L'cqualion

est dilc l'équation générali; d'une droite imaginaire. Si on groupe les

termes réels el ceux qui multiplient [/ — 1, elle prend la forme

Ay -*- Ba; +. C -t- (A 'y -H Wx -t- C) (/^ = 0.

On peut satisfaire ù eelle équation par un seul syslème de valeurs

réelles de x et i\e y données par les équations suivantes :

Ay -H Bic + C = et A'^ -*- B'j: -i- C = 0.

Donc, toiile droite imaginaire passe par un point réel du plan et un seul. Deux droites imaginaires sont conjuguées, si elles ont des équations de la forme

(A -1- A'(/^^ll y -+- (lî + lîV—^) x-hC-h C'/^ = 0, (A — A'[/— Ûy -1- (lî — li'[/^)a; -t- C - cV^^=t>. Si on écrit

Ay + ISj: -+- C +■ {X'y -t- Wx + C) [/^ = 0, Ai/ -+- Bx + C — (A'i/ +■ B'x -i- C) |/^ = 0, on voit (jn'on satisfait à la (ois aux deux équations en posant : Al/ + Bx^- C = et A'y -i- B'x -t- C'-=Û;

celles-ci déterminent un point réel commun nnx droites. Doue, deux droites imaginaires conjuguées ont un point d'intersection réel.

Les points et les droites imaginaires ne peuvent pas se construire géométriquement; mais il est Avantageux cl nécessaire de les introduire en géométrie, pour interprcler certaines équaliojis el donner ît l'énoncé d'un iliéorcnie toute la généralité possible.

4J. Il arrive quelquefois que le premier membre d'une équation r (j-, j/) = de degré supérieur se décompose en un produit de plusieurs

facteurs du premier tlcgré en a: el »/; l'cquatton est alors siilisfiiîle en posant chaque facteur égal à zéro, et elle représente un système de droites pcelles ou imaginaires.

4fi. Considérons, en premier lieu, l'équation du second degré

Aa;' -t- Ba; -^ C -= 0.

Si on désigne par u et 6 les deux racines de l'équation ^^ -+- - a; h- - = 0, la première peut se mettre sous la forme A{x — a)[x — b) =0.

On y satisfait eu posant : x — a = 0, x — 6 = 0. L'équation proposée se partage en deux autres du premier degré et représente deux droites parallèles à l'axe desi/. Ces droites sont réelles et différentes si B^ — 4AC > 0, imaginaires si B= — 4AC<|0, et elles coïncident lorsque B^ — 4AC = 0; car ee sont les conditions pour que les racines aelb soient réelles et différentes, imaginaires et égales.

L'équation du degré m

x» -¥■ A,x'"-' -+■ AsE--' +■•■-+■ A™„i K + A„ = donne m racines réelles ou imaginaires a, 6, e, rf.., /; on peut écrire {x — a){a: — b)(x — c){x — d) ■■■(x — = 0.

D'où on tire les m équations

a; — « = 0, a; — 6 = 0, a: — c = 0,..., x — l = 0, qui représentent m droites réelles ou imaginaires parallèles à OY. De même l'équation

)/•" -+- B,!/'"-' -t- B^y"'-^ H H B™-iy -+- B„ =

définit m droites parallèles a l'axe des a;.

Donc toute équation du degré m, qui ne renferme qu'une coordonnée, représente m droites réelles ou imaginaires parallèles à la coordonnée qui ne se trouve pas dans l'équation.

40. Soit maintenant l'équation homogène du second degré Aif H- Ba:»/ -i- Ca:= = 0, c'est-à-dire, une équation où la somme des exposants des variables x cl y est égale à 2 dans chaque terme. Si on la divise par x^, on a

En regardant ~ comme rinconnui;, l'équalion a deux racines a el b, et elle se transforme en

4(|-«)(;-'')-0 »" »(.v-»i)(s-fa)-.0.

On y satisfait en posant

y — nx = 0, y — 6a; = :

réqualion proposée représente deux droites ijui Iraverscnt l'origine. L'éqiialioi» homogène du degré m est de la forme

y» ^ Aiy-'x + Ajy"-'x= + .-. -f- \„,yx'"'' -k A^a:" =- 0. En la divisant par k", elle devient

(ir-^er— ■©— •

Soient «, 6, c,..., t, les m racines de l'équation résolue par rapport à

-; on pourra remplacer l'équation donnée par les m équations

y — aa; = 0, j/-— 6a; = 0,..., y — lx=^0,

qui donnent m droites passant par l'origine.

Donc toute équation homogène du degré m reprèsenle vn systcme, de m droites issues de l'origine.

43. Trouver l'angle des deux droites de l'équation Xy^ +-ïixy+Cx-=0. Les équations des droites étant j/ — oj: = et y — 63- =0, on a :

tans ip=: -; mais a et & sont les racines d'une équation du

^ l -i- ab

second degré, et on doit avoir a + 6= — r' ad = ~- D'où on lire

/b^ — 4AC

a — b = [/{a ■+■ bf — iab = '- ; en sulisl

i/B* — 4AC t«ngç = ^-^-^.

Les droites sont perpendiculaires si A-i-C=0, el parallèles si B^— 4Af = 0; mais comme elles passent par l'origine, elles doivenl coïncider dan^ ce dernier cas.

4S. Chercher l'éqituUon des bissectrices des droites représentées par hif ■+■ Bxy -t- Ca:' = 0.

On suit que les bissectrices des angles des droites y — oj;=:0, y — bx^=Q sont reiircscntécs par les éqiiiitions

y — ax y ~~bx y — ax y —-Ex

En mtiltipiiaiH membre à membre, il vient

(y — axY (y — bxY ^ ■1 -1- a» 1 + (.^

Après avoir chassé les dénominaleiirs, on trouve l'équation du second degré

ia-\-b)y^ •+-2.ic^(l — at) — (ffl + 6)x* =

qui représente les bissectrices. Si on substitue !> a -t- h cl a ah leurs valeurs, elle devient

Les bissectrices existent toujours, même si li' — 4AC <^0, ou lorsque les droites proposées sont imaginaires; Ciir, si on pose s=- i l'équation

a toujours des racines réelles.

40. Trouver lu condition pour (jue l'équation du second degré Al/» -^ SBici/ -\- Cx^ + 2Dj/ -h 2Ea; + F = représente deux lignes droites.

En résolvant l'équation par rapport Si y, on obtient B3; + I> , i

-d:--(/(li* — AC) X' ^■i (liD — AE) x -t- D' — Al<-.

our que le second membre soit du premier degré et de la forme

-h l, il faut que le polynôme sous le radical soit un carré parfait, et l'on ait la relation

(lit) — AE)' = {B^ — AC) (D'^ — AF),

yGoosle

Liis iluQX (Imites â, et 3-i que représente i'tii[iiatioti du second degré, lorsque la condition précédente est sallsfai te, sont parallèles aux droites D| et D» passant par l'origine et données par l'équation Ai/'+2l)x^+Ca;*^0. En effet, soient g et h les coordonnées inconnues du point d'intersection de 3, avec Ss ; transportons l'origine en ce point sans changer la direction des axes. Il faut remplacer x par x' -{- g cly par y' -\- h; après la subsliuuion, l'cqualion devra se réduire à

Ay" + 2Bx')/' + Ca:'* =^0; car les cocflicîents des termes du second degré conservent la même valeur, et les droites ôi et 5s passant par la nouvelle origine sont représentées par une équation homogène du second degré en x' et y'. Donc, les droites di et di issues de la nouvelle origine sont parallèles aux droites Dj et Da issues de l'origine primitive, puisque l'équation est la même en faisant abstraction des accents donnés aux coordonnées nouvelles.

Eî. I. Que l'epréspiitent les équations ' (I) œ' — y' =; 0, (2) it^ -\- y' := G, (5) a^î — Qî = 0, (i) SI» -t- Aij -i- Ac» = 0, (S) y* ■+■ itj/ + àj;= = ?

K. 1) Les bisseclricïS des axes ? -t- ic =: 0, ^ — œ -- 0. 2) Deux ilroitus i ma g i a aires

y-j! V^^^ï^, >,+a; V^=Ï^O. 5] Les droites a:-»^0, x-a f " ' "^^ ^ '^ j=0.

i) Deux droites qui coïncident, y -l- 2e = 0. ti) Le» droites y + ':iji = 0, y -t- x = 0. ^•i. S. Ijue faat-il pour que les deux droites imaginaires

(\-i-A'\/'^j!,-^[B-i-Wy/'^jx + C + C'\/^^=0,

It. Les droites Ay-t-Bn-C^O, AV+B'j!+C'=0, «(/+iij)-t-c:^0, i(V+'''*+e'=0 doivent concourir eu un uième point.

Ex. a. tjuellc valeur faut-il tlouncr à J dans l'cqujtiou a'H->tf'+3^tf4-^+j/ — I=fl pour obtenir deux lignes dioites ^

Ex. 4. Que représente l'équation

H. Un système de m diuites qui passent p;ir le ]ioi[it (/i, k].

S) 4. MEUX r.ÉOMKTillQlîES.

50. Les principes de la géométrie analytique donnent une méthode uniforme pour la recherche de lieux géométiiquea, en exprimant pnr une équalion la relntion qui existe cutre l'ordonnée et 1 abscisse de chaque point; la nature de celle équalion indique celle du Itcu (lem^n(ie Dans les questions de ce genre, il est impartant de bien choisir les a\es pour simplifier la suite des calculs ainsi que le résultat finil Comme nous l'avons déji fait remarquer, il est souvent avantageux de se servir d'axes rectangulaires. S'il y a des droites données, on les prendra de préférence pour les axes; de même, lorsque deux points sont connus d'avance, on fait passer l'un des axes par ces points, on place l'origine an milieu, etc.

Ex. «. Trouver lo lieu des points lois que la difforoiioe de leura distances à deux (Iroiles fixes PSt fonslante et égale à t.

I,os deux droites fixes étant prises pour axes des coordonnées, soit M (*, î/) un point du lieu; ona, d'aprèslafi|;urc,

Ml' = !;5in9, MQ = œsinOi l'é(|nalion thurciiée Sf ra

C'est une droite parallèle à la bissectrice des ases; pour fo. *. Lieu des points ilonl la somme des distaiiees a dcus droites fises est eonstonle,

Ex. ». Lien des points doLit le rapport des mêmes distantes ost eonslant, II. y = k^x.

Es. 4. Un point se meut dans un plan de manière à ce que la différence des carres de ses distance à deuv points fises est «onslanle. Quelle ligne décrit ce point?

Soient F et F' les deuv points fixes; prenons pour origine leur milieu, et pour axe des a!, la dioite qui les |oin(. M (jc, y) étant un point du lieu, on trouvera faeilenienf, avec dos axes lectangulaires,

MF" = (j; - c)» -1- ;/', W = (k-v-o)' + j/'; o est la moitié de la distance FF'; si on représente par k' la constante, on aura, poui' l'équation du lieu demandé,

Le lieu est do

droite

perpeud

ieulâirc S

FF', et situoc

lieu des poiuh

; fis es.

R\. S. D'un [1

oint lU ui

1 abfliss

.« I.S pa

'pendlcula

ires MP et WQ si

el est le lieu des points M tels

queOP

Ex. S. Dans la même hypothèse, t parallèle à une droïle lixe.

R, o;-Hycose = Ali/-+-ireoaO).

Ex. ». D'un point 0, on mène une droite qui Fencontre une droite iixe D ei point M ; sur OM on pread un point P, tel que ^ ^ — . Trouver le lieu des poini Prenons des axes reetangulaires ayant pour origine le point 0, et pour axe des ai In pendiculaire abaissée sur la droite fisc D : eclle-ci aura pour équation œ := a. Un a évidemment pour chaque point du lieu

œ OR m „ , nm

',0 parallèle i la droite iixe.

lï. ». On 1

des points M lels que jr^ = A (const.)

Le point étant pris pour origine, 00' pour axe de y, deux droites MC et MB ont des équations de la forme ï=:mij'-^y^»iix-f-;3i; U(i et i»i sont donnés.

Nais 0C = ^„ OB=;î,; d'oii 0'B = rf — (îj, d étant distance des points lises. On a donc la relation

u point dont l'ordonnée est :

— S8 — 51. Lorsqu'une ligne est mobile ilaiis un plan, son t'quation renferme HU moins un pjii'.iméti'e variable qui prend une valeur déterminée pour chaque position de celle ligne. H arrive souvent que les points d'un lieu j^éoinétriquc sont déterminés par la rencontre de deux lignes variables de position; on a alors h combiner des équations dans lesquelles entrent certains coefficients indéterminés. Il est nécessaire, dans ce cas, de ti'ouvep des pelation.i en nombre suiTtsant pour éliminer tous ces paramètres, et arriver k une équation qui ne renferme plus que x el y avec des quantités données; eelle-ci étant satisfaite, quelle que soit la position des lignes mobiles, sera l'équation du Heu géométrique cherché,

68. ÉUinl donné tm atigle XOY, on mène deux sécantes quelconques I PBA, PDG; trouver le lieu du point d^iuler- I section des droites AD et liC.

Soient ( — a, b) les coordonnées du point!' ; es sécantes auront pour équation I (PA)»/ ~b^l{x-^a), (PC)(/ — 6 -- ?.' (x H- «). ;i on fait successivement ic ^= et ^ = 0, ou

les équations des droites qui

e coupent au point M seront

Les coordonnées du point M satisfont a la fois à ces deux équations quelles que soient les valeurs des paramètres X et ).' ; il reste à éliminer ces derniers ; on y arrive facilement ici en rctranebant les équations membre à membre. En effet, on a :

et, final

Le lieu cherché est donc une droite qui passe par le sommet de l'angle fixe. La droite OM est appelée la polaire du point P par rapport à l'angle YOX, cl le point P en est liipôk.

taiiroiteOP est représenlée par y =■ x,fiuajj -i- 6a: = 0,Ln polaire

d'un point (371, i/i) de Mtie droite a pour équation Xi\j -t- y,x = 0, ou

bien, en remplaçant iji par x,, atj — 63; = 0; ainsi, tous les points

de la droite OP ont la même polaire.

Réciproquement, un point quelconque {c, d) de 051 a pour polaire la droile OP; cor l'équation de la polaire du point(c,d}est c^ -i- ((j; = 0;

mais le point (c, d) étant sur la droile 011, on a : arf ■— bc = 0, n

et l'équation précédente devient ay -\- bxt^ qui représente la droite OP.

53. Soienl donnés un angle LOS et deux points fixes P el Q en ligne droite avec le point 0. On ]i}éne d'un point fixe R une sécante quelconque UBA ; Irouner le lieu du point d'intersection des droites PA et QB.

Soit l'origine; prenons la droite PQ pour axe des x et OL pour axe des y. Posons OP^^a, OQ = a'; on a pour les équations des droites qui se rencontrent en 31

(PA]y = }.ix-i-a), {Qa)y=}.'{x~a'}, où ). et X' sont des coefficients variables. De plus la droile OS a une équation de la forme le donnée. Si on cherche les coordonnées des

tj^^kx, k étant

points A et B, on trouve

rwjiiiifiun de la ilroilc qui joint les points R (/», (/) et B sera donc

ti'o

on Lie

!xpfiii)ant que le point A se trouve sur cette droite, on a la r

(/« - ,,) [iv - j. G' - *)] --r [«■«' - q p.' -/.)];

),a [(«'-,.) À' +,,lr]~*V[,tp]. linfin. (ipi'ès la substitution des valeurs de 1 et )/ tirées des équations (PA) et (QB), on trouve pour l'équalion du lieu

a [a' — p) y -t- (apk — a'q -+- a'fk) x =aa'q;

yGoosle

c'est donc une ligne droite. Il serait facile de prouver que cette droilc passe par le point N, intersection de PB avec OS, ainsi que par le point de concours des droites QR et OL.

T.orsriue le troisième point fixe R se trouve sur la ligne des deux autres PQ, on n ç = 0, et le lien est alors une droite qui passe par le sommet de l'angle fise et dont l'équalion est

a {a' — p)ij -H pk {a -i- a') x = 0.

Dans cette hypothèse, le triangle ABM se déplace de telle sorte que deux

de ses sommets A et B parcourent les droites fixes OL et OS, tandis que ses

I côtes passent respectivement par trois

points fixes P, Q, R en ligne droite; pen-

I dant ce mouvement le troisième sommet

décrit le lieu de l'équation.

Si l'on traitait le prohlcme dans le cas de la fig. 24, où le point ne se trouve phis sur la ligne des points fixes, on trouverait aussi que le troisième sommet M du triangle mobile décrit une droite qui passe par le point d'intersection des droites fixes OL et OS.

On peut étendre la propriété précédente à un quadrilatère variable ABCM [fig. 2S) dont les côtés passent par les points donnés P,, Pa, Pj, P^ en ligne droite, tandis que ses somts A, E, C glissent sur les lignes I fixes Di, Ds, Dsî dans ces conditions le sommet libre M décrit nnc ligue I droite.

Ru effet, les trois côlés du triangle BEf; pendant le déplacement du quadrilatère, pivotent autour des points Pi, Ps, Pi et les sommets B et C restent snr les droites Ds cl Dj ; donc, le sommet E décrit une droite qui passe par le point H, intersection de D, avec Us. Cela étant, le triangle AEM a ses trois côtés qui passent par Pi, Vi, Ps e( deux sommets A, E, qui glissent sur les droites fixes Di et EH; donc pendant le mouvemeut du quadrilatère le sommet M doit décrire

En passant du quadrilatère au pentagone et ainsi de suiie, on arrive à

ce théorèiiie général : ^i les n côtés d'un pûlygotie pivotent autour de « points fixes situés en ligne droite, pendant que n — i sommets glissent sum — 1 droites fixes, le sommet libre décrit une ligne droite W.

Ce ihëorème donne le moyen lie résoudre cette question intéressante ; étant donné un triangle tel que ODC {fig. 24), lui inscrire un triangle dont les côtés passent par trois points fixes P, Q, R en Ugnedroite. On imagine un triangle variable AltM dans les conditions indiquées précédemment; le troisième sommet décrit une droite qui rencontrera le côté CD en un point JVI; la position ABM du triangle mobile satisfera à la question. En étendant cette solution successivement au quadrilatère etc., on a un procédé géométrique pour inscrire à un polygone de « côtés, un autre polygone d'un même nombre de côtés passant par » points fixes en ligne droite.

Exercices snr la ligne droite.

Ex, 1 . Distance entre deUK liguKS parallèJts Ay-\-Bi:-t- h = 0, A'ij + B'x + Jj = 0,

Ex. a. Droite passant par l'origitie et per|lejidiculaire k la ligne qui joint les pointa {a, b], («', ',').

Ex. a. Droite passant par les points (w', p'), (m", p").

"■ '■ p'.in|.-.'|-,".i„(.-~"|

AB' — BA' "■ ^^"^^ AA'+BB'- Ex. 5. Si J est un coefficient iudé ter rainé, que represenlent

os^-t-E'siui.

les équations

■• A cos (0 -t- B sin 6. ' '' Bco3«-A

Sina

(1) Ce tiléorème est une conséquence d'une proposition plus gé e rapportant au lieu dcïrit par le sommet libre d'un polygone iU pôles ne sont pas en ligne droite : Poncelet, Propriétés omeT,p.281.

néraledueàMa , lorsque les jioi projectiBKS des

c-Laurin nts llxcs figures,

E\. a. SuKacc du fmngic

. Aire, du pavallelosponime dont les tûtes ont pou

r fii|iifltiûiis

■ Bij + C = 0, Ax+ By-\-C' = (}, ni: -h hy ^

-e = i), fii + f)y +

Es. S. Interpréter l'équation sin 3 « — 0.

R, Elle représente les lignes fo = 0, w— -i oi:^ -^■

Es. «. Que repi-éseutent les équations P-4-ïQ = 0, P — iQ = 0, PelQ liUiit des polynômes du premier degré en a; et i; ?

Ex. lo. Un point U se meut de manière à ce que la somme des carres do ses distances h deux [Hilnis (x„ y,), (t,, y^) soit égale à la somme des carres de ses distances à deux Eutres points (x,, y^), [xt, yt)) montrer que le lieu du point M est la droite %clxi-\-i-t~X!~!C,)-\-iy{y,'t-y,-yi—<j>) = xt^-t-x,*—x,'—3:t'-t-y,'-t-yi'—yi'—yi'.

Ex. 11. Quand une droite se déplace de manière à ce que la somme des réciproques des segments qu'elle détermine sur les axes est constante, elle passe par un point fixe.

Ex. tx. Sur les côtés d'un triangle pris comme diagonales, on forme des parallélogrammes ayant leurs cotés parallèles à dcuï lignes Tiics ; montrer que les autres diagonales passent par un même point.

Ex. 13. Dans tout trapèze, la ligne qui joint les milieux des diagonales est parallèle aux deux bases.

Ex. 14. Le milieu de la droite qui joint les milieux des diagonales d'un quadrilatère est le centre des moyennes distances des quatre sommets.

Ex. ts. Si AL, DM, CN sont les perpendiculaires abaissées des sommets sur les eûtes BC, CA, AB d'un triangle, montrer que les droites ii^, NL, LM rencantreut les eûtes BC, CA, AB en trois points en ligne droite.

Ex. ■«. Dans tout triangle, le point de concours des hauteurs, le point de concours des médianes, et celui des perpendiculaires élevées sur les miliiiux des cotés sont eu ligne droite.

Ex. 19. Dons un (rianglo OAB, on mène une parallèle DE à la base AB ; trouver le îioa du point d'intersection do BD avec AE.

Soient OA et OB pris pour axes et b=OA, û = OB; la parallèle détermine sur les axes des segments propoilionnels à n et 6. Posons OD ^^ y-u, OE =: ,"4; les lignes qui déterminent le point du lieu seront

lia b ' a iJi

E\. 18. Trouver lo lien des cenlrps des recliingles inscrits Jaiis un Lriniiglu doiiiié. Menons la linuteup CR du triangle; prenons cette droite pour a\o des y et KD pour e des ar. Si on pose a= ItA, o' = RB, CH = p, les équations des eôlës du triangle

La droite DE paraliÈlcà la base est représentée par y = /i, où /i. remplaçant y par ji dans les équations précédentes, on trouvern

ai = RP =

Or, Tahcisse du point DI est évidemment la demi-somme ries va!i d'écrire, c'cst-i-dirc, a = - ' ~" -( 1 — ^ |; ■

autre côté l'ordonnée du même point est -// ;

/i^^ij. L'équation du lieu sera

(»' — al/, 2jf\ ,. 2ic 2i/ œ=: 1 — — 1, ou bien, -, — -h — ,.

Ex. 1». Mener dans un plan une droite telle que la somme des perpendiculaires abniâsées de m points sur cette droite, multipliées respectivement par les constantes Ar,, (-,,^5... i„, soit égale à zéro.

Prenons pour les coordonnées des points (»i, yï), (rj, yi)i— (^«i ï«)> '^^ P""'' l'équation de la droite ii

œ C05 a -t- y sin K — ji = 0.

On a la condition i,(jB,cosa-Hi;,sina— p)-Hfîs(sseoSH+yssinfi-p)-î-..,-l-J:.„(a;„,cOSx-t-y,„sinï— p)^Oj

ou plus simplement

cos a S*,i, -(- sin tt 2ft,j/, — ji Si, = 0,

dans laquelle EA,ai, = J:,ri-i-*ii-, h ft„,ar,„, Sfdyi — iv/i ^ 1- ^i^y^i, i^t ïi, =

Al-*-*l^---ftM.

Si on tire de cette relation la valeur de p pour la substituer dans l'équation de la droite cherchée on trouve

ss^k^ — 2^,T, -h [yli; — Siii/i] lang a = :

équation qui renferme encore un coefficient inconnu «. Il y a une infinité de droites qui répondent à la question et elles passent par un point fixe dont les coordonnées sont :

il =; — ^'— , ij ^ - ;! . • ^^ point est le cenlm des dislan ces proportionnelles des

Eli. so. Étant données deux droites, on fait tourner auWui' d'un point fixe une sécante qui, dans une certaine position, rencontre les droites aux points A H B. On

prend sur la sécante une longueur OM, telle que Ton ^it : ^M ^ Ol "*■ ÔC ' ''^'°"'"''' le lieu du point M,

Prenons la position primitire de la séeante pour s\a polaire et le point pour pâle; les droites données ont pour équations

yi = p cos (u — a,), P3~P COS ((o — o,) ; mais, en développant et désignant par ai, fti, «s, h^ des constantes, on peut mcttri! ces équations sous la fornie :

i=a eoi^-t-b sin« --a cos«-t-6 sin «

L'équation du lieu sera

P Si l'on avait m lignes droites, le lieu d'un point M, tel que l'on ait

0,11 " OA "^ OB "*" OC "*"" serait la droite lîc l'iiqufllion

2a, = Bi + (la + ■■■ a^, St, = 6, + 6s H H 6„,.

l'o\LELEi dans son TraiU de» propHéléi projeclîoei des figures, lome 11, p. II!, s'est occupe de la relation qui pre'céde pour généraliser, d'après les principes de prO|Letion centrale, la notion du centre des moyennes distances d'un système de points donnes

EiL SI Lieu d'un po nt tel que la somme de ses distances à m points donnés soîl égale à la somme de ses dislances à m autres points fixes.

Ex. «9. Dans un parallélogramme ABCD, on mène une droite PP' parallèle i AB, et une droite QQ' parallèle â BC. Quel est le lieu du point d'intersection des droites PQ, P'Q'.

Ex. sa. Étant donnée la base AB d'un triangle et la relation cet A + m eot B ^ k.

Ex, S4. Etant données m, lignes a, b, e,... l, cliereher le lieu d'un point M, tel que la somme des aires des triangles ayant ces lignes pour bases et le point M pour sommet commun soit égale a m'.

Ex ss Etant donnes deux points A et B, l'un sur OX, l'autre sur OY, on prend deux autres points V et B' tels que l'on ait : OA' -H 01Î' = 0A -t- OB. Trouver le lieu du point d intea siction des droites AB', BA'.

— Go —

Ex. «H. La soiiiiiie dos porpendiiiuUi'i'iiS aljnIssiJes d'un pnlut quelcoii4|uc |)i'is dans l'ttilerieur d'un polygone régulier sur tes cotés est eoiislanle. Si le polygojie est uji triangle cquîlatéral, cette somme est égale à la hauteur du triangle.

£x. a3. Dans tout polygone. fermé, I» somme algébrique des produits de chaque câtfl por le sinus ou la cosinus de l'angle qu'il fait avec une droite quelcouquo est nulle.

Ek. SS. Par un point douné, mener une droite qui fasse des angles égaux avec deux droites données.

Eï. »«. Mener une droite qui divise un triangle en deux parties équivalentes.

Ex. 30, Trouver ui) point, dans l'intérieur d'un triangle, tel que les droites gui le réunissent aux sommets déterminent trois triangles équivalents.

Ex. 31. Ëlant données deux droites, mener, par un point, une droite qui délermiue sur elles, à partir de leur point d'intersection, des segments dont le rapport soil égal à une quantité donnée.

Ex. S». Partager un triangle en deus porlies dans lu rapport de m : n par une droite menée par un point donné.

Ex. S3. Par un point donué, mener une sécante qui, par sa rencoulre avec deux droites Uses, dotermiue un triangle d'une aire donnée.

Ex. 3«. Étant donné un angle BOC, mener, par un point A, une sécante qui rencontre les côtés en des points M et N tels que le produit AM.AN soit minimum.

Ex. >S, Sur deux di-oiles rectangulaires OX, OY, on construit un rectangle variable OABC d'un périmètre donné; montrer que la perpendiculaire abaissée du sommet C sur la diagonale AI3 passe par un point fixe.

Ex. ao. Étant données cinq droites, on en prend quatre pour former un quadrilatère complet dans lequel les milieux des trois diagonales sont en ligne droite; les cinq droites analogues dans les cinq quadrilatères que l'on peut former avec les droites données passent par un même point.

Eï. »». Étant données quatre droites A, B, C, D, on en prend trois pour former un triangle dont on construit le point lie concours des hauteurs. Les quatre points ainsi obtenus sont en ligne droite.

Ex. SS. D'un point 91 {^g. 20) on abaisse les perpendiculaires MP, UQ sur deux droites lixes ; trouver le lieu du milieu de PQ, quand le point M décrit une droite donnée.

Ex. 99. Dans un triangle ABC, on donne la base AB et la somme k des deux autres cotes ; du sommet C, on tire la hauteur CP sur laquelle on prend une longueur PM égale à l'un des cotés du triangle. Trouver lo lieu du point M.

Ex. 4*. On a un triangle ABC dont les côtés variables AC et BC rencontrent aux points M et N une droite donnée I''G parallèle ii la base. Trouver le lieu décrit par le