CHAPITRE IV
Sojpihjihe, — Du cercle ea coordonnées carléaiennei et polaires, — Ue la langente et de la polaire. — Èqwilioas diverses (Ju eercle en coanlonnéea Irintiffutairea et langenlielles,
§ 1 . ÉQUATION nu CEnr.r.E en coolioo.\nées cartésienniis et pOLAinns.
91. L'équation d'im r.erde rapporté à des axes ijuelconijiies s'obtient, en exppimanl que le cairé de la distance d'un point variable (a;, y) de celle ligne au centre esl égal au carré du rajon. Snîl C («, 6) le centre, r le rayon ; on auni, pour des axes reetangulaircs,
(1) (x-a)'^{ji~hr = rK En dévcloppani, cette équation prend la forme
(2) x^ -^f ■+ 2Ma; -4- 2% + P = 0, où M = — a, N = — 6, et P = n* -+- 6* — r'.
L'équation la plus générale du cercle en coordonnées rectangulaires est donc du second degré; elle ne renferme pas le rectangle xy des variables et les cocfliercnts des (ermes en x^ et y^ sont égaux.
Les relations précédentes servent li calculer les coordonnées du centre cl le rayon d'un cercle représente par une équation de la forme (2) ; on a
Le cercle est réci ou imaginaire suivant la nature du radical; il se réduit à un point lorsque M' -i- N^ — P = 0,
Si l'oviginc est au centre, b = 0, 6 = 0, et l'équation (I) devient (3) x^ -i- f^ r\
Lorsque les axes son! obliques IV'qiiation du cerelcj
, d'après le même |)rinci|)c, pour
(4) (x-ur
- -*■ 2*y co
■ a{j; — cr)(i/ — t)cosQ = J■
•+■ 2Qj: -V 2R)/ -V S = 0,
■lie
S = o^ -V (»' -V 2a6 eos Q — j-^ Ainsi, réquation ^ii cercle en coordonnées obliques est dti second degré; 1rs termes en a^ el y'' ont pour coeiïîcienis l'iinilé, et le terme en x</, le (loiil)!e du cosinus de l'angle des axes.
Quand iiii cercle est donné pour une équation de la forme (3), on détermine le centre et le rayon an moyen des relations (a). Le eerele est t'i'cl, imaginaire ou se réduit à son centre, suivsnl la valeur de }-.
La |}Osi(ion du centre peut se déterminer par une constrnclion géoméuiquc. Projetons le centre C d'un cercle sur les axes par les perpendiculaires CD et CE ; menons ensuite les coordonnées du point C. Ou a f'- ^■- OD = « + &cose, 0£ = &-i-«cose,
(U) = — Q, 0L;= — it.Il suffit de porter sur les axes les long«eurs — Q el — R, et d'élever des perpendiculaires par les points D el E; celles-ci se couperont uu centre du cercle represenlé par l'équation donnée.
92. Pour trouver l'équiilion du cercle en coordonnées polaires, prenons un point quelconque pour pôle et la droite OC pour jixe polaire. Soit M (p, m) un
distance OC. Le triangle OMC donne
/^ — 2!/pcos w,
— llj —
ré(|untitin Un t^ei'cle sera
(6) p* — 2((p «os (^+ d^ —r'' = 0.
Si l'iixe poiaice, an lieu elc traverser le centre, était nue (iruiU? (itidnqne OX, on aurail, en représentant par a l'angle COX,
(7) p^ — idp cos (m — a) + (/5 - r* = 0.
Enfin, lorsque l'origine est un puint de lii ointibe, d = c, et l'éqnatian
(6) se réduit à {8}
ABelCUi I
Ex, I. On mène, dans uii corcle, deu,\ diamètres perponditi l'équalion de celte ligne lorsqu'on place l'origine successiveiueiit aux points A, B, C, D.
fi. (A) i'-i-y'-i-2.'i = 0, (B) l'-H-j' — 2car = 0,
(Cl X' -t- r -+- 2rtf =- 0, (D) ai' +<,'- — ^••y = "■
Ex. ». Que signifient les éi]unlions
R. Les deux premières re pré sente ni respect ivemeul les points (1,-2), (0, 0), cl les àjualions (3) cl (4), dos cerelea imaginaires.
Kx. 3. Ramener les équations qui suivent h (a furnie (c — «1° -h (j^ — i]' — i-s == 0.
(5) ii'-+-(y-5)'-ie = 0.
Eï, *. Que signilic le terme conslanl P dans réqualiun
js ^. y. + asij; -i- âNi/ -t- P = ?
R. Le carré de la tangenleOT menée de l'oiigine au cercle ; = UÎ;^ — î-'^ÔT*. On peut din^ aussi que P est égal au produi mines par le cercle sur une sécante issue de l'origine. Ce produi
car i' = h' + b' t des segments dél t s'appelle la „«»*.
dn point 0.
Es. s. Par un point d'un cercle on mène un diamètre d q polaire; on tire ensuite trois eordesOA, OB, OC fiiis-ul avec ce dei
u'on prend pour rnierlesaiiglesa,,?
On a pour le premier
p = OAces(.-.)i
muJsOA=:rfcostt ; les équations demandées seront
p = d cos « cos {'^-■A, P = d fos ,« ces (» - ,5), C =
rico5/eos(r-~ï).
93. Les équnlinns (2) cl (j>) renferment trois paramètres ; un cercle est donc (létcrmini! par trois conditions gco m étriqués, en admettant que chacune d'elles donne lien à une relation unique entre les coefficients inconnus ; on a alors trois équations pour calculer leiii's valeurs. L'équation générale des cercles, qui satisfont à deux conditions données, s'obtiendra en éliminant deux paramètres au moyen des relations qui correspondent à ces conditions.
94. Trouver l'équation des cercles qui passent 'par deux poùili fixes situés sur l'wi des axes.
Les points d'intersection du cercle
x^ -t- f -h 2Mx ■+■ 2% + P === avec les axes, sont déterminés par les équations x^ -1- 2Ma; + P == 0, tf -j- 2IVt/ -H P = 0,
obtenues en posant successivement !/ == et x = 0. Soient a et a' les abcisses de deux points de l'axe des a;; posons
a:' -H 2Ma; -+- P = {a; — a) (x — a') .
On en lire 2M = — (« -»- a'), P =«»'; i'équation des cercles qui passent par ces points sera
x^ -t- y^ — {a -\- a') x -+- 2% -+- aa' = 0.
De DK^me, si b et b' sont les ordonnées de deux points de l'axe des y, les cercles qui passent par ces points seront donnés par l'équation
x^ -^ 'f -*- 2Mx — {b -+'b')y -h 66' = 0.
I! reste dans chacune de ces équations un paramètre variable ; il y a une infinité de cercles qui satisfont aux conditions données.
Sien suppose que les points d'intersection se confondenl en un seul, les cercles sont tangents aux a.ves en un point donné ; les équations précédentes deviennent en posant a =; o', 6 = b',
a^^- -u ;f — '■2ax -t- 2.\?/ -t- a^ ^ 0, x^ -h if — ai)}/ -f- 2Mx + I)' = ».
95. (In cerde rencontre dmx droites fixes aux points A et A', IJ et B' ; trouver son équation par rapport à ces droites.
Soit
x^ -)- 2/' -H 2x1/ cos 9 ■+■ 2P3! + 2Qi/ -+- S = l'équation du cerclej si on désigne par a et a', h et 6' les coordonnées des points d'intersection, on doit avoir
y'' + 2Q,!/ -t- S = y^ — (6 + 6') t/ -H hb\ D'où, S =. an' = 66', 2P = — (a •*- a'), 2Q = — (6 -h 6') ; l'éqnation demandée sera
a;' -V y' -4- 2x^ cos — (a-\- a')x — {h -\- h')y -^ aa' ^^ 0.
06. Trouver l'équation des cercles tangents d deux droites données. Prenons ces droites pour axes, et soit a la distance variable des points de contact h l'origine. Il faut que l'on ait
a-' -H 2Px -H S = a;^ — ^ax -+- a*, y^ -^ 2Q.y -t- S = i/^ — 2a-/ + a^; on en tire 2P = — 2«, 2Q == — 2u et S ;= a^. L'équation des cercles qui touchent les deux droites sera
x^ + )/^ -+- 2xy cos 9 — 2aa: — 2ay -i- a^ = 0, où a est un paramètre variable.
97. Quelle est Vèquation du cercle qui passe pur tes points (x,, y,), (x,, y^), (x^, yz}'!
L'équation du cercle qui passe par les deux premiers points peut s'écrire, en coordonnées rectangulaires,
(x~x,)ix-x^)-h{y-'y,)(i/—y,)-i-}i(x~x,)('j—yi)—(x—x,)(ij—y,y}=0; car, en développant, elle prend la forme (2) ; de plus, elle est satisfaiie pour a: = X, etJ/= )/], x == Xt el y = */s. Le paramètre ï se détermine par la condition que le cercle doit passer par le troisième point (xi, ys), e'est-à-iiire au moyen de l'équation
(X; — Xi) (x, — x^) -t- Cvs — yi) (y, — y,) + > [(x, — x,) {y, — y,)
yGoosle
- MS — Si lin cliiiiÎLie )., on iniiivi^, pour le cci'cle ikm^iiidn, li^^x:)(x^^,)-^i.j-y,)(!/-U^)]l{x.-x,){yr,-y,)-(y,~y,)ix.-^^.)-] ^- [(x-xO iy-,j,)~{x-.',) (y-?y,)] i(.x,—x.) (ï,-ar.) -.- (;/,—(/=) (•j.-y.)-] =0; en développant, teltc équdlion |ii'iTt se mettre souji !;i forme,
— (j-.'-l- f/,^)[x.(.V, — ^) -t-;r,{y — y,) + »T (ys-î/s)] + (ï^-t-y%)[rj(y — vO+r {.'/i — Vs) -^ a;, (y^ — i/)]
- (i=^ -^ uz') [^ (yi - !/^) + ^< (;/> - y) -+- '^^ (,'/ - y-)] = 0.
Ex. I. Chercher requatiniiciu-'ctrclc qui [lusse par les poinis (0. 1), (0, H) ït (3, 2j.
R, ïS ^. j,. 2„ 6y -(- B = 0.
Jix, *. Môme reeherolic pour le cercle qui passe por les poinis (2, 0), (3, 0) et (1, i).
!1. tt'-hy'-ën -|v + 6 = 0- Ex. a. Trouver le lieu giiométriqini iIbs centres des cercles qui pussent par les points
Si ou développe In première équation du N° 07, on trouve a:' + î/S -, [t, -+- 3., H- 1 (^5 y,)] ,r [(/, + y, 4. J (3., - 3.,)] y + «,3-, + !/,i,s
l.e centre d'un cercle donné pnr cette cqualion a pniir coordonnées
C'est une droite perpendiculiiirc au milieu de lu ligne des deux points donnes.
Ex. J. Le lieu des pints, dont le rapport des distances à deux poinis fixes est égal
à — 1 est une circonférence qui a son centre sur la ligne des points donnés.
Soit le point qui divise 1» dislanee des poinis fixes duns l<! ruppoft donne; on Irouïcra pour l'équalion du lien, le point étant l'oiigine,
ur de deux points rues, dec C étant l'angle, A et B les points II milieu de AB,
E\. t. Le lieu des points, 'dont la samjiie des eiirrés des dislai égale s Ht', est une circonrércnce. .
Soient (iE,, y,l, (ïj, ys).,.. les points lises ; le lieu a pour cqiiii (œ — x,f M- (y — >J,Y + (i — Xs,f -t- (y — ya)' +
Il cerele dont !e centre est celui des mnyeniics dislancffs des points donnes
Lorsqu'on multiplie les distances rcspccti veinent par des eonstaiiJcs n,, nj, Brcle x'iiii ■+■ y'int — 2x2M,a, - 2y2n,j', -+- liii^i.' H- 2»,;/,' = m',
!C celui des dislances proportioi
| Sn, Ltii J
Ex. 8. Étant donné le cercle x* + y' ^ i"*, Jémontrer les propriélës suivantes :
1° Tout diamètre divise la circonférence en deux parties égales ;
2° Tout diamètre perpendiculaire à uae corde divise celte corde et l'are sous-lendu en deux parties égales ;
3° L'ordonnée perpendiculaire à un diamètre est moyenne p toporl ion n elle entre les segments du diamètre ;
i' Vu angle inscrit dans un demi-cercle est droit ;
Ei" Tous les angles inscrits dans un même segment sont égaux;
6° Le produit des segments d'une sécante passant par un point fixe est constunl;
7° Si, par un point du plan, on mène deux sécantes perpendiculaires, la somme des carrés des distances de ce point aux quatre points d'intersection des sécantes et du cercle est constant.
Ex. •. Du centre d'un cercle inscrit à un triangle ABC, on décrit, avec un raj'on arbitraire, une seconde circonférence; par un point quelconque M de celle-ci, on lire
SÏÂ' X a + ÏJB^ X 6 -+- MC^ X e
Ex. to. Pat un point lur une circonférence, on mène les cordes OA, OU, OC, et, sur chaeiine d'elles comme diamèlre, on Jëeril un cercle ; montrer q«c les intersections des trois cercles, prix deux à deux, sont en ligne droite.
Ex. 11. Trouver, sur une circonférence, un point tel, 1° que la somme do ses distances à deux autres points de la même circonfdrencc soit égale à une longueur donnée ;
2" Que la somme dcscorréa des dislanees soit égale à A';
S" Que le rectangle des clislnncessoit égal à m'.
Ex. 19. Par deux points donnés A et B, on mÈne deux droites à un même point P d'une circonférence ; soient 11 et N les deux BUlres points d'intersection avec !a courbe ; on demande de meuer des sécantes telles que,
1° La corde iUM soit parallèle ii AB ;
2° La corde MN soit perpendiculaire à AU ;
3° La corde MN passe par le centre du cercle ;
^»Ls corde MN soit parallèle à une droite donnée;
B" La corde MN passe par un point donne.
Es. «3. Paruu point fixe 0,on mène deux rayons OA, OB, Leis que l'angle AOB et
[e rapport --rr- restent constants ; si le point A décrit un cercle, quelle ligne décrira
le point Be
Ex. 14. Par uu point fixe 0, on mène des rayons Yecteurs, et, sur cliacun d'eux, on prend deux points A et B tels que le produit OA-Oli = k^. Si le point A, le plus rapproché du point fixe, décrit une droite, que décriro le point B ?
Ex. tS. Dans l'exemple précédent, si le point  décrit un cercle, quelle ligne décrira l'autre point?
Ex. lo. Etant donnés un point et une droite, trouver le lieu d'un point te], que le carré de sa distauee au point donné soit égal a m fois sa distance à ta droite donnée.
£x. <9. Etant donnés la base et l'angle au sommet d'un triangle, trouver le lieu du point d'intersection des hauteurs de ce triangle.
Ex. *S. Par un point 0, on mène des droites parallèles aux côtés du triangle ABC ; soientù, c; c', n'; u", 6", les points où elles rencontrent les côtés. Trouver le lieu du point 0, loi'sque la somme
lO-Oc -+• c'0.0.<' -1- n"0-OI>-' reste constante et égale l m'.
Ex. to. Trouver le lieu des milieux des cordes piissant par un point fixe.
Es. >•. Etant donnés un point fixe et une droite, on mène le rayon vecteur d'un point quelconque M de la droite ; sur 011, on prend OP =: -— ; quand le point Bl déca'it
ia droite, quelle ligne décrit le point P ?
Ex. ea. Par l'un des points d'intersection de deux cercles, on mène une droite; trouver le lieu du milieu de la partie comprise entre les cercles.
Ex. »». Trouver le lieu des points tels que les pieds des perpemlieuiaires abaissées de chacun d'eux sur les côtés d'un triangle soient en ligne drnile.
Ex. as. UiiG droite de grandeur constante se meut dans un cercle ; trouver la lieu deent pji un point quelconque de celte droite.
Et «4 Autour d'un [loiiit fixe P, ou fait pivoter un angle droit dont les côtés, dans une eei laïue positioo, l'cnconti'cnt une circoiiféi'euco aux points A et G. Le lieu des pi éjections du point P sur AB est un cercle.
El an Las circonférences décrites sur les diagonales d'un quailrilalère complet ont une même ujrde commun 0.
Eï. ss. Par un point quelconque de l'hypotljénuse d'un triangle ABC, reclanBle en C, on mène une sécante qui coupe les côtes CB et CA en B' et A' ; on fait passer une circonférence par les points 0, A, A', et une autre par les points 0, B, B'. Trouver le lieu des points d'Intersection de ces circonférenees.
Ex. 97. On donne quatre droites A, B, C, D qui, i)rises trois à trois, forment quatre triangles ; la droite A appartiendra à trois de ces triangles. On joint le centre du cercle circonscrit à chacun de ces derniers au sommet non situé sur A ; les trois droites ainsi obtenues concourent eu un même point l. Montrer que les quatre points analogues à i et les centres des quatre cercles sont sur une même circonférence.
Ex. SH. On prend deuï points A et B sur une première d roito et dcus points a et (' sur une seconde droite; on tire ensuite les droites Aa, B6 qui se rencontient en un point S, Si l'eu foit tourner la droite 116 autour de son point d'intersection 1 avec la première, le point S se déplace, et il se fait que, la droite menée par !e point S parallèlement à 06, dans toutes ses positions, rencontre AB en un même point 0, et que le point S décrit un cercle qui a pour centre le point 0.
Ex. ao. Étant pris quatre points M„ M„ Mj, Mj sur un cercle, on désigne par rfis, fiisj ''n, ds5, rfaj, dsi les distances mutuelles de ses points. Montrer qu'elles satisfont à la relation
rfai dii
= 0, dr,:
9§. La tangente en un poîiil M d'une courbe quelconque est la position limite d'une séeaiUe MM' qui tourne autour du iioint M, jusqu'à ce que les deux points d'inlerseelion se conl'ondent. D'après eette définition, proposons-nous de trouver l'équation de la tangente en un point M (x', y') ilii cercle
Soient [x" , y") les coordonnées du second point M' ; l'équation de la sécante peut se mettre sous la forme
yGoosle
En effet, si, npiTs la miiUipIitiition, on siippriDic les lecraes eoiiimims, l'cquadon s'abaisse au premier degvé el rcprésenlc une ligne droite ; d'ailleurs, comme les points M el M' sont sur le eerele, on n
(k's -(- y's — ^3 ;=, 0, x"^ ■+■ y"^ — r' = ; l'équation est. satisfaite pour 3; = x' et i/ = j/', x--=%" et i/ = j/": la droite de l'étjuation renferme les points M et M'. Lot'sc|i]e la sécante devient tangente, les deux points se ionfondent, el, pour cette position limite, x" =a;', /" = y' ; 'i' tangente a donc pour équation
(1) {x— s/f + {y—y'f = i^ -+- ï' — J-», m bien, en développant et faisant les réductions,
(2) XX- + yy' = *■'.
La normale au cercle en un point M est la perpendiculaire élevée en
ce point a in tangente. Si on remarque que le cocificicnt a
ngulaire de h
tangente est ^ , la normale doit avoir pour équation
y-y.'lM^.'),
ou
xy'-y'x^O.
C'est une droite qui passe par le centre du cercle.
Lorsque l'équaiion du cercle est de la forme
on doit prendre pour Téqualion de la sécante MM'
'^{x-af + iy-hf^r^
car, en développant, elle sera du premier degré, et 11 est
visible qu'ell
est sali^fafte par les coordonnées des points M et M' pour lesquels on a (X' ay + [y- - by - )■« = 0, ix" - a)* -t (y" - by - r' = 0. Si on pose x"^=x' cl y" = y', il vient pour la tangente (3) [i-o(.'»)l. + (j 6-(j'-t)]'(»i-a)- + (!,-6)'-r-. Après nvoir effectué les opérations, l'équaiion préeédente se réduit à (4) (« - «) (»■ - o) + (i/ - 4) (./ ~ 4) - r- 0.
fin reprcscntnnt par C les expressions ie' -f-i/'— i'^,[x — uY+(y — by — J'^, l'éqnalion de la (.ingénie en un point (x', y'), dans les dcnx cas, pciil se inetU'c sous la forme
en \crtu des équations {1) et (5).
89. Par un point extérieur (x', y') mener um tangente au cercle x^ -4- j,^ = r\
SoienI x", y" les eoordonnées inconnues du point de enntiict de la tangente clierehée; celk-ci est représentée par l'équation xx" + yy" := r^.
Cnmme elle passe par le point (x', y'), on a la relation ix'x" -^-y'y" = r^; en eombinant celle équation avec x"^ -i- y"* = r^, on trouve, pouv les inconnues,
^„ r'x'd=ry-i/x''-+-y" — r'' __ r'y' q= rx' j/x'^ + y" — r'
Lorsque le point est exiérieur x'^ -i-y'^'^r^, et il y a deux tangentes réelles ; elles sont imaginaires pour un point intérieur et elles coïncident si le point (x', y') appartient au cercle.
100. Trouver l'équation des tangentes au cercle x^ -^ y"' — i'° = (J, menées par un point extérieur (a:', y').
Les coordonnées d'un point variable d'une droite qui passe par deux points du plan (x', y'), (x", y") sont données par
mx" + nx- my" + ny'
Substituons CCS expressions dans l'équation du cercle ; on aura (mx" -H nx'r + {r»y" + «yV — r^ {^n + »)' = «
m'ix"'-t-tj"^-r'')-i-2mnix'x"-t-y'y"—'-'')-^^^ix'^-*-y'''—>-^)='^- Punr simplifier, posons
yGoosle
l'équalion qui donne les valeurs de ), pour les points d'inlerscclion de 1» droite et du cercle devient
(/() C"V -t- 2AÎ> + C = 0.
Or, si la droite des points (se', y'), {x", y") est tangente au cercle, celte «Squation doit avoir des racines égales, et A' — C'C" = 0, c'est-à-dire, (x'x" + y'y" - r*)^ — (x'^ + y'^ - r^] {x"' -h y"^ — r') =- 0. En remplaçant x", if par les coordonnées x %Xy d'un point variable sur l'une des tangentes issnes du point (k'i/'), celles-ci seront données par l'équation
(5) (ïx' ^ yy' - r^ ~ (x'^ + y'^ ~ r'] {x^ -^ y' - r=) = 0.
Au moyen d'une transformation de coordonnées, on trouve pour les tangentes menées d'un point (x', y') au cercle
l'équation
- [(«■ - ,.)■ + (,■ - (,)■ H] [{j - «)> + (j - 6)' - r'] 0. On peut medre ces équations sous une autre forme. Posons
(x — x'y -h {y — y'Y = a;' + y* -H x"" -+- i/" — 1{xx' -t- yi/') = x' H- î;= — r' -\- x''' -t- )/"i — r' — 2 {xx' -v- yy' — f*). En désignant par C le premier membre de l'équation du cercle, et par C sa valeur pour a; = ic', y ^ y', on a
^{xx' + yy' ~r') = {^ + a -{x~x'f- {y -yy.
On aurait aussi %{x-a) {a/-«) -H {y~b} {y'-b) r^] = C -h C - (x-x'f - {y-y'Y, en supposant que C et C représentent les expressions (a; — a)'4-(*/ — bf~r*, (y — ay -j- {y' ■ — fi)^— !■'; les équations des tangentes (5) et (6) prennent la forme
(7) [C 4- C - (X - xf - fo - i/'Jl' - 4CC' = 0.
E:!. 1. Écrire l'éqiiatîou de la tangente an point (3, i) du cercle ï' -v- y' ■= 2a.
R. SiT-Hit/ — 2B = 0.
Ex. ». Quelle est la tangente eu point (H, 0) du cercle ;c> ^- y — 4r -i-2v - S^Oi'
R. Z:>:-^V = Vi.
Eï. a. Trouver l'équation qui rcpréspute toutes les tangentes au ccrck- œ'-l-^' = i*. Suit y =:i«i-t- 6 une droite ; les abcîsscs des points où elle renconlio le cercle sont dclerminées par réquatinn
(m' + I) œ' + 2m!ir ^b' — r'=^0.
I,H droite est tangente an cercle, si les racines sont égales, c'est-à-dire, avec la coiidilion ««■(,,." + <)(l'-r.) = Oi d'où, d ^ r(/l -t- m'. L'équation cherchée sera
Ex. «. Trouver l'iiquntion de la normale au point [x', y') du eci'cto {x — n)'
R. (a: - a) (/ ~b)-i!/-bj {x' -a) = (\.
Ex. S. Quelle est l'équation de la tangente en (3!',^') au cercle m'+y'+^^cy cos 8 = n''.
R. xie' +yy' ~t-2 cos 8 {xy' -v- yx') = a*.
Es. «. Si on désigne par 6' et 9" les angles que les rayons menés auï points (ir', y'} , {x", y") d'un cercle font avec l'axe des a', l'équation de la corde peut s'écrire
et celle de la tangente au point {n', y').
Ex, 8, Trouver le lieu du point d'intersection des tangent
PS menées aux extrémités
d'une corde do longueur constante.
Eï. s. Trouver le lieu des milieux Jes cordes parallèles à m
me droite donnée.
Ex. O. Trouver la condition pour que ta corde, interceptée
par le cercle sur la droite
ax-\-by--rC = fi, soit vue, d'un point {x', y'}, sous un angle
: droit.
Ex. «o. Même recherche pour le cercle
a- + ;/2 ^. 2Ma, ^ 2JSï -1- P =
lorsque le poiut {'J!',y,) est l'origine.
Ex. «f . Trouver le lieu des milieux des cordes vues sous i
un angle droit d'un poini
Ex. la. Si, par un point fixe, on mène deux cordes rec
itangiilaires, les tangentei
t toujours inscrit dans ui
autre cercle fixe.
Ex. ta. Deux tangentes à un cercle étant fixes, si l'on mi
■ne d'autres tangentes, lei
tre, sous des angles égao!
ou suppléments l'nn de l'autre.
Ex. <d. Dans uu quadrilatère circonscrit à un cercle, les diagonali i|ui réunissent les points de contact des côtés opposés se coupent en un
Ex. ta. Dans un quadrilatèro iiii'consci-it à un ce centre du corule sont sur une même droite.
Ex. IV. Quand un quadrilatère circonscrit ù ui l[b)e, les droites qui réunissent les points de conla tricc; des angles des diagonales; le [iroduit des di mités d'une menu; diagonale est égale au carre i\ centre du cercle circonscrit, celui du cercle ii diagonales sont en ligne droite.
Ex. 1». Si, de chiic[ue point d'une droite, on m produit des tangentes trignnomé triques des demi-i
l^s CL U
mgenli
;st en même temps inscripites opposés sont les bissec-
point de
ne deux tangentes à un cercle, le igles qu'elles font avec ia droite est
lîx. m. Par un point pris sur un diamètre AB d'un cercle, on mène une eorde, et nu joint ensuite ses Mtréinilés avec le point A; montrer que ces dernières lignes, vonl déterminer, sur la tangente en Jt, deux segments dont le rectangle est constant.
Ex, le. On joint un point M d'une circonférence a deux points K et H pris à égale distance du centre sur un diamètre AB. Soient C et D les points de rencontre de MK et MH avec la courbe; menons la droite CD qu'on prolonge Jusqu'à sa rencontre en P avec le diamètre AU; montrer que la droite qui joint le point P au point N, exlrcmitc du diamètre qui passe par M, est tangente à la circonrcrenee.
Ex. »•. Mener, entre deux diuites, une tangente à un cercle de telle manière qu'elle soit partagée en deux parties égales par le point de contact.
=s d'uii|)oint(iuelcon{[uepilu plan, repiMiscnleunedroile qui, en général, n'est pas tangente an cercle. Or, on sait que, si {x", y") est le point de contnctd'une tangente issue du point {x', y'), on a la relation
el, par (■.onsi-iiucnl, le point {a", .
appartient à la droite P; ecllo-eî donc la coriiu des contacts des U fig. 11, génies an cercles;*-»- i/' — i-^=0,i
nées par ie poini p {x',y'). Celte druilc P s'jip|iclle ,'ti polaire du poiti et ce dernier est le pôle de la droite P par rapport au cercle.
En vertu de l'équation (P), In polaire evisle Innj'onrs, mcnic si point p est inlérioiir an cercle et les langcnles im.igin aires ; elle est ji
pend ici) laii'c à la di'oitfl O/i qui n pour équation x'y—y'x^O, et sa distimcc aiL eenlrc est — ==. On a donc la relation
0«! . Op = r^, qui sert à eonsiruire géomé trique ment la polaire d'un point p : il snflit de mener Op, et de prendi-e un point m (cl que Ont ■ 0;i = i-^; la perpendiculaire élevée en m à 0^ sera la polaire du point donné,
102. La polaire d'un point quelconque q situé sur une ilroile P panne par le pôle p de relie droite.
En effet, x", y" ctani les coordonnées du pdiiU q, la polaire coiTcspondanle a pour équation
(Q) XX" ^yy"-r'^(y;
iiiaiâ, comme (x" , y") se trouve sur In droite
(P) XX' + yy' - r= = 0,
on a In relation
x'x" +y'y" -r^ = 0; elle exprime que le poiiU {x', y') appartient à la droite Q,
On peut dire aussi que toute droite P, qui passe par tin point </, a son pèle sur la polaire de ce point.
II résulte, de celte propriété, que la polaire du point d'iiiterseclioii de deux droites P ei Q est la droite pq qui passe par leurs pôles.
Ces principes doivent toujours cire présents i l'esprit lorsqii'on parle de pôles et de polaires.
lOS. La polaire d'un point p est le lieu dn point p' karmoniquement conjugué par rapport aux points d'intersection M et M' du cercle avec une sécante variable issue du point p.
Reprenons l'équation {k) qui donne les valcirrs de ï pour les points d'intersection M et M' du corde avec la droite passant par les points {x-, y'}, {x", y"),
(/() C").^ -i-2AX-t-C'=0.
Si on prend, pour [x", y"], le point // situé sur la droite (P) XX' + yy' - r' ^ 0,
yGoosle
on H la relation x'x" -+- ■ify" — r'^ = (i, <;!, [liir siiili^, A = 0. L't^iunliiin précédente doQne pour >. deux valeors égales et de signes contmires ; si
sont les éqiintion)
■elles des poinls M et M' seront de
p' est le point eonjngoé h;
■monique de p relativement à M et M'. Cette propriélé pourrait servir de définition à Ja polaire d'un point par rapport à un cercle.
Do là résulte une construction géomé- I N'iqiie de la polaire : on lire, par le nint donné p, deux sécantes qiieleonnes pMM', ^NN'; on mène MN et M'N' ui se renconirent en g, ainsi que M'N I et MN' qui se coupent en f; la droite fg ^'°' '"' est la polaire du point p. En eifel, on
sait que dans un quadrilatère MJI'NX' la droite fg est la conjuguée harmonique de (fp par rapport à gM et gW; celte droite détermine, sur chaque sécante issue du point p, le quatrième point harmonique, et doit coïncider avec la polaire de ce point.
104. Etant donnés deux points p et q avec leurs polaires P elQ par rapport à un cercle de centre 0, on mène pr et qs respectivement perpendiculaires «Q et P; montrer ffuc~=^ — - ■ pr qs
Soient (x', y'), (x", y") les coordonnées des points /; et 7; ou a, pour ks polaires,
(P) xx' -1- yy' — r^ = 0, (Q) xx" 4- yy" — r^ =■ 0. La perpendiculaire abaissée du point q{x", y") sur la première a pour expression
1 relation
Op.q,
Op
On Iroiivcra aussi l'acilemciit
et, par suite,
Op On
0w-(7S = 0f/ ))r, ou — =
' ' ' /;;• qs
105. L'équotioLi (le la polaire d'un point (x', y') du plan relitlivcnient au cercle
est la même que celle de la tarigcnlc, e'est-à-dit'e,
Eu vertu d'une transformation indiquée précédemment, si on désigne par C le premier membre de l'équation du cercle, et par C la valeur de C pour x = x' et y^^-y', l'équation de la polaire peut s'écrire (P) C + C'-(i-xr-(s-;/)'-0.
Exercices.
Eï. 1. Clicrclier
l'cquMtion de la poliiire ilu point (3, 2) relotiveniciit
U. aj,^jr = 2.
Ks, 8. Ti-ûuvei' 1
pôle de la drailc A» -(- By -+- C = 0, par rapport
Si on compare l'éiiuatioii Je ia droite avec t déduit ^ = -^, ^ = — t. a'où on tire, pour le pôle de la droil.' .
Si la drnite passe par l'origiae, C = 0, et le p6le est à l'inûiii. Itécipioqui droite à l'infini C := aura pour pâle le centre du ccrcli^.
Ex. 8. Étant donné un triangle abe, on construit les polaires A, B, C des on obtient ainsi un nouveau triangle a'b'&; moiilrcr que les droites aa', W, ce" st coupent en un inënie point.
Les polaires des points a{v', y'), b{3/', y"\, e{a/", a'") ont pour éiiunllons A = aij' -H !/k' — r" = 0, B = xx" ■+■ yy" — r' = 0, C ^ J'ï'" -t- yy'" — »■= =
Les dryitcs ou', 66', ce' sont représentées par des équations de la (orme
K) B — iC^O, (66') C-M = 0, Kl A-vB = 0.
Désignons par/, m, n les trois valeurs différentes que prennent A, B, C, par la substitution des coordonnées accentuées qui ne s'y trouvent pas, c'est-ii-dire, posons :
les équations précédentes peuvent s'écrifc
Si on IcB multiplie respectivement par - , — et -, et si on ajoule, on obtient 0^0,
les droites aa', bV el ce' sont coniionrantes.
Dans le cas partieiiliep oii nie est inscrit au cercle, les polaires des sommets sont les tangentes on ces poinis, et les droites aa', bb', ce' sont celles qui joignent les sommeil d'un triangle circonseril avec les poinis de contact des cAtés opposés; on a donc ce théo' rème : Dans ioul triangle cireonscril à un cercle, les droites qui relient les sommets aux pointa de eontiiet des côtés tippnsés concourent en un même point.
Es. a. Si on joint un point quelconque du cercle à qualre poinis fixes A, B, C, D de cette cnnrbe, on obtient un faisceau dont le rapport anbarraonique est constant.
£x, &. Qualre tangentes fixes à un cercle sont rencontrées par une tangente variable en quatre poinis dont le rapport anharmonique est constant.
Ex. a. Quand un quadrilatère est inscrit à un cercle, toute transversale rencontre deux couples de cfllés opposés et la circonférence en six points en involution.
Ex. 1. On prend, sur un diamètre, deux po nt ju d v sent barmoniquement cette ligne ; nioii(rcr que les distances d'un po t quelconque Ju cercle à ces deux poinis ont leur rapport constant.
Ex. S. Si on fait tourner une corde autour du po nt fixe, les distances de ses extrémités ù une droite fixe quelconque, d sees e p c vcmcnl par leurs dislances à la polaire du point fixe, forment une son me constante
Ex. S. ïj de chaque point d'une dio te on mè c d ux tangentes à un cercle, les distances de ces tangentes à un point Txe quelconque d v sées par leurs dislances au pfilo de la droite, donnent une somme co U te
Ex. to. Le rappoi l anbarmonique d quatre po Is c ligne droite est éj^al à celui du faisceau formé des polaires de ces po nt
Ex. 11. Dans un quadrilatère ci rco se ta n cercle le point de rencontre des diagonales est le pôle de la droite qui i eu t le po ni ie concours des cotés opposés ; celle dernière droite cl les diagonales forment un triangle dont chaque sommet a pour polaire le eôlé opposé.
Ex. IS. Dans un quadrilatère inscrit A un cercle, le point de concours des diagonales et ceux des cotés opposés sont les sommets d'un triangle dont eliaqne côté a pour pôle le sommet opposé.
Eï. IS. Soient a, j3, V les aoiiiiii
lets d'un triangle et «', ^', -/ les d'aces, sut lus coliis
opposés, des polaires des saniiue<
s pur rapport à un eerele ; montrer que les ccreles
décrits sur =.«', |3;î', yj^' comme dia
inèlros se eoiipeut auv mêmes poinU. (II. Fsube.)
Ex. 14. Si, du centre d'ii:
n cercle circonscrit à un ti-ianglc, on abuisse des
perpeiidieulaires sur les cales, 1
la somme de ces trois perpendiculaires est égale à )a
somme des rayons des cercles insi
;ri( et circonscrit au tiianglc.
§ 3. ÉQUATION DU CERCLE EN COOBDONNÉES THIASCULAIHIÎS.
lOe. Soient Al, Bi, C| les coordonnées trianguhiircs du cciilrc d'un cei-cle de rayon r rapporté à un triangle «^, et M {A, D, C) un point varinble sur cette ligne ; l'iSquation du cercle sera (n" C7), (1) (A— A,)^sin2«-t-(B-]î,)'sin2p + (C — C0^sin27=2»-^sin«stnP5in'/. jîn développant, elle devient
A^ sin 2k ■+■ It^ âiJi 2,^ + G^ «in 2-/
— 2 {AA, sin 2« + Hii, sin 2f3 -t- CC, sin 2y)
■+- Al' sin 2« -I- B,' sin ^(i + C* sin 2^ — 2r« sin a sin |3 sin y = 0.
Afin de rendre cette relation homogène, multiplions le second levmc par
bA -t- 60 -4- rC
cl le dernier par le carré de cette e^piession ; l'équation (Ji-éccdcnte peut
s'écrire
A^ sin 2^ -H B^ sin 2p + œ sin 2-/ + ^î^-^:^:^ ■ f (A , B, C) = 0, où r représente une certaine fonction homogène du premier degré en A, B, C. Posons : — â^H^' ^h C) = ''A -t- w'R -+- «'C ; l'équalion du cercle
sera de la forme
(2) A^^in2«-.-B^sin2p+C^sin2î'-(«A + f»)J + cC)(^'A^-w■B-i-»'C)=-0,
ou bien,
(3) A' (^in 2a -t- B^ sin 2|3 + C^ sin 2y
- (A sin œ -t- B sin p -1- C sin -/) {IX + iiiB + nC) = 0. Dans ces équations, les coefficients /, m, u, l', m', u' sont des (onctions des coordonnées du centre et du rayon; un cercle sera complètement déterminé, si on connaît les valeurs de ces paramètres : car, on aura trois relations entre les inconnues Ai, Bi, Ci, r, qui suIHsent pour les calculer en y ajoutant l'équation — «Ai — 6Bi — cCi = 2S.
Les li-ois premiers termes de l'équation (2) sont indépendants du centre et du rayon ; ils auront la même valeni' pour tous les cercles possibles. Puisque l'équation est satisfaite, en posant
A^ sin 2« -t- H* sin 2|3 + C^ siii 2-/ = «A-t-ftlS + cC = 0, on doit regarder In droite k l'infini, comme coupant un cercle quelconque en deux points nécessairement imaginaires, et déterminés par ces deux relations. Ces points s'appellent les points circttlaiyes de l'infini. Nous verrons plus tard qu'il est souvent avantageux de considérer le cercle, comme une courbe du second ordre passant par les points circulaires à r infini.
107. Trouver l'équation du cercle circonscrit au triangle de référence. Si le cercle (3) passe par le sommet a, l'équation doit être satisfaite pour B =0 et C = 0; en introduisant ces valeurs, on a la condiiion
D'où / = 2 cos X. Comme le cercle doit aussi passer par les au très sommets ^ et 7, on obtiendra deux nouvelles relations en posant successivement A ^0 et C = 0,
B= Oct C=--0. Ou trouve
Si on substitue aux cocflicicnis leurs valeurs, l'équation du cercle circonscrit sera
A= sin 2x ■+■ B' sin 2(3 -+- C= sin 'iy — 2 (A sin a -t- B sin (3 -j- C sin y) (A cos a -i- B cos [B + C cos y) = 0, ou bien, après la multiplication cl les réductions,
BC sin (^ -,- -/} + CA sin (y -t- «) -+- AB sin (« + S) = ; mais sin ((3 +y) = sin «, sin (y -^ a) = sin [5, sin(« -^ (5) = sin -/ ; on a donc linalenient
(/..) BC sin c. -i- CA sin fi -t- Alî sin -/ = 0,
ou
(!>) aBC -\-bCX -h rAB = 0,
en reiiiplaraut les sinus par les côtés opposés au irianglo de rércreiiee.
Au moyen d'une figure, ou trouvera fiioilement pour lus toordounécs (Ju centre
Ai=rcosci, Bi=rcosp, C,=rcosy,
r étant le rayon du cercle eirnouscnit ; de sorle que le centre sera le point d'intersection des droites
cos a COS P cos y L'équation (4) a une signification géométrique remarquable. Soit a^y un triangle, et A', B', G' les perpendiculaires Mp, Mç, Mr nbaissées d'un point Sf sur les côtés ; on a
b'C siii qMr -+■ C'A' sin rMp ■+■ A'B' sin pJilq = 2 suri', j*(/)-,
B'C, sin a + C'A' siu (i -h A'B' sin 7 = 2 surf, pqi:
L'équalion (4) exprime donc que la surface du triangle jKjr csl nulle, et
par conséquent, que les pieds des perpendiculaires abaissées d'un point
quelconque du cercle circonscrit sur les côtés du triangle sont en ligne
droite.
108. Chercher l'équalion du cercle conjugué au triangle de référence. Un triangle est dit conjugué à tin cercle, lorsque chaque sommet est le pôle du côté opposé. Si on pose dans(3)/ = m=^H = 0, il vient
(6) A^ sin 2a: + B^ sin 2j3 -i- C sin ^y == 0,
qui est l'équalion demandée. Pour le démontrer, cherchons l'équation de la tangente au cercle (fi) en un point (A', B', C). Une sécante qui passe par les points {A', B', C), (A", B", G") du cercle est représentée par l'équalion (A — A')(A-A")sin2a + (B— B'){B— B")sin2(3M-(C-G'}(G— C")sin2j'
= A= sin 2« + B^ sin 2[3 + C^ sin 2 -/,
qui s'abiiisseau premier degré, après la suppression des termes communs;
de plus, elle est satisfaite par les coordonnées des deux points : car, on a
A'= sin 2« -4- B'2 sin 2(5 -1- C'= sin 2^ = 0,
A"^ sin 2a -t- B"* sin ïjS -h C"^ sin 2y = 0.
Lorsque lii sécante devient tangente, A"^A', B" =■ B', C" = C, et on
obtient
(A — A')^ sin 2a -t- (B — B')^ sin 2f3 -1- (C — C')^ sin 2 7 == A« sin 2« -H B= sin 2^ + C^ sin 2-/,
yGoosle
AA' siii '■27. -t- ISB' sin 2[3 + CC sin 2y = 0, jiour l'ctiiiation de la tangente au cercle (0) ; c'est, en même lemps, l'équa- Uon do la polaire du point (A', B', C) sllné d'une manière qnclcomiue dans !e plan. Si on suppose (iiie le point (A', B', C) coïncide avec le sommet y du triangle, on a A' = 0, B' = 0, et la polaire corpespondnnle est C = ; on verrait de même que les sommets p et a ont pour polaires les droites B = et A = 0. Le triiingle <le référenec est donc conjugué au cercle de l'équation (6).
On sait que la perpendiculaire abaissée d'un point, sur la polaire correspondante, passe par le centre du cercle ; il en résulte que les équations du centre du cercle conjugué seront
A cos a ^= B cos [3 = C cos y, qui représentent les perpendiculaires abaissées des sommcis sur les pétés opposés du triangle de référence,
109. TrouKor l'équation du cercle qui passe par les milieux tien céfés du triangle de référence.
Pour le milieu (l)du côté A, on a
A = 0, Bsin(3 = Csin7; ces valeurs, substituées dans l'équation {!ï), donnent la condition
2n sin |3 (B cos f3 + C cos ■/) = 2B sin (3 (aiB + nC) ou
sin ■/ cos [3 -H sin [3 cos -/ = m sin y -t- h sin [3,
en remplaçant B par — -r— ^ i il vient donc lin^ikment l'cquation
On trouvera de mciiie au moyen des eooi'donnécs des milieux des aulres côtés
sin [3 = H sin a -+- /sin-/, siny = l sin (3 + m sin «.
On satisfait à ces équations en posant ;
l = cos B, m = cos (3, n = cos y ;
l'équaiion du cercle qui traverse les milieux des e6tés du Irliingle de référence sera
(7) A^ sin 2k -i- B^ fin 2|3 -i- C^ sin 2-/
— (A sin K + B sin j3 -H C sin y) (A cos « + B cos j3 ■+- C cos y] = 0.
yGoosle
ii'consprit nvcc
Ci; curcle passe [lac los poinU d'intersection du le cercle conjugué ; e;ir on a idenliqucinent
2{Asmct-t- Bsinp + C sin y){X ans a. -t- B cos {3 + Ccosy) = A= sin 2a -t- li^ sin 2(3 + C^ sin 2y -4- 2 (iîC sin a -t- CA sin (5 -+- AR sin y) et l'équation {7) peut se mettre sous in forme
(8) A^sin2a + B^sin2(3-HCâsin â-/ = 2(I3Csm« -i- CA sin[5 + ABsiir/); les coordonnées des points communs aux cei-cles rirconstrit et conjugué annuknt les deux membres de l'équation.
Pour trouver les seconds points d'intersection du cercle (7) avec les côtés du triangle, posons <l'abortt A = 0, dans l'équation précédente; il
■sPh
■ C^ sin 2/ = 2BC sin a., y -ISC{sii)[3ros7 + cos^si fi-Cco,-/)=0.
e'cst-à-dirc,
(Bsinp-Csinv)(llc.
Pour le milieu (1), on it
A=0, Il sin 1-3 cl, par conséquent, on aura pour le point (4),
A -= 0, It cos [3 — C cos 7 = c'est donc le pied de la perpcndiculai côté A. Les points (S) et {6} auront la | même signification; il en réstilte que le cercle qui coupe en dense parties égales les côtés du triangle, passe par les pieds des perpendiculaires aux côtés, menées par les sommets opposés.
De plus, le même cercle renferme 1 aussi les points milieux (7), {8), (9), des longueurs Oy, Oj3 et Oa; car les pieds des perpendiculaires abaissées des si côtés opposés, sont les points (4), (6), (5) qui appartiennent au eercif, et celui-ci devra passer par les milieux (7) et (8) des côtés 0[3 et Oy; on verra de même qu'il passe par le point (9). Le cercle qui jouit de cette propriété s'appelle le cercle des neuf points du triangle a^y.
mets du tirangle Opy sur les
— ]5G •" 110. TroHBer les condilions pour c/ve l'èqtialinn ltomo<]éiie du second degré
Ik^ + (Jll^ -t- vC= + 2)/nC -I- 2^^'CA H- 2v'AU = 0, i-ei)résente un cercle.
Dans l'équatiou (3), les Irois premiers termes sont indépcndimls des coordonnées du centre et du rayon, et ih doivenl élre les mêmes dans îes éc|ttalions de Ions ies cercles ; il en résuUc que si S = est l'qualion d'un cercle déterminé,
S + (M -4- »Hli -+- î(C) (<iA -H bii -*- cC) =. 0, représentera un cercle quelconque. Prenons pour S le premier membre de l'équation du cercle circonscrit ; l'équation générale d'un cercle peut
«lie -+- bCA + cAB -t- {tk -i- mB -+- hC) (bA -^ M! -i- cC} = 0. Cela étant, pour que l'équalion proposée représente un cerclej elle doit se ramener à la forme
k («BC -H ACA -f cAB) -H ('— + ^ç -t- —^ («A m- 6B -+- cC) = 0.
En développant et identifiant cette équation avec la proposée, on trouve les relations
2ft' = /ri -t- V- — ,
D'oii on tire, pour les conditions demandées,
ou bien, en remplaçant les eôlés par les sinus des angles opposés,
p. sin^ 7 -t- V sin^ (3 — 2X' sin [3 sin y ^= u sin^ a -t- X sin^ y — 9p.' sin a. sin y
Es t. Quand un cerclées
L'équation du cercl
e circonscrit est de la forme
C (nB + b,\) ^- cAB = 0.
La droite OB-1-6A
= rencoElre le cercle cii deux pi
comme cil. passe p.r
le point d'inlersectiou de ces d
tangeiilo nu cercle au
point y. De même
<:A + nC = 0,
6C -t- cB == 0,
seront les langeiiles o
nxsommcls,3ct«.Sioiiéfrîl les i
forme
ce
il est visible qu'elles)
'eiieoiitreril les câlfe o[>posi:s sur II
Es. «. Trouver
a h c l'equaticii de lu toiiaentc au
équations des laiigeutes s
i point (A„ B,, C) du cercle nl!C-l-fcCA + cAe = 0.
On cerit pour l'équation d'une sécante o(B — B,)(C — Ca) + 'i(C — Ci)(A— A3) + e(A — A,](B~C5) = nBC + 6CA + cAI!. En posant Aa = A,, Bj = R,, Ca = C, et simpllfiaut, on arrive à l'équation
A (cB, ^- fiCi) -I- B (ûC, + cA,| -t- C (6A, ■*■ oBi) = 0. Ex. 3. Quelle est l'équation de la sécante commune des cercles circonscrit cl conjugué? En vertu des équations de ces eereles, on a la relation
A» sin 2a -H B' siii 2,3 + t= sin 2-,-i- 2 (RC sin a -t- CA sin ,3 -h Alt sin -,) = 0,
(A sin B H- B sin ,3 + C sin ;) (A cos a ^- B cos ,3 + C cos •/) — 0, qui est satisfaite par les points communs; le premier facteur est constant, et, par conséquent, l'équation demandée est
Ex. 1. Trouver l'équation du cercle inscrit su triangle de référence. Exprimons que le Heu représente par l'équation
Ik" ^- /iB" -H »C= -t- 2i'BC -+- 2/i'CA + Si/AB = 0, est (anf^onl aux câfcs du (riangle de référence. Posons A^O j il vionl
/aR' + vC' + 2J'BC = 0, ijui donne deus droiles iisucs du point a et passant par les points de rencontre de A
avoe le lieu ; ar s[ A est uni; tangiiiile, les droites jiriicfideLitcs coïncîdtiit, et on doJ avoir )'* ^ jïï. On Irouvei-a égalemeiil/i" =:)>, ■j" = l/i. F.ii sulistilumit, l'equatloi du second degré devient
>A' -h /<B' + vC ±: 2l//^BC dz 2 V/JTaC ± 2 l/ï^ AB = 0, Posons i = f, y. !=!)'', v^= h'; on peu! éci ire
(m) /=y -+- a'R' -H A'C^ — SghBC - 2hfC.k — ^ftAli = 0,
(w-) V/7Â+Ï/Vb+(/ÂC=0;
car, en faisant disparaître les radicaux, on retombe sur l'ùqualion précédente. En vertu des «ondilions du N° 1 10, rôquntioii (hi) rppicsi'iito un cercle, ai on a aj -1- hh = ah -+- c/ = hf-^- ay.
Ou en déduit
