II

^' sin^ «,

^'est-à-iîife,

— %cq>

■■ ces «

— 2aci-j) ec

— 2Q&p^cosy =

Si on remplace a,

cette l'clation |)cul e

ncoti

e mettre sous la foi

l'me

en...

-2^eo.

Poni' ebréger, no

us indiquerons

ce i-ésullat

par

la notation

59. Chercher ['équatiûii d'une droite qui passe pur un point {Aj,R,,C,). Les cnordonii(!es A, B, C du point qui décrit une droite satisfont aux équations

;A -t- mB -4- )iCt=0,

~-«A — 6B — cC = 2S.

Piuir le point particulier [A,, Ji,, CJ, on a les relations

/A, -t- niK, -*- hCi = 0,

— «A, - bïi, - rC,=-2S.

Par In siiuslraetioii des ciiiialioiis membre à mcmbruj on oblicnt ;(A A,)-i-ni (B~ Ji,) + H(C — C,)-=0, « (A — AJ + /,(« — B,) + c (C ~ C,) = ; d'où on (ire les ci-.ililés

(liins lesquelles )., jj., w sont proportionnels aux délerminaïUs

c'est-à-dii'c que les eonstantes /, i/., v doivent sntisraire aux c't; lia lions

aï -+- tnj- -+- cv = 0.

Soit (/fç. 30) Dune droite qui passe par un point M{A,, B,, C,), et P un

point variable ayant pour coordonnées A, B, C; menons, par ce dernier,

des perpendiculaires sur Ma, M6, Me. Si p représente la distance MP,

on aura

. , PA A -A, ^"'^ = PM=^' de même

■ rr ^ '^ — "i .- ,t ^ c - <■,

Donr-, en admettant que /, [i, v soient les sinus des angles f>, f et -J-, on peut égaie.r chacun des rapports (k) à p, et les équations d'une droite qui passe par un point seront

lîn vertu des relations (^), ([3), (■/) du numéro précédent, les constantes À, u- et V satisfont aux équalions

ul -)- 6^, -+^ cv = 0,

u' H- v' -t- 2p eos a = siji' a,

•/^ H- À' -^ 2vX cos |3 = sîii' |3,

À^-Hp.^-t-2^.Ieosy=-sin'7;

ou encore à loute aiilic condition obtenue par une combinaison quel-

conque de ces équations. Si l'on voulail, par exemple, trouver une seconde relation symétrique en ?., ft et a, on prendrait o> -H 6/A H- cv = 0, jis -I- V* -t- 2fiM eos « =: sin^ a.

En transposant et élevant au carré, on tire de la première

6V^ ■+- c«u^ -+- âtcfii- = a^^ ; d'où 2^u = ~ .'^ ~ "^ " •

Si on substitue dans In seconde, on aura

6cfi' -4- bcv'' ■+■ {a'}? —■ 6';^* — c^i'*) eos « = te sin^ a ;

d'où a^A^ eos a

ï + 6tv^ - (6V -^ c^.=) ^^±^-^^ = 6c sin* a.

H^À' cos a -t- j/'aJi eos [3 -+- ï'ae eos y ^ 6c sin* «. Or, a, 6, c sont proportionnels aux sinus des angles ol, p, y et on peut écrire

i- sin « cos « 4- f(' sin |3 cos P -t- v' sin y cos y = sin a sin {3 sin y par suite

J.* sin 2« + ft- sin 2{3 -i- v' sin 2-/ = 2 sin a sin |3 sin y. Il Tant remarquer que toutes ces relations entre X, // et v ne forment que deux équations distinctes,

g 2. PROBLÈMES,

eo. Déterminer le point dHtiterseclion des droites lA ■+- mlî -t- nC = 0, l'A -^ m'B -t- n'C = 0.

- 6U — cC

Il est facile an moyen de ces relations d'écrire les valenrs des l, B, C. La condition du parallélisme des denx di-oiles sera

61. Trouver la condition pour que Ifis trois droites IS -+-mli-i- "C = 0, /'AH-m'B-f-tt'C^iO, /"A + m"B-*-ïi"C^O passent par xin même point.

Il faul que ces trois équalions soient satisfaites en même temps par un système de valeurs pour A, B et C, et, par conséquent, que le délerminaiit de CCS équations soit nul.

Autrement, les droites concourent en un môme point, si l'on peut trouver trois constantes k, k', k" telles que l'on ait identiquement

li{lA -+- ml) -t- nC) H- k' {l'\ + m'B -i- n'C) -^■ k" {l"X ■+■ in"B -^- n"C} =0; car les coordonnées du poiiil d'intersection des deux premières annulent les deu\ premières parenthèses et elles devront aussi annuler le trinôme de In dernière; donc ce point est commun aux trois droites.

Ex. 1. Les bissectrices d'un triangle passent par un mdme point.

Toute droite qui passe par ie somiiifil (a) du triangle de référence a une équation de In

forme niB ^- «C^=0; on en lire— =^ — - ■ Le rapport des coefficients m et n est égal ot de signe contraire au rapport algébrique dos perpendiculaires abaissées d'un point de la droile sur les côtés C et B ; pour une bissectrice, ces perpendiculaires sont égales,

mine est idenlîqucment nulle.

*. Les perpendiculaires abaissées des sommels sur les côtés opposés

trouvera, pour la pcrp

endiculaire

issue du sommet W, -

quai

onsHru:(!co3^ — Ccos-/

=0; deméine,pouricsautres,<maura

os-/

-Acoi=

Acos

î^ — BcoS;3 = 0. L'addi

an do ces

quations donne = 0.

Ex..