Les médianes se cou
peut en un
même point.
l'ou
rlamédiaHcducâté^-/,o
la: — =-
- -^ , el son équation est
Bs
"iî
-Csiny
our
es deux autres, on (r
uvcra : C
mï-Asin« = 0,As:n
Bs
n ajoulc iiiciiibru à membre,
on a =
Ex. 4. Lbs bissectrices des angles enlérieurs J'uii iriaiigle j'eiicoiilreiit les côtés opposés en trois points situés en ligne di'oitc.
Les équations de eea bisseelrices sont : (I J B -i- C = 0, (2) C -4- A = Oj (3] A -t- B = ; elles rcncontreut les cotés A, B, C du triangle en trois points qui se trouvent sur la droite A -t- B -1- C = 0.
Ex. S. Par les sommets d'un triangle, on mène trois droites qui se coupent en un point ; elles rencontrent les câtés du triangle en trois points I, F, K. Slonlrcr que les droites IF, FK. R.I rencontrent les efités en trois points en ligne droite.
Les équations des droites qui passent par les sommets et qui isoncourcnt en un même point soûl de la forme
(1) !«B — mC = 0, (2) nC — lA = 0, (3) ;A — mB = 0.
Pouf le point !'■. LLiterscelLou de (ô) avec le côté C, on a C = et iA — »,li=.0.
A = et n,B — nC^O.
L'cqualioii de b droite IF est donc
(IF) ;A — m!i H- «C = 0.
On trouvera pour les dcu\ autres
(FK) — ;a -+- mit -h nC = 0,
(IK) ;A -b mB — nC = 0.
Cc'la étant, pour les poïnls d'intersection de ces droites avec les eûtes, on a I! = 0, iA mit -H mC = 0, A = 0, — iA -MJiB -+- hC = 0, C = 0, lA-h mB — )iC ^ 0.
Si ni! multiplie les premières équations par 2!», 2i, 2!( ut si ou sjoute membre à membre, on voit que les trois points d'intersection se trouvent sur la dioite ;A-HmB-t-ïiC = 0.
llrésultede cette propriété une construction géométriquede la droite l\+mU-^nC^=0. On prend, dans le plan, le point déterminé par les relations
l& = mB = nC, et on le joint aux sommets du triangle parles droites (3), (2), (I) ; soient F, K, I leurs points d'intersection avec les côtés aft, a.-/, pf. les lignes FK, Kl, IF vont couper respectivement les côtés y?, j3s, a-/ aux points a', ?' , / qui appartiennent à la droite iA+mB-t-MC = 0.
Ex. 6. Étant donnée la droite iA-t-!KB+nC=l), construire le point iA = !wB = 'iC. Soient A', B', C les points où la droite donnée rencontre les c6tés^ï,ïa, «^i si on réunit ces points aux sommets du triangle, on aura trois droites aA',^B', -/C ayant pour équations
(ïA'J Hil!-+-ttC = 0, (,3B'| iiC^-/A^O, (-/Cl ;A-t-mii = 0;
ilésiguoiii par C", ]i", A" les points d'iiilersection des droites »S', <iB' ; aA', yC ; ;3B', yC; Si on tii'e les lignes A"x, B"p, C'y, elles Se couperont en un même point qui sera le point clierch^ ; car il est facile de vérifier que les droites A"a, B"j3, C'y sont représentées par
mB-nC=0, nC — lk = il, (A — »iB = 0.
Ex. », Montrer que les droites qui passant par un même point et par les sommets d'un triangle déterminent, sur les CÔ lés, six segments dont le produit de trois non consécutifs est égal au produit des trois autres.
Soient (DmB — nC = 0, (2)nC — iA = 0,(3)M — mB=01es droites, et <t,b,c les points où elles rencontrent respectivement les cotés A, Si, C, l'onr le point n oii a :
- = -= : ; ontrnnveradcnierae:- = | ■. et - = ■■ ■ ■ - ; on multipliant,
il vient
ay-ba'C^
E\. S. Quand dcui: triangles sont tels que les cotés se coupent deux à deux en trois points situés sur une ligne droite, les droites qui joignent les sommets deux à deux
n même point.
Soient a^y, a'|3'/ les doux triangles et
(H) (A't-mBH-"C = 0,
la droite qui renferme les points d'intersectioji des celés A et A', B et B', C et C. L'équs tion du c6lé A' sera de la forme
;e par ie point d'intersection de A el
rA + mB-i-)iC = 0.
également
M-i-«iIÎ-+-!i'C = 0.
■lie ces équal
.ions membre à membre, en obtient
f>n'-m)B^in~n')C^O,
assent par le
is sommets a', |9', 7' du second triangle, puisque ces équations
<3 précédentes par soustroclioii ; de plus elles passent aussi par les som-
es trois droites concourent en un point: en ajoutant ces équations, on
trouve = 0.
Deux triangles qui jouissent de cette propriété sont appelés komologiques ; la droite II est i'axB d'homolosk et le point de concoui's des droites na.', 0, yy' on est le cealrc.
PoNCELET, Traité det prop.proj. des ;îj. p. 151, a établi la théorie des figures Iiomo logiques et son application à In reclicrclie dos propriétés des lignes.
e'2. Trouver i'ançih n (l'une droite L\ -+- mfi -+- nC ^ avi'.c le voté \ du triangle de référence.
Si on mène pnr le siiminct ■/ une [Kirallèle à la di'oîlc donncc, son cqiialinn est
«ndition
me — hii =^ 0*« — 1,1-) k\ d'où
1) sin(y-e)' rapport it (nng 0, on Irouve
?eloppant et rcsolvont
tnng = -
lang
Si on remplace /( pa
{me — nh)s\ny
lenr.
(na — ic)-f-(mc — «ftlcosy «sin cl, finalement, en remarquant que
sin «^ sin(P -h j-) = sinj3
on obtient
(msin-/-»sinf3)siny „;si„y+{msinî.-«sin|3)<.os/
tos-/ -*- sinyeos^.
injîQ^
- )t cos p — (
611. Trouver l'angle des droites /A-+-mB+«C = 0, /'A + ih'JÎ + h'C = 0. Snil V l'angle dos droites, 6 el G' les angles i|ii'ellc.s font avec le colé A. On a : V ^ G — 9', et, par suite.
tang V -
tang b'
Si on remplace tang â et lang 6' par leurs valeurs, on aurii (, »siny-Hsinri)(»i'co8y+»'cosp-fO-(.n'siny-n'sinp)(».cos^/+»cosi3-0 '^{meosy->-ncos^-l}{m-cosy-^n'<tos^~l'j-^{mdny-mïnfij{m'suxy~u'sm^)' Eq développant, on pourra mettre cette expression sous la forme,
-(,.r+i.'/)co.p-((.»'+f«.)fnsy
La (îondiliim de iterpondiculiiriti; des deux drojlos sera «'-+-mm'+H«'--(m»' + m'H)cosa~(Hr-^n'0cos[3— (/m'-t-/'j,0cos7=0,
l'(l — «cosp— racosy)4-m'(m -«eosa— /cos-/)-HH'(rt— weosa— /cosf3) = 0.
64. Chercher l'expression des perpendiculaires abaissées des sommets du triangle de référence sw la droite /A ■+■ mB + »C = 0. Soient p, q, r ces perpendiculaires. On a (N" 38)
l m " n ' chacune de ces fraclions est égale n la suivante : \ap,h(i, cri 2S
]l,m,nl ll,m,n\
On a donc pouc les perpendiculaires
65. TroHuer /a perpendiculaire abaissée d'un point (Ai, lîi, Ci,) sur la droite npA -+- bq'B ■+■ crC = 0,
Menons, par le point (Ai, R,, C,), une parallèle à !a droite donnée et
appelons P la perpendiculaire chepdiée. Les distances de cette parallèle
aux sommets du triangle de référence sont p — P, g' — P, r — P, oa
bien, jj -t- P, q- -^ P, r -t- P; l'éijualion de cette droite sera
Comme elle passe par le point (A,, B,, C,), on a
n (/) ± P) Al -t- 6 (q^P)B, -i-c{r± P) C, = 0. D'où l'on (Ire
f,;..\, + br;B, + crC, ap\, ^ ^li, -t- crC, ^— «A, 6B, — cC, 2S
Si l'étpiation de la droite donnée était de la forme
fiiirail sim|)lemoiU.
66. Quelle est l'expi-ension de la dislance d'un point {A i, fi^,C,) à la hoite l\ -+- miî -t- nC = 0?
Si ou (Wil IVfjiiadoinlc la droite sous ly forme ap\ -+- hqîi -1- cî-C = 0,
as ■
lin rcmplayiiiit p, (j, r pnr leurs valeurs (N" 134), ou trouve , liK, ■+■ mit, + nCi
63. rcoîfftr la dislance entre tes deux points (A , . B,, C,,}, (Aîjlîî.f^s)- Une droite qui pnsse par le premier point est rcprùseulrc jiar A — A, B — B.C — Ci
si elle pjisse par fe scfiond, on n les reliitions
A, Ai__Bs — l}| €a^Ci
On eu déduit
(A. — Aô^siii!2a + (1{. — ri0'aiii26 + (Cs— C,)'^in27 __ , P Min 2a + u^ sin 2,3 + v= siu 2y ' ~ ^''
(Kl bien (N" 59),
, (A. — A,)^sin2«-t-(Bi — Bi)^sin2g + (C. — Ci)^sin2y
6S. Trouner Véqxtalion de la perpendiculaire alinissée d'un point (A,, B,, C,) sur la droite lA -t- mD -+• nC = 0. La droite est représentée par
A —A, B — Jî, C — C,
^iV^C lc« ,-OIKlilioilS
n-i-m'a + n'^^G; l', ni', n' sont ]es cocITicienls inconnus (jui (■nirciit ilims l'i;c|iiatioii /'A + «('B -^ jj'C = de relie droite sous la forme ocHinairc. La oondilion de perpendieulnritc est (N" 63)
r {l — n cos |3 — m cos y) ■+■ m' (m — n cos a — l cos y) •+■ n'iii — m cosa — l eas ^) ^■= 0.
Par la comparaison de ces rolalioiis, ou voit que ),, m, u sont lu-oporlionncls à
/ — neos(3 — JJIC0S7, m — nnosx — le.os-/, n — mcosa — (cosp; et les éqiialions de la perpendicuLiire seront :
A — Al B~lii C — C,
l — m cos ■/ — n cos ,S m ~ n cos rj. — / (.os 7 „ / cos [3 -
Exercices.
Uioii dv lu di'oile menée par tes litmK poiii li. I A t! C 1=0.
li.ï. a. Quelle est l'ti|iialioii de la droite menée par un poin
It.
(A, -I- mB, -t- rtC, TA, -1- jji'B, -»- ii'C, Lx, 3. Quel tst le rapport dessegments que la liftiie /A -i-fiil! + )i(;^=0 détcniiiiii! suf la droite (|ui passe par les points (Ax, 8„ d), (A2, «s, C^) ? ^^ IA,^..B.-^..C,
«, (A, -)- iJiK, -+- «i;,
lis, *. Uélermiiier les eooidoniiéea du point où la droite (A + luB -1- ?iC ^0 icoeontie les rôles du triangle de référence. Pour h côté A=;0, ou truuicra
Kv, S. Trouver l'écjnatiou de la droite passant par le point d'interseetion des lignes A = (; e05,î, lî = Ceoi a et le point du référence v-
it. Acos</ = iicos,^.
F.\. o. Quelle est la surface ilu tiiaiigle dont les sommcls eoïueident avec les iiiilieuï des côléi du triangle de péftireiiee ?
Ex, ■s. Ecrire l'ciiualioii générale des droito parallèles à /A -t- ihB + nC = 0.
R. /A + mB -(- nC -H ) (nA -i- ili -t- cC) = 0. El. S. Trouver la eouditioii pour que la droite iA -+• mil + nC = soil parallèle au eôlé A du triangle de référence.
R. mc — nb = 0.
Ex. ». Les droites A -+- C cos ^ = 0, B -h C eos a = fioiit parallèles. Ex. lO. Chercher les conditions pour que lu dioite lA ■+■ iii]i -i- iiG = soil perpendiculaire aux côtés du triangle de référence.
Ex. Il, Les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés du triangle A-B.r, = soûl représeiilées par lu équations
U fin ^ — C sin ■, -t- A sin (^ ~ >) = *1.
C sin ■/ - A sin « -t- B sin (y - a) = 0, A siii a — B siii (9 + Csiii (a — ^) := 0.
Ex. f 3. Etant données les droites
(1) iA4-mB-t-.iC = 0, (3) (A-Hrall— )iC = 0,
(2) U — miB-hmC — 0, {i) (A-inB — nC = 0,
on forme les groupes ((,2), [3,i);(l,g), (2, i);(I,i), (2, 3); soient P et P', Q et Q', R et H' les points d'intersection de ecs lignes. Montrer que les milieux des droites PP', gÇ', RU' sont situés sur la droite
Ex. la. Prouver que les sinus d'une droite avec ks cotés du triangle de rcléreiice satisfont è la i'elation
et que la dislance de deuv points a pour expression ^ (Ba^B,)tC, — Ci)sini^-+-|C,-Ci)(A, — Ai) si n;9 + (A,-Ai)lBi-Bi)5inv
Ex. l«. Trouver les sinus des angles d'une droite /A -H miB -+- nC = avec les tolés du triangle de référence. Les sinus clierchés salisfani anx équations n-\-mi'. + m = 0, Uin « -1- « sin ^ 4- V sii) ï = il.
\/{ms\ay-n,h,^j{»>
En simplilianl la dcr
Kx, I». Trouver l'angle de deux droites (1, ,•., v), (i', u.', v'). Soit (A,, B,, C,) leur point d'iiilersectioii ; prenons, sue cliacuiiu d'elles, à par liu jjoidt 0, les longnciurs OP=Oy = l. En assignant par As, B„C,i A,,!),, C^ I coofdoniiées des points P ut Q, on aura
A, = Ai + ï, Ps = l!,-l-^r, f, = C,-l-v; A, = A, -l-y, lî, = B, -I- z^'. C, = r,-i-v'. De plus, le triangle OPy donne
|,--/)lv-.') sin :< -4-1^- .'I 0.-i') sin iS + |).->/H/---/)sii' y
