II. Les points d'une ligne à l'infLiii
F.\. t. Trouver les coordonnées de la (i^nc dioitc i.\iii |jiiïse par irs points
— SHf —
on (ibliciuii-a les valeurs de A, lî, C, ei) y ajoulanl In i-elatiii]i
[nA, 61), cC!==2S.
Ex. ». Sur les tôiiis AB, BC et CA d'un trinngle, on prend trois poinls D, E, F oi
ligne droite ; raoutrop que le produit de (rois scgmenls non conâéuutifs est égal ai
produit des autres.
Dans l'hypothèse où D et E sont pris sur AB et l!C, tandis que le point F est surli ppolougomont de AC, les équations de ces points eu ligne droite seront
(D) (A-i-mB— 0, (E) mB-HiiC = 0, (F} «0 — (A = 0. «i AD » DE ; CF CF
— -— I. ou AD.BE-CF — BD-CE- AF.
Bl» . CE ■ AF '
Ce Ihéorènie est dû à Pythagore ; i! sfirl de base a \n théorie des transversales. § 4. nAPPOBT ANHAHHOSKJCE et H.VnjlOiSlOUË. IIOM06n.tPHIIi. involution.
88. Considérons un système de qiiiUre points «, 6, ;/, () siltiés sur une dî'oitc et représentés par les équations
{}') A — ïlî = 0, iq) A — ^.IJ-=0,
où A Cl B sont des fonctions de m et d de la Torme «m + bv -t- i. Le rapport nnharmoniquc de ces points est l'expression apbp "'1 ' ''?
si l'on regarde a et 6, jj et (/ en rapports analogues en groupant les points d'une autre manière.
II est d'usage de compter posiii- tie. 31.
veinent les segments dans le sens de a vers le piiinf ij c dans le sens opposé.
f" '"I ' '"I . fonelinns du p
— loi) —
Qi'me X CDS a + y i\nc— ]i, les éi|uatioii,s (t) i'e|)rtfse nient quatre droites l, B, P, Q qui se coupent en un même point.
Le rapport anharmonique du faisceau est celui des points a, b, p, q où ;cs (Icoiles sont reiicontr(!es par une siicanle quelconque S. Op, si on bîiisse des points p et (/ des peppencliculnires sur A et B, on a - P'^ sinfA.P) qh sin(A,Q)
.lil(l
<lf
si„(B,Q)
;ic si 'if '■
sir
iangle*
i sembla
ibles, il
csl
visible, qii'f
ppopt des perpendiculaires, on peut substituer celui des segments interccpiiis sur la sécante; par eon-
sëquenl, - représente le rapport
Taisceau. On n nicmc temps, que i'e^-
"'/ ' '"l tante quelle que soit la ion de la sécante, car elle est éjçale au rapport des sinus des angles des droites fixes : c'est pour ce motif qu'elle sert de définition au piipport anliarmoniqne des droites.
Donc, SI quatre points on quatre droites sont représeiilés par des tyiiti-
Hons de la forme (1 ), leur rapport anliarmoniqne est égal à — ■ Lorsque les poîuls ou les droites ont pour équations {u.) A — /fi =- 0, {b} A — ftli = 0, (p) A — /'B = 0, {q) A — u'B =-- 0,
on pose A — ÎB = A', A -— u;B = B' ; en esprimanl A cl B en fonction (le A' et B', les équations précédentes deviennent
et le i-ap|)ort anhnfmoni(|iie a [lour viilciif
83. Le rapport anîi(ii-moiiLf(!ic se change eu rapport harmonique, lorsqu'il n pour valeur — I : ainsi une droite 06 est ilivr meiil aux points p et ç, si
aq bq ' '■!;■ ■''■
et, pour nn faisceau tic quatre droites liannoniques A, B, [',Q, un Joitavoi sin (A, P) sin (li, P) ^ sin{A,Q)Sm([i,Q) Dans riiypolhèsc où les points et les droites sont donnés par les équ£ lions (I) et (2), on a les conditions
Il en résulte que les points on les droites
A ~ /cB = 0, A + /:B = 0,
seront harmoniqiiement cnnjnsués avec les points on les droiies A = 0, B = 0.
Lorsque quatre points a, b, p, q sont harmontqncment eonjujjnés deux à deux, on a A -I- ,u = 0, ou bien
Pour que cette relation soit sîitisiaite, il faut que l'un <Ies points p et q se trouve entre a et b; alors un des deux rapports est négatif. Si le point p se rapproche du point b, son conjugué q s'en rapproche aussi ; mais M p s'éloigne pour venir vers le milieu de 06, le point q s'écarte de plus
en plus du point 6. Enfin, si le point /> est en 0, on a — = — 1 , et son
conjugué sera à l'infini, afin que^= I. Un segment uh est toujours
— an —
divisé h;irmoniqiiemcntp;\i' son inilieiiuUe point i'i l'iiiliiii sur sa tUfeclion. Si quatre droites A, B, P, Q conjuguées deux à deux forment un faisceau harmonique, l'une d'elles P se trouve dans l'angle {A, B) el su conjugce Q dans l'angle adjacent. Toute droite qui coupe le faisceau sera divisée liarmoniquement; si on mène une sécante parallèle à l'une des droites, par exemple ii Q, le segment compris entre A et lî sera divisé en deux parlics égiiles par la droite P, le point d'intersection de la sëcantc avec Q étaut a l'iiilini.
S4. Parmi les figures où se rencontrent des divisiojis harmoniques, une des plus remiirquables est le quadrîlnlère complet. Considérons, dans un plan, quatre droites A, B, C, D qui se coupent en six points 1, 2, 3, 4, S, G; menons les lignes 15, 2i, 5C. L'ensemble de toutes ces droites constitue le (/iiadrilalère complet, dont les sommets sont les points i, 2, 3, 4, 5, fi, et les diagonales les droites 15, 24, Sti. Prenons pour triangle
rérérence celui qui
avec D, et son équation est de la forme A -i- B ■+ C — /cA = 0; or, elle passe aussi par le point 3, et la relation précédente doit être satisfaite pour B = 0, C = 0; il faut que l'on ail k = \. Si on applique un raisonne-
atiuns des
ment analogue aux droii
Les 24, 5(i, on trou
ive, pour les éqi
diagonales,
A + Il =- (1,
Soient U, tV, 0" les pi
)iiLlj d'intersection
de ces droites.
chant les deux premières
équations membre
il menibie, on a i
qui reprcscLitera la droi
te Oo; de sorte qi
le la sQustraelioi
limis [iréftédentes, prises ilpux ii Jeux, donnera poui' les droîles !»0, 50' et 20",
(bO) C — A = 0,
(30') Jl — C =- 0,
(20") A — Ji = 0.
Ces équipions démontrent l'existence Je trois faisceaux âc droites lini'moniques ayant pour sommets les pornls 2, 5 cl 5. Les droites de elinqne laisccau sont
Jî, C, 51, 30',
C, A, m, ;io.
Cliiique diagonale se trouve ainsi divisée harmoniqucmcnt par les deux antres; de plus, les conjuguées harmoniques des dîngoiialcs, e'esl-à-dirc les droites SO, 30', 20", se coupent en un même point.
Ces propriétés du quadrilatère fournissenl une construelion de la quatrième droite d'un faisceau harmonique, lorsqu'on connail les trois autres. Supposons qu'il s'agisse de trouver la droite conjuguée à 30' relativement au groupe 36, 35. Par uu point quelconque 0' pris sur Ir droite conjuguée de celle que l'on clierclie, on mèoe deux sécantes quelconques 0'24, 0'6b; on tirelesdroilesiG, 23 qui se couperont en un point 1 appartenant à In droite demandée.
De même, éUnt donnés trois points 0', 6, 5 sur une droite, pourtrouver le point 0" conjugué de 0' relativement au groupe 6, B, on joint ces derniers à un point quelconque 5 du pion; par le point 0' on mène une sécante 0'24; on lire ensuite les droites 46,2a qui se reneontrcnt au point I. La droite 31 eoupe la ligne des points donnes en 0" qui sera le point elicrché.
Ex. i. Los bissectrices des angles odjaeenis des liroiles A :=(), 11 = sont eojijuguées harmoniqucmeiit par rapport à ces drilles . Ces bissectrices latent A+B = et A — B = 0, elles forniciil un faisceau harmoiilijuc
t A ~ Ml == « la ilivi
^ «,/ — 2Hin -V- ni
A (w, — 2/ 4- n) -i- I! (».( — 2"Hi -i- ni) = 0. Ht. a. Piii' un point lin inèn« les droites I, 3, S aux sommets d'un lrii)n);le ; soient i', 2', 3' les ilroitit* qui coinplùtent les fjiisceoux aux aommnts ; dcnit d'entre elles concourent rn un même |)oint avec l'nnc des trnis premières di'oilvs. Les iii|uations îles drnites snnt de la Torme
(I) iA-M.B = 0. W fliB — «C=0. (3) «C — /A = 0,
(f) U-t-mB = 0, (2') iHB-t-«C =0, (3') .iCM-iA=:0.
Or, si on retranelio membre à membre |l'l c{ (2') on trouve l'c<|Ualioii (3); dont Ips
Ex. M Avec les mdines données que dans l'exemple précédent, montrer que les droites I', 3', 3' rencontrent les côtés du Irianglo en (rois points silués en ligne droite.
Ces puinis d'intersection sont sur la droite fA-l- niB m- tiC =0.
Ex. S, On coupe les cdlés d'un triangle par une drolto et on construit le <|uatrième point harmonique sur deux cdtés; montrer i|ue les deux points ainsi obtenus sont en ligne droite avec le point d'intersection de la séennte et du troisième côté.
Les points d'inlorseefion de la sécante avec les cotés ont pour équations W — niB = 0, ihB — bC = 0, nC~iA = et leurs conjugués harmoniques
(A -»- nîB = 0, Mil! -1- nC = 0, iiC -l- /A = 0.
La soustraction des dernières équations, prises deux ù ileu;i, reproduit l'une des trois premières, donc ete.
Déplus, les droites qui joigticnt ces derniers points aux snmniels du triangle concourent en on point dont l'équation est l\ -*- ntB -i- iiC =0.
SA. Deux ili-OLlcs sont divisées liomographiqueiiient aux points «,6,c.,., o',6',c',,,, lorsque le rapport Rnliarmoniquc ^c quatre points que!coni|ucs lie la pretniÈre est égnl îi celui des quatre points corrcspominnts de la seconde.
Soient les potnis
A=0, rt=0, A — ;>îi .==0, A— f^.D =0,
A'= 0, II' ^0, A' ~ l'B' = 0, A'— [/.'lî' = 0,
sitiit^s sur les droites ab et a'b'; ils sont lioniograpiiiqiicsj si on a
yGoosle
— lOS —
plusieurs droites concourantes en un même point (lutcrminent sur deux sécantes des divisions hoinographiques ; car le rapport an harmonique des points d'intersection est constant, quelle que soit la direction de la iransversale. Si on fait coïncider deux droites divisées homogrnpJiiquement, on a une même droite portant deux séries de points liomographitiues.
Deus faisceaux sont hoinographiques, si les rapports anliarmoniqucs des droites de mâme ordre sont éfçaux. Les équations
-XB = U;
- lilW = 0,
donneraient deux faisceaux liomograpliiqiies ayant pour sommets les points (AB), (A'B') ; elles détermineraient aussi deux divisions homographiques sur les droites ab et a'b', si A, B, A', B' sont des fonctions linéaires des variables u et u,
Ex. ■■ Deui droites sont divisées homogi'aphiqufimpiitaus points a, b, c, d, a, b', c', d' de sorte que leur point <l 'intersection a se correspond à lui-même dans Ips lieux divisions ; inonlrcr que les droites bb', ce', et dW se coupent en un même point.
Les équations des points sont de la furuio
((i)A = 0, (6) B = 0, (tr)A— JB=0, (rf) A — //B:=Oi
[a)A = 0. 1//]B' = 0, M A— AJI1' = 0, id-)A—kpW = Q.
Si on retranche membre !, membre les équations (cj et (c'|, (d) et {d'), on trouve
— B + ytB'=^0
qui représente un point situe sur les droites ec', dd', et bb'.
Ex. 9. Deux faisceaux lioinogra phiques ont an rayon commun ; monli'er que les droites correspondantes se coupent sur une même droite. Même calcul que dans l'E:*. I, en regardnnt tes équations comme reprêsentniit des
Ex. a. Si deux droites sont divisées homograpliiquemcnt en a, h, c..., a', fi',c'...., les droites iifi' et ba', ne' et ca\ ad' et rfn', etc. se coupent sur une droite fixe. Cette propriété résulte de l'eseraple précédent.
S6. fiwoltiHon. SiK points situés sur une droite et conjugués deux à deux a et a', b et 6', , c etc', sont dits en |
involulion, lorsque '''^- ■''■
le rapport anharmonique de quatre d'entre eux pris dans les trois syst est égal à celui de leurs conjugues.
Sûiciu
(a) A = 0, (h) A — /A' = 0, (c) A — ,(aA' = 0, ' (a') A' = 0, {b'} A — à'A' = 0, (c') A — p'A' = 0,
les ûquiitions de six points npparlenant à luic même ilroile, Considdrons le système des qunlre points {a) A = 0, (a') A' = 0, (6') A — /.'A' = 0, (c') A — f^'A' = 0. Les éi|unlioiis de ieurs conjngiiés peuvent s'éerirc K) A' = 0, (a) A = 0, (b) A'— Ll = 0, (e) A'— -A = 0, d'où ou lire, pour lu condition de l'invoUnioii,
(4) ^ = Ç, ou /À' - «f.' =. 0.
Celte éijtiaiion sufiit pour nflirmep que les six points sont en involiitioii, c'est-à-dire, qu'avec celte condition, le rapport anharmonique de quatre points, choisis à vulunlé dans les trois systèmes, sera toujours égal à celui de leurs conjugués. En effet, posons, conformcment à cette relation,
[t = td, fi' = — ; les équalions des six points deviennent
(a) A==0, (ft) A — >.A' = 0, (c) A — aV = 0,
(«') A' = 0, ((.') A — VA'=U, (c') A— ^A' = 0.
Prenons la eombinaison
(«) A -= 0, [a') A' = 0, {b) A - ),A' = 0, (c) A — kW = 0; leurs conjugues respectifs sont ((,') A' = 0, (a)A = 0, (6') A' — ^A=.0, (t') A' — 4 A = 0.
On voit que le rapport anliarmonique a la même valeur dans les deux systèmes. Il esi facile de vérifiep qu'on arriverait au même résultat avec toute autre combinaison; donc la relation (4) est suffisante pour établir rinvolution des points représentés par les équations (3).
83. Trois couples de points harmoiiiquemeiil conjugués à uu si//slèine de deux points fixes A = 0, A' == sont en involalioH.
Los (jijiiaîions ilesi trois ooiiplesile poiiils seroiildo ia forme A — ;.A' = 0, A — ;xA' = 0, A— vA' = 0,
,\ + /A' — 0, A -t- fy.A' -- 0, A -t- vA' = 0.
l'osons A — J.A' = P, A -H XA' = P'. Si on exprime A et A' en fonction tic P t!t P', les cqn^ilions pr<!eédentes dovieiineiit
P' = C, Ph-,^^^P' = 0. p -t-^^L!p' = 0.
cl, sous eetie forme, ont voit que la condilioii do l'iiivoliuion est salisfniie. Réciproquement, lorsque six points
A == 0, A — hV ^= 0, A — yA' = 0, A'= 0, A— A'A'=0, A — w'A'=0,
soiilcti involulion, il existe toujours un système de deus poinls, («) A — a' = 0, A — H(A' =
linrnioniqiicment conjugues par rappoH aux points de eliaquc groupe., En
effet, il suffît, pour qu'il en soil ninsi, de trouver des valeurs de / et de m
propres à satisfaire aux relations
im - ^ (/ + m) (A -t- >') + ;.;/. = 0,
eomnic les points donnés sont en involulion /// ;^ v.p.', et les équiilions pi'éeéileiilea ic réduisent aux deux suivantes, : ; -+- m = 0, Im -H (j.y.'=0.
D'où on tire ( = -+- {/[Jij' et m ^ — K (^-f-' ! donc ie système (a) existe toujours et les deux points pcuvenl être réels ou imaginaires. Celle propriélé pouiTflit servir de déâiiition à l'involulion de six poiiits.
§8. LorS(fm six poùm d'tine droite représentée pur les équations
A -=0, B = A — U' =0, C = A — pA' =0,
dimnenl lien à l'identité
MA' -+- mlîB' -+- «ce = 0,
ils forment un système de points ea involulion.
En effet, rfiinpljiçons B et B', C et C, par leurs Vitleiirs ; si celte idcnlilc existe, on doit avoir les relations
l^Q: -^ ).') m — ((/ + !^') n = 0, mll' + np-y-'^O.
Or, U combinaison de la prcmièrii avec la dcrnièi-c donne W.' — p.ij.'=0; donc, il y a involulion.
RéciproquemenI, si les points forment une involution on a ).).' = pfi'; les ti'ois (équations n'en forment plus que deux distinctes ; ce qui suffit
pour dëterininrr les rapports — ! - qui donneront lieu à l'identile
précédente.
Il résulte, de celte rèjçle, que six points d'une droite ayant des équations de la forme
mit — hC -= U, hC — /A = 0, lA — mB --= 0,
sont toujours en involulion ; car ces équations conduisent à l'identile ;A {mB — hC) -t- mB («C — (A) + nC {lA — mB) == 0.
89. Si, dans la condition (i), on substitue aux coefïieieiits les rapports des segments qu'ils représentent, on a la relation
ou bien
«'fi a'b' a'c a'c' irc une nouvelle équation, pour définir l'involution de
— loy —
sis poinls, en égalant le l'apport imhiiniionir[ue des points a, r, h', c' à celui de leurs conjugiids a', c', b, c. On trouve nînsi ab' ch' <•■(, c'b
ab' ■ bv' - ca' ^^
ac'-ba'-cb'^ On dit niisi'i i|ne si^ droites représentées par des éi|U!i(ions de orme (3) formcnl un faisceau en involulion, si on u U eondition
II' — j/ji' — 0, »n Lien, en désignant par A et A', B et B', C el C les droites corijngut leux à deux, et en remplaçant >,, y., }.', \i' par les ra])piirls des sinus d
sin[A,B) sin (A, R') sin (A, C) sin (A, C)
sin(A',B) sin(A',B') sin(A',C) siii(A',C') Cette i-elBlion pent s'écrire
sin (A, B) ■ sin (A, B') sin (A^ B') sin (A', B) sin (A, C) sin (A, C) ~ sin (A', C) ■ sin (A', C) ' Enfin, si on égale le rapport anharmonique des droites A, C, B', C à celui de leurs conjuguées, on obtient
sizi (A , B') sin (C, B^ shi (A', B) sin (C. B) sin (A, C) ■ sin (C, C) "" sin (A', C) ' sin (C, C) ' et de là on lire cette nouvelle équation
sin(A,B').sin(B,C').sin(C,A') sin(A,C').sin(B.A').sin(C,B') '
|ioor définir un Taisccau en involulion.
90. Une Iransversale rencontre les calés d'un tjuudrikilèrc el deux diu gonales en six points en involulion.
Soient
A, = 0, A. = 0, As -= 0, Aj = 0,
— MO — les équations des somniPls d'un qu!idi'iialci*e simiilc, et a\, «s, ffô, "i les nombres auxquels se réduisent les fonctions Ai, Aa, As, A4, ponr les coordonnées d'une sécante quelconque S. On aura, pour les équations des poiots d'intersection,
Ai
A,A4__A Aï A, li
désignant par 1, f, v les facteur près à ramener les équations (a), (6), (c) à la forme au -t- 6tî -i- 1 Les équations des six points deviennent alors
(a) A = 0, (&) Tt = 0, (c) C ==
„ï 2=„, OT^-f^o, Mt~!-»;
; qui montre (iS" 88) que ces (loinls isurer atissi, cji remarquant que
; ou invohition. On pont s
d'où on tii'c l'équation qui c'iraelcrtsc l'involiilion t!c six piiinls oi-/ -ba' ■<■!>'
CeUc ppopriété donne la construction du sixième point d'une ir lion. Supposons qu'il s'agisse de trouver le point c' qni lorme une ir tion avec les cinq points donnés n, a', b, h', c. Par les points a on mène trois droites qui forment on trianifle quelconque Aa A3 A
joint 6' et a avec les soinnicis As et A^ ; les droites b'iU, «A^, se coiipcnf (Ittelquc part en Ai. La ligne qui p.isse par Ai et le troisième sommet Aa détermine le sixième pointe' de l'involution.
Ex. 1. Étant donné un tri.iiiglc, on jnint ses aamincls à un point Cae du p!«a ; mi»i(i-rr que toute sécante rencontre les droites de la ligure en six points en involutloii.
Soient A=:0, B = 0, C = les équations des câiés du triangle; celles des Irais autres droites seroni
(A') HiB— nC = 0, |ll'| hC-*A = 0, (C) /A — HiB = Oi
ItipHant,
n(A,ll').sin(B,C').s"iu(C,A') " Donc, les eôlcs cju triangle et les droites qui passent par les somm«ls oui cnl la relation de l'involution, de sorte qu'en menant par un point îles parallèl droites, on aurait un faisceau en invnlution. Menons côtés du triangle aux points n, 0, « et les autres droites en a', b', c". En expi
rapports — > - < — i en fonction des segments iliitorniliiés pjr la sécanle, facilement à la relation de l'involution
ne' ■ b»' ■ ch'
in (B, A') iniC,A')'
l sin (C, li') m si n sin(A,B')' l s,
niA,C'| m (B, t;-,
sin (A, Cl
. sin (B. A') -sin in, B')
Ex a. Lqs droiles qui joignent on point du pian aux sommets d'un qnndrilalcre forment un faisceau en involulion.
Soient A, =0, A, = 0, Aj =0, Aj^O les équations des calés, etn,,nî, n,, oj, [es vaEeurs de Aj, A a, A,, A, po'ir les coordonnées du point fixe; ks équaliona des
"""""""" ,„ èi li = „, ,v, il ij = „,
(Cl ^-^ = 0, (C) li i:i = {|,
Soient )., n et i les facteurs convenables pour ramener les rquutioiis (A), (B), (C) à la foi me ce cou ï + t/ sin a — p = 0, et posons
A, As^A A; A,, ii A-, Ai t;
(A) A = 0, (Ji) B = 0, (C) C =
et par conséquent, d'après le numéro 8g, il y a involulion.
Lorsque le point est à l'infini, les droites sont parallèles, et an a celte propi'ictc : ics projections parallèles des siï sommets d'un quadrilatère complet, sur une droilo quelconque, sont six points en involutîon.
Ouvrages à consulter sur la théorie de l'involution et de l'homograpliie : VoHeauttiji-ii uns der annlyiûchea Géométrie der geraden Linie, des Punklts nnd des Kreisea. — Vki' VorletuHgeu ans der aniUytitelie» Géométrie von D' Otto Hessb. — Traité de géaméhie »npérieiire far Ciiisles. — J. Steineh's Vorlesungen ûber synlhetisc/te Géométrie. Ces deux derniers ouvrages (lounont, par une mctliode synthétique, de grands développements sur l'homographie et l'involution avec leur opplioiition à l'élude des figures.
