POINT ET LIGNE DROITE
SûMMsniE. — Coordonnées triangulaires el polt/gonuks. Équation de la ligne droite. ■ Prolilèmea — Coordonnées tangentielles, équation du point. — Rapport anlieriiioniq et harmonique; homographie; involulion.
§ \. DEFINITIONS. ÉQUATIOM DE LA LICSE DROITE EN COORDONM^ES TIIIAISGULALRKS fiT POLYGONALES.
54. Gonsiiiéi'ons un triniigle fixe a.l^/; nods nommerons A, I), G, les (!(Ués opposds aux sommets «, [3, y, les iSqualions de ces côtes étant
s pfir Al, Bi, C,, et I
'(li, lî = a;i;osaa-i- i/sina, — ;;», C =^ j: cos a, -H !/ siii a, — p^.
Les coordonnées li'ianguJaifca d'un point M du plim sont les distances orthogonales MP, MQ, MR de ce point nus côtés du triangle fixe, ap|>clé Irianglederé/ëjwe. Or,si(a:,,»,0 sont les eooi'donnéi'S reclungiilaires du même poinr, ces distances soni les nombres positifs ou négatifs :
Xi eos «j -I- i/i sin h, —p\, iji sin «3 — Pô ; nous les désigncli'uu point variable |jnr A, B, C.
— fi9 — D'après une remarque faite précâdemineul, l'une queleonr|i)c de ces coordonnées triangulaires, par exemple A, scri» ncgalivc si le point se trouve dans la même région que l'origine par rapport à la droite A, et positive dans la région opposée. Ainsi, dans l'iiypollièse où l'origine des coordonnées se trouve dans le triangle, les trois coordonnées du point M sont négatives; pour le point M», la coordonnée C est seule positive tandis que pour le point M3 ee serait la coordonnée B qui deviendrait positive, ete.
Les coordonnées triangulaires sont liées entre elles par la relation — oA — (.B — cC==2S, où a, h, c désignent les longueurs des côtés du triangle de référence et S sa surfaee. En effet, d'après la ligure, on a, pour le point M,
triang. M^y -+- triang. Mya -+- IrianÈ;. Maf3 = triang. ABC ; ou bien
— aA, —bB, — cC, =2S.
Il est essentiel de remarquer que cetle relation existe, quelle que suit la position du point M ; ainsi, pour le point Mj, on a
triang. Ma,6y -i- triang. Ms"/« — triang. Msafî = triang. ABC,
ou bien
— «As ~ 6B, — cflî =- 2S ;
car la coordonnée Cs est positive; il serait facile de vérifiei" la formule pour toute autre position du point M. Si on désigne par k,, ks, lu les hauteurs du triangle, on a : aA, = 2S, 6A, = 2S, c/i, = 2S; et la relation fondamentale peut encore s'écrire
/^l As feî En vertu de cette relation, il suffit de connattre les rapports de deux coordonnées à la troisième pour calculer numériquement chacune d'elles. Supposons, par exemple, que les coordonnées d'un point soient proportionnelles aux quantités f, g, A; on aura
ABC — aA — f)B — cC 2S
f g A — <if — h(j — cil aj -+- hfj ■+■ ch
j™J/s^ ,,^ 2<,S __ (■ 'AS
af -+- h(j -+- ch ' itf -b- h;i + r.h ' nf -v- hg -^- ch
L'n point du plan fst aussi déterminé, si on prend pour les coopdonnées ipiangulaires non pas précisément les perpendiculaires ellesmêmes, mais ces perpendieulaires multipliées respectivement par des constantes X, ^, v, c'est-à-dire en posant :
A' = U, B' = (/.B, C = uC ;
A', B', G' étant les coordonnées nouvelles ; celles-ci sont liées par la relation
Dans le cas parliculier où / = o, fi = 6 et v = C, on aurait très simplement
Lorsque les équations des cotés du triangle de référence sont de la forme
a,x -h biy -1- ci = 0, aaX ■+■ Ky h- c, ^ 0, a^x -t- b^y -t- Cj = 0,
on peut dire que les coordonnées triangulaires d'un point sont les nombres
positifs ou négatifs OiJPt-HÈiyi-HCt, «aa^j-t-ftai/i-i-Cs, aiXi + h-^yi-^Ci-, car
ces quantités sont proportionnelles aux perpendiculaires A, B, C; on a,
dans cette li vpothèsc, "k ^\/ai' -\- 6i'j {i. =l/aî' -t- 62', v =;[/a3^ -t- 63'.
Enfin, si on prenait, pour les coordonnées d'un point, les rapports des triangles partiels au triangle de référence, c'est-à-dire les quantités aA 6B cC . - ,
Ce sont les coordonnées triangulaires proprement dites, tandis que les autrts se nomment souvent courdonnéei trilinéaires ou coordonnées trilaleii.» Dnns ce cours, nous donnerons toujours le nom de coordonnées triangulaires aux distances ortliogonalcs A, B, C d'un point aux côtes du liiangle de référence.
\vec ce mode de détermination du point, on adopte trois coordonnées, une de plus qu d n'en faut pour trouver sa position dans le plan. Ce système présente le grand avantage de conduire à des équations homogènes entre les coordonnées triangulaires pour représenter les Iieu\ géomélriquei
Nous nous sommes basés sur les coordonnées cartésiennes dans les difinmon'i pieccdcntes; cependant, la théorie des coordoiuiées triangu-
laires petit être exposée d'une manière indi! pendante, et c'est ce que nous ferons généralement tinns ce qui va suivre. Ce système se suffit à luimême et il est lion de le regarder comme tel pour ne pas le confondre avec la méthode dite de notation abrégée, comme on l'a fait à l'origine. (Voir Salmon, Paimvin, etc.)
Il est qnelquefois avantageux, dans cerlaines questions, de prendre, pour fitçiire de référence, non pas un triangle, mais un polygone d'un certain nombre de côtés. Dans ce cas, on appelle coordonnées polygonales les distances positives ou négatives d'un point aux côtés du polygone. Comme deux de ces longueurs suffisent pour fixer la position du point, les coordonnées polygonales ne sont pas indépendantes les unes des autres : elles ont des valeurs déterminées, quand d'eux d'entre elles sont
SA. Trouver les coordonnées triangulaires d'un point M qui divise
une ligne PQ dans un rapport donné — ■
Soient (Ai, Bi, C|), (Aa, Bs, Ci) les coordonnées des points P et Q, et (A, It, C) celles du point M. Abaissons des perpendiculaires sur le côté A du triangle de référence et menons les parallèles PR et MS.
. PM m
Dapres la question,—— ■=— ; mais, par
triangles semblables, on a
PM MR A— Ai
Les coordonnées du milieu de PQ seron
A, -t- Aa iî, -4- Ri
5«. Trouver l'aire d'un triangle dont les sommets sont : a! [Ai, B,, Cj), 13' (A,, B„ Cs), / (A=, B„ C).
Par les points «', [3', y' menons des parallèles au coté C (Ui triangle de rérérence, etsoil S' Ii\ surface clierchéc; on a
S' =. trap. PQ.SV + Irap. Qlîa'-/ — Irap. PRy'^S'.
Or,
trap. PQ|5'^/ =i(A, + A.) PQ =i[A, + A=) {[3Q -[BP),
car sa hauteur est
égale à la pe
pendicu-
lairc abaissée du milieu de a'jS' sur lo
eôté A, De plus,
Pa = ,-î^, {if-^;
P«~?p-^-Ap(c.-c.).
Done
irap.PQj3V =
fl!^ '*'■"*•'<''• -<^■'■
OntroLivfira aussi
irap. Qaa')-' =
trap. QRy'P' =
j4^(A, + 4.)(C.-CJ.
En siibstiliiant, on aura
=2ip^''<^-^
ou bien, sous la l'orme d'un A
lerminant,
Al, A., As 2S, 2S, 2S
., 2S.2ïinfl
C,, Cî, Cj
On peut remplacer cliaqu
terme de la seconde suite horizontale par
2S -i-oA, + rC,,2S-+-aA, -4-
cC„2S-t-aA. -i-rC,
c'est-à-dire, à
caiisc de
~ 75 — la relation — «A — &B— cC = 2S, par les quanlitcs -~ ftB, , Donc, on aura iiiialement, au signe près,
abc
2S ■ 2 si
A;, Bs,
du Iriaiigle de réfcin
lepo[iilï, — — ,0,0 ou —/lu 0,0; ^, 0, — -^,0 ou 0, — ftî, 0;
Il 0, 0. -
Ex. e. Même calcu! pnur les milieux des cotés.
Pour le milieu du eâté A, on a d'ubard A =0; ensuite, pnur ce même poinl produit de fi par B est ic double de la surface do la moitii! do triangle de référcii on a donc — fiB^^S; de m^me — ^ cC ^ S. Les coordonnées du point milieu d(
A = B = C = [■ les coordonu
st le rayon de i
s du centre du ci
,Sj9,C = r
57. Toute droite est représentée par ime équalion du premier degré et homogène entre les coordonnées triangulaires.
En effet, soient (A, B, C), (A,, B,, C,), (A,, Ba, CJ trois points d'une droite dont le preinicp est variable et peut être pris à volonté sur cette droite. L'aire du triangle formé par ces trois points est nulle; de sorl« que les coordonnées A, B, C d'un point quelconque de !n droite satisfont à la relation (N"SG).
A, It. C 1=0.
l'équation d'une droite est do la forme
(\ + mB -4-/iC = 0.
Récipi-oqueoieni, loule ciiiiniion homogène du premier degré représenle une ligne droite ; car elle est aussi du premier degré en x et y, d'après la signification des fonctions A, B, C.
Dans le cas papticuJier où les coefficients I, m, n, sont remplacés par a, h, c, on a l'cqualion
aA -I- hB H- cC = 0,
qui revient à une conslanic 2S égalée à zéro ; elle définît donc une
droite située à l'infini dans le plan. Si on substitue aux côtés o, b, c les
sinus des angles opposés, l'équation précédente peut être remplacée par
A sin a -t- B sin (3 -H C sin y = 0.
L'équation iKi premier degré entre les coordonnées polygonales
;A -+- nili -i- «C -4- /)D H v-]R =
représentera une ligne droite, puisqu'elle est aussi du même degré par rapport aux coordonnées capt(''sienncs x et */ ; mais, comme elle renferme plus de deux constantes arbitraires, on voit que, dans ce système, une droite pourra être représentée d'une infinité de manières par une équation du premier degré.
6S. Trouver féquatioit d'une droite renfermant (es perpendiculaires p, q, r abaissées des sommets du triangle de référence sur cette droite. Soit D une droite ayant pour équation
/A-+- mB+ «C = 0.
Menons par les sommets a, [3, •/ les perpendiculaires, p, ç, i- ; appelons A,, B,, C|, les coordonnées du point 1 où la droite rencontre le côté B. On a B, = 0, el (A, -t- ttC, = 0. D'où
yGoosle
en attribuant k p cl r îles signes contraires. On trouvera au moyen du point I'
psina ^sinp r sio -/ ' donc, si on substilue les côliSs a, 6, c aux sinus, les coefficients /, m, n de l'éqiialion de In droite sont proportionnels à ap, hp, ci-, et on peut éerirc
apA -§- %B -1- crC = 0, ou ^ A -i- ^ B -h pC = 0.
C'est l'équation demandée.
Comme la droite D est déterminée de position avec deux perjjendiculaires, il doit exister une .
relation entre les quantités p, tf, r. Pour la déterminer, menons par un point M de la droite, Ma, M6, Me respectivement parallèles aux côtés A, B, C ; appelons 9, ip et il- les angles IMa, IMè, IMe comptés dans le même sens à partir de Ml. On aura, eu égard au\ signes.
Mais ç — 9 = 77 — ycl'^i — 9=7: — a; d'où sin = — sin (ç 4- y) ■l sin 'i^ = sin (a — (p). On en lire
sin C = — sin tp cos y — cos ç sin 7;
(9me+si„,pco>,)'=,()-sii,'ç)sir,',;
On Iroiivera de iiiùiiie («) sin' •) ^-
— 7(1 — et, par analogie,
(j3) sin^ 4^ + sin^ 9 -t- 2 siinf- sin 9 eos (3 = sin^ [3. Si on siibstilne aux sinus leurs valeurs dans l'une des cqualions precédentes, par exemple dans l'égalité (a), on aura
('• — P)' ^ l^JZ^ H- 2 ('• — PiJP — 9) pos ^ ^ gi„î ^ 6' c'* bc *'
6^ 0; - qf + c= (7- - j>Y + 26c (,■ ~p)(p~ q) cos a = 6 V sin^ «. En développant, il vient
ra bien,
W.iu'a,
