les sommets, et S la surface du triangle. On sait que 2S = BG X Pi Pétant la perpendiculaire abaissée du sommet A sur BC. Or,
li. y^y-^
2S = r.' {■/' - y-') + ^" {y-" - V) + ^"' {</ - y"), as = j a/ y- 11.
E\. 9. Trouvai- la surface d'un friaiigic dont les cûlcs sont reiii-dscntés [lar les équatious
Af^ + Ba + C = 0, k'y -¥ B'j: -(- C = 0, A"î/ + B";c + C" = 0. Il faut chercher les cflordonn&s des points d'intersection de «es droites prises deux à deus, et les substituer ensuite dans l'expression prceëdcnlft. Ou trouvera g g [A (B'C" - B"C) -I- A'(B"C — BC") + A" (RC - CB')]' (Ab' — BA') (A'B" — B'A") (BA" — AB") ou bien
ABAB'IB
Eï. S. Chercher I t\prtssion de H surlact, d un polvoonc, (onnaissint les coordonnées des sommets.
Soient A(s', y'), B [r ,y ) I (a;"" y") les sommcls et 0( ji) un point
pris dans l'inlcricur du polygone Jn gnons ce derniep a loui les sommets, on aura
I» triangles dont la somme sera la surface cherchée Transpoilons 1 origine en O et
mettons l'indice 1 aux coordonnées uou\ elles des sommet» On peut tutite
Mais x't = ï' — a, J!"i = s" — a, V, = !/ 2S=|3:'-a !(' — ,5 l + l J!" — « y"-
En développant chaque déterminant coromi cl substiluaiil, on [rouverii
I 5. DROITE lï1.VGl?iAIIlE. ÉQLATlOriS QUI REI'nÉSEiNTIiM IN SVSTKMK DE UROITES.
4Î. Jusqu'ici nous n'avons coosidéi'é que les viileiirs réelles île a; et y : Ji chaque sysièine de valeurs pour ces variables, coirespond un point rëcl
du plan. Par analogie, si on attribue à x et 1/ des valeurs imnginiiires de la forme h -4- «'(/■—- I, h-i-b'[/ — I, on dit que le point corresdant est imaginaire. Deux points imaginaires sont conjugués, si leurs coordonnées ne différent que par le signe des lermes qui renferment \/— i : ainsi le point M'(aT, = ((-+- ft' j/— i, i/ = (1 -t- &'[/ — I) et M" (x" ==fl — ([' 1/ — 1, y" ^=h — h' [/— -1) sont eonjugnés; on
prend, pour leur milieu, le point qui a i>oiir coordonnées x = >
'^^y^—^ ^*^ milieu de deux poinlsconjuguéscst réel,et poiirM'.M"
La droite qui passe par deux points imnginiiires conjugués est réelle. En effet, si on suhsiiluc dans l'équation
x — x' ^ y — y' ^ x"—it.' y" — y'' les coordonnées des deux points M' et M", on trouve
L'équation générale du premier degré
Aj/ >+- Da; -t- C = 0, <)ans laquelle A, B, C sont réels, représente une droite, lieu des points réels du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation; mais celle-ci est aussi satisfaite par Hne infinilé de valeurs imaginaires de x cl de y; et on peut dire que celte même droite renferme une inlinité de poinis imaginaires,
Soient a -*■ o'|/ — 1 et 6 + b'\/ — 1 un système de valeurs propres à satisfaire l l'équation ; on aura
A (b + ?/[/=^) -t- B (« + a'\/'^) + C = 0, d'où
(/O Afi -H Ba -t- C =- et A6' -t- Bk' = 0.
Les nombres (a, b), {a', h') des coordonnées imaginaires correspondent toujours à deux poinis réels, dont l'un est siir la droite Ay -t- Bjr -*- C = et le second sur Ai/ -t- Bx = 0.
A B Les relations {/c) permettent de calculer les riipports ~ et - qui
cnlrent dan.t i'ûigunliun de \a droite passant pnr un poinl iiii.igitiaii'c donné (o -¥• «'[/ — 1,6-+- fc'|/— 1). On aura seulement un syslème de valeurs pour ces inconnues; donc il n'y a qu'une seule droite réelle qui passe par un point imaginaire.
