cûSf=l>Q' Eu égard a\i
Ex. ■«. Cliorchei
In fl -+- -'J' sin ^ + i>' sln y = - sii. ç, sin ^ sin ■/,
^ [(/-v' -t- -,«') sin ^ + (v).' -+- W) sin ;9 H- O,"' + l'-l') sin vJ.
linus de l'iinglo des droites /A -H wB -t- "(1 : '»') CQS -1 — (iif+fn'l cos iS — {Im'-hml.') «os
sr l'angle des droites apA + ''îl(-+-crC = {>,(i;/A + (îî'l! + ci'C = 0,
I ï' 9 '• [ ))' (;■ r' H. 2S5in^ = l i I i |.
Ex. IS. La droite o;)A-l-i3B-i-ci'C=0 est perpenilkuli Eï. 1». Lm droites
A-(- jn'B-t-»i'C =
ioiit perpendicularres, si oi
Ex. «•. Sur les milieux des cfltës d'un triangls, on élÈve îles perpeudicuhires proportionnelles aux cdlés, et on joint leurs extrémités aux soraniuts opposfis du trioiigie. Montrer que les trois droites ainsi obtenues se coupent eu un point dont les coordonnées véiifient l'^ijuation
■:<UP-'A . s.n(v-«) , sin[.^
Ex. SI. Trouver les hauteurs et les cotés du triangle Ibrjné par les rii-oiles (I) iA-vmB-+-nC = 0, (2) ;'A-i-m'B-+-«'C = 0, (3) l"A-i- vi"B + n"C —0. Soit Pi la hauteur relative au eôté |l). On aura
ù les coordonnées A, B, C saliHfoiif aux éijuations
/'A + m'B-i-!('C~0, r'A + Bi"B + n"C = 0,
oA -1- ti! + cc = — as.
-as
a+mlt-t-iiC
ongueur du côté 1 1); on a éviden
ii]bstiliiaiiH\PaCtâsiii(l,2)l(iur5
Es. 88. Qiiplle est l'expression de la surface du Iriaiijile de l'esciiiplc pré
Ek. as. Ti'ouvnr la surface du li'iaiigle dont les côtés si ojiA -+- tijB + c'C = iji'A -t- bi'li -4- cr'C = 0, ii
p' II' r-
p q r \. p- q' r' .1 jj" q" r
■!■ l'aire du li-iaiigle fori 6B + (îC = 0, cC-t
§ t). COORDON^KES DE L\ DROITE; ÉQUATION DU l'OEM ; COORDOSNÉES TANGESTIELLES E^ GÉ^ÉflAl,.
69. Cuiisidûi'Ofis une di'oitc niobiie ayani, pour tqualioLi (i) iix + vy -\- \ = 0.
A chaque système de valeurs atlribuécs aux parnmèlrcs, tel que m =: a tt = |3, correspond une droile Jéierminée ; on dit que ces quantilés sont les coordonnées de la droile, puisqu'elles sulfisenl pour la construire dans le |ilnn de \n figure.
yGoosle
Toutes les droites fournies par l'éijiiatioii (1), lorsqu'un donins k u et ti des valeurs qui satisfont à la relation
(2) au + È« + 1 -= 0,
passent par un point fixe; eapsi on élimine i; entre (1) et (2), on trouve l'équation
(bx — ay) u -i- b ~ y == 0, qui renferme un coeflicient indéterminé u, et représente une inlinilé de droites issues du point d'inlerseclion des lignes
bx — (ly = el y — b^O, c'est-à-dire du point a; = a, y = E>. Il en résulte que toute équation de la forme (2) entre les eoordonnées d'une droite mobile peut être regardée eonime Véquation d'un potnC dont les coordonnées cartésiennes sont les coefficients de u et u.
El général, lorsque les eoordonnées h et t; satisfont 5 une relation f(u, v) =^ 0, la droite ux -t- vy -t- l =^0 doit se déplacer dans le plan suivant une loi déterminée; il faut regarder /■(«, «) = 0, comme représentant une suite continue de droites dont les intersections successives forment une certaine courbe b laquelle elles sont tangentes. De là vient le nom de coordonnées langenlielles attribué aux variables m et v, tandis que la relation f(u, v) = s'appelle Véquation tangentielle de la courbe enveloppe des droites; elle détermine, en effet, les coordonnées d'une tangente quelconque a cette ligne.
70. Quelle est l'équation du point qui dtoise la distance de deux points donnés en deux segments dont k rapport est égal à— ? Soient
(l')a,M -t-6,u + 1 =■ cl (Q) OjK -t- 6jU -t- I = les équations des deux points. Mu lliplionsla première par*»,, el la seconde parfflj; on aura, en ajoutant,
{nijffl, -•- nijOs) » -t- (m, 6, ■+■ m^b^) r ■+■ m, -4- m^ = 0. C'est l'équation demandée; car elle représente un point qui a pour
coordoi
iinees
Poui
■le mi
liei
1 de PQ,
yGoosle
71, Trouver (a suiface du triangle dont les sommeAs sont : «,M -t- b,v + c, = 0, a,M + b,D -H Cî = e( a^tt -+- b^v + C; = 0. On suit que la surface dit triangle des points (x,, y,), {xi, î/î), (ij, i/s) a pour expression
On Irouvei'ji ponr l'fiii'e dti triangle donné, en remplaçant i/i, x^ etc. par
79. Trouver l'équation du point d'interseclion de deux droites données Si {Mj, lî,), {i*,, Cj) sont les eoordonnées des droites et au -h hv + t -= 0, l'équation de leur point d'intersection, on doit uvoir les conililions au, -K-hv, -+- 1 ==0
-bv.
D'oi
et l'équation tlicrohée sera
73. Quelles sont les coordonnées de la droite qui joint les points a,u -ï- 6,u+ I =0, «jWH-èjU-t. 1=0?
Les coordonnées de la droite qui passe par ces points doivent siitisfaire k la fois aux deux équations; il faut résonilre eelles-ti, en regardant m et v comme les inconnues. On aura
ft, - (i. ^ Z"^^ '" ^b. — a,h, '
24, Chercher l'expression de la dislance du point mi -t- 6tî -+- 1 =0 « la droite (w,, i',).
La droite donnée a pour ciniulio» en ciiordoiinées carlésicnncs
La distante P du point (a, b) a ccHc droite sera représenlée ]iar
Il importe de remarquur que le numérateur est le premier membre de t'équarion du point où ii et v sont remplacés par w,, u, ; de là eette régie : Si on divine le premier viembre ite réqnation aw -i- 6u + 1 = par yu^ -\- (1*, le quotient exprime la distance du poitit de l'équation à la droite (ii, r).
Î5. Trouver lu condition pour que trois points il droite.
Soient
■s soient en ligne
a^u-t-b^v-hc,=0,
u^u^b,v + c,=0, les équations des trois points; s'ils sont en ligne droite, Taiie du triangle ifui leur correspond est nulle, et on a la relation
Ces trois points appartiennent encore ii une même droite, si on peut trouver trois constantes A,, k^ et k^ telles que l'on ait l'identité A, («,M + h,v + c,) -^- k^ia^u-*- h^v -\- i) + k^{a^u 1- b^v + c,) = 0;
car les coordonnées de la droite qui joint les deux premiers points, annulant les deux premiers termes, devront aussi annuler le dernier, et, par conséquent, le troisième point est sur la droite des deux autres.
56. Trouver l'angle de deux droites données (m,, yj, (w^, i;^}.
Celle question revient Ji déterminer l'angle des droites représentées, en
coopilon Liées onrttsicnncu, p.ir les éiiuaiioiis
UiX -^ v,y +1=0,
D'après une formule connue, on mira
Il eu résullc que la coudilioLi de pei-pendicularilô s et eclle du parallélisme
c'osUà-dirc que, dnns ce derniep cas, les coordonnées des droites son( proportionnelles.
Es. i. Tzilerprétcr Icîs tquations suivantes :
„„-t-c = 0, bv^C — d, «H+6!l=0, c~0.
Ex. ». Chercher l'équatinn d'un point situé sur une droite donnije {",, ii,).
Ex. 8. Quelle est la condition pour que trois droites passent par uii même point?
R. «, (->, — w=) + l'i («s ~ «0 -I- «, («, - «.-, = 0. El. 4. Écrire les équations des sommets d'un triangle dont les efllés sont ( — !. 2), (1,-3), (3,1)-
n. iJM + 2u -1- I = 0, !( -H iu — 7 = 0, 2(i — u — li = 0. Ex. 5. Uolorminer les coordonnées d'une droite qui passe par le point de ■ lies droites (»,, c,), (1/3, i^s).
Ex. O. nlslanec de deux points b.u + biv -t- 1 = 0, ixau + biu -+-1=0.
R. S=l/(Oi — o,)' + (((a — 4i)^.
Ex, 1. Uislante de l'origine à la droite («„ «,).
E\. S, Dans <[i.iel ropport une droite (u,, "0 divisc-t-cllc In dislinice dts poiii ,,„-,.;,,m-l=0, nsi[-His«-t-l~0?
En supposa rapport elicrci
",tf, + 6,y. + l
E.. ■- Qq.
représente l'équueîoii liomogJiie du degré
Si, après ûr
oir divisé par u*", on résoud l'équiilion p
dérii>it>Rpoi.i situes à l'iiifi]]
,e ; réelles ou imaginaires. Il en ré
11 — r,l, = 0, il- 6«=0, «
■suite que l'équation proposée
ÎT. Considérons ranititcnniit trois poinis fixes a, (3, y ayant pour coordonnées reclangiilaires {xa, yo), {x,, t/,), (xa, i/i), et représentés par les éiiuatiiins
(y.) \j -= 0, (P) V = 0, (y) W = 0, où
U = XoW -I- t/uf H- 1, V^x,M + i/,r -(- 1, W = j;,M -+- i/,r + 1.
Une droite, qui se meut dans le plan suivant une certaine loi, peut être déienninéc, à cliaquc instant, par ses distances aux trois points fixes. Nous les reprcst'nterons par A, B, C, comme les coordonnées triangulaires, afin d'avoir plus d'uniformité dans les équations. En vcrlu duN^ H8, les quantités A, B, C sont liées par la relation
a'A' -1- 6'B' -f- cX^ — 2BC6c cos a — 2CAm cos [3 — 2ABa?i cos j/ = 4S* ; de sorte que la droite est délerminée de position, si l'on connaît seulement les valeurs positives ou négatives des rapports —, — de deux de
ces distances ii la troisième. Dans ce mouvement, la droile mobile reste tangente à nue ccrlainc courbe qui sera représentée par une équation entre
ou, par une étiiiotion liomogène cnd'ft A, B, C, F (A, B, C) = 0.
Les finantités A, B, C s.onl les coordonnées lanifeiiltelles de la droîlo mobile, et l'équalioa [irécéilenle, qui sert à calculer les valeurs dos coordonnées d'une tangente quelconque, est Vétjiialion tangeniielle de la courbe.
D'après la signification des premiers membres des équalions des points fixes, les distrtnees A, lî, C peuvent s'exprimec en fonction de u et r ; car, N" 74, on a
toute équation homogène en A, B, C se changera en une autre de même nature en U, V, W, puisque le rndieal disparait nécessairement.
78. L'équalion liomogène (lu premier degi'é de la forme (P) Ik +,nB + nC = 0,
représente un point; car elle revient à
l\} -+- mV + «W=0, qui est du premier degrû en u et y. Les coordonnées rectangulaires des points de référence élant (x„, y^), {x^, j/,), [x^. y^), celles du point (P) seront
lx„ + mac, -H nx, hi,, -i- my, -\- mi,
l + m + n ■' / -V H( + Il
Lorsque l'un des coefTicieiils et nul, par exemple n = 0, on a l'équaliou à deux termes
(|->) (A -f mB --- ou /U -f- m\ = 0,
qui représente un point D silué sur la droite des points fixes a. cl (3; car les valeurs m = w,, v ^u,, qui satisfont à la fois aux équalions U t=0 et V = 0, satisfont aussi h la relation (D), el la droite u,x -t- v,y + 1 =^ doit passer par les points «, p el D. Les coordonnées rectanguliiires du point D sont
tx. -+- mx, liu + un/.
Ce point divise donc la distance o.B en den\ segments tels que — = ---;
il se Irouie sur «p, si / et m sont de même signe, et, sur son prolongement, si ces coefficients sont de signe différent.
La construction du point (P) repriSscûté par l'équation à trois termes peut se fflire de la manière suivante : on prend d'obopd sur k[3 un point s représenté par
c'est-à-dire, tel que -= =-r ; il aura, pour coordonnées,
le point (I') sera donné par J'cquntion
et, pour Je trouver, on divise la distance zy en deux segments lelstnie Le point ain^i obtenu est celui qui répond à l'équation (P);
Py l -*- m cor sescoordoi
^ tx„ -^- mx, -I- HX, __ f'/o + "'.y, + »!/^
- l + ,„^n ' ^^ i + fli + K '
59. Trouver les coordonnées triaitgiilairci du point défini par l'équation (A-t- iitlî -i-»(C = 0.
Désignons par A,,, Bg, C^, les coordonnées elierehées par rapport au triangle «Py. Nous savons qu'une droite, en coordonnées triangulaires, est représentée par l'équation
upk H- fc^B -1- (!iC=^0.
Si elle passe |>ar le point (A„, ])„, CJ, on a la condiiioii npA„ -\- bcjBo -t- crC„ = 0.
Or, p, cj. r sont les perpendiculaires abaissées des sommets du triangle de référence sur ht droite, c'est-à-dire les coordonnées tangenticllcs. Par conséquent, en regardant/), q, t eomiiie variables, l'équation précé-
(leiilu PI! présent lira le pDÎiil [Au, Bu, Co), Idcnlilioris culUi ùnitalion i eclie tfu poiiil donné ; on aura les égalités
«Ao 61!o cV.o -~2S
d'où on iléiitiit
lt„
- a.tiS
wlh
— 2hS
Les qiiiintités lii, Ih, fes sont les liaitteups do trinngic de rérdi'ciiee. De ces égalilés, on (ire
A„ Bu~Cu /*( Aï h, et l'ciiiiiition !ioniof;ène du premier degré peiU uiiciire s'écrire
h , hî hs
tiO. Trouver l'équation du point d'intersection de deux droites données. Soient (Ai, Bf, C|), (A„ Bt, Cj) les coordonnées litngenliellcs des droites, et
/A -H wB-+- iiC = 0,
l'éiiualioii de leur point d'interscctioii. On u les deux éijUiitioiis
Ik, -i-m%i ■+■ «Cl =0,
L\i -t- mBa -t- jiC3=-0; si on élimine (, m et n entre ees éi]iiiilions, on Irouvi;, jtour le jjoini demande,
Hl. Chercher l'expreHsion lU la (Uslaitce du point IX ■+■ mii -t- nC = à ht droite (A,, B,, Ci).
Si P est cette dinfance, une ijarnllèle à la droite donnée menée par lo point de réquatiiin anrn pour coordonnées Ai -i- P, iti -+- P, d h- P, ou bien. A, — P, B, — P,Ci — P; comme elles dûivoiithitliafairc à l'équation (lu ptiinl, on a
/{A,±P)-i- m(l(, ±I>)-t-«(C,±P) = 0, d'uù
Si l'é<|na(iori du |>oint donné émit
h, Ils l)i
lin Inmvei'ait de la même manière
Ex. ■- ïloiilrep que la droite qui joint les iiiilii'U'i ili; ileux cotés d'iui liijLif;le est par» lié lu au iroisiénie calé.
Les équations des milieux de AB et BC .«ont
A-f-B = cl l) + C = 0,
et celle .iu poii.t ,-i i'iiiliiii sm- AC
Si ou multiplie la prciiiièri? pur — I et si l'on ajoute lucullire ù iiieLubre, ou trouve = 0; ces Iroid poiiils mal eu ligue droite.
E\, a. Trouver l'équation du point d'iulerscctîoii lies mciliaiifs.
Le milieu I de AB a pour equatiou A-^-U =0; donc A -t- B-4-C = 0ri;pré3euie un point de la médiane 7I ; ou verra, de luéme, que ce point appartient aussi aax deux autres médianes ; de sorte que A -f- B -f-. C := esl l'équation de leur point d'iulL'isection.
Ex. 3. Que détinissculleséquntioits A =i(l=^r?
