III. Étant donnée l'iSquation d'une droite mobile

|(J7 -(- yy -+- 1 = 0, proposons -nous de (iélerminer In relalion qni doil exister enti'e les paramètresM ctîj, pour que la droite reste tangente à un cercle de rayonr. Soit

au + fit? -H 1 =0, l'équation du centre; la droite dans son mouvement doit rester à une distance constante r de ce point, cl, par conséquent, on doit avoir (ïï" 74)

au + 6u + 1

ou

(1) {au -t-bv-^iy — r' («^ -^ v') = 0.

C'est l'équation du eci-cle entre les coordonnées tangeniiclles u et v.

Si on développe l'équatiou précédente, pour la comparer à l'cqualion générale du second dci^ré

ku^ -t- 2B(!y -»- Cd^ h- 2D(i + 2E() + F = 0, on trouve, en égalant les coefiicienls des mêmes puissances,

Par l'élimination des quantités a, b, r, il vient

DE -— lïl-' = 0, }y ~ AF = E- — CF.

Avec ces deux condilions, l'équatiou générale représenle un cercle dont les éléments sont :

Dans lecasparliculier où l'origine des coordonnées est placée au centre, n = (j = et l'éiiualioii du cercle se réduit à

- uo —

113. Trouver l'éqttalioii du point de contact d'une laiigente (it', v') au cercle r^ (u^-+-r*) — 1^0.

Soil {u",n") une seconde tangente du cercle; réquntinn du point d'intersection de ces deux droites peut s'écrire

En effet, après la suppression des termes communs, la relation précédente est dii premier degré en m et v, et représente un point situé sur les tangentes, puisqu'elle est satisfaite pour w=^ m' elv=B',u^tt" clv^v", en tenant compte des relations,

r*(«'^-t-tj'^) — 1 = 0, r^iu"^ -Hu"')— 1 =0.

Supposons que la tangente (w", v") se rapproche de plus en plus de la première qui reste fisc; à la limite, lorsque les tangentes se confondent en une seule, leur point d'intersection devient le point de contact de la tangente (u',v')i de sorte qu'en posant «"=«',«" =r', i'cquation demandée scj'it

r^u - uy + r^v-v'Y = r^a' -^v^)-i, ou, après les réduclions,

113. Chercher VéquaHon du pôle de la droite {u' ,v') par rapport au

cercle r^ (u^ -h u^) — 1 =0.

Soient m", tî" les coordonnées d'une tangente à l'on des points où la droite (u',v') rencontre le cercle; l'équation de son point de contact est

mais, comme ce point appartient à la droite donnée, la relation précédente est satisfaite pour u = «', ti = v', el, par suife, r^{u'u" ■^-v'v") — l =0.

La droite {u",v") passe donc p;ir le point de l'équation

et celle-ci représente, par conséquent, le point de concours des tangentes au cercle, qui ont la droite donnée pour corde des contacts, c'csl-à-dire, le pôle de cette droite, Ainsi, l'équalion

représenle le point de eonlact, si la droite («', o') touche le ca-cle, et te pôle de cette même droite, lorsqu'elle est située d'une manière quelconque dam le plan.

fl.^. Si ré([uation du lierclc nst de fn forme

on nvrivc à l'équation du point de eonlaet d'une tiingcnle (?(', v') en posant :

(a'~>-')(»-..')(i.~«") + ('*->-")(»-«')(i'-»") + 2o6(..-»') (>.-»") = (au -i- bv -¥- if — r^ («^ + o^), pour l'équation du point de concours de deux tnngentes (u', v'}, (k", v"); si on suppose )(" = m' et v" •-— v', il vient, pour le point de conintt, („. ,-.) (« „'). + (6^ r^} (v - vr -*- Soft {u - u') {V ~ V') = {au H- 6y + 1)* — r= (ii^ -t- u^).

En développant et faisant usage de la relation

(a^ — j-=) u'^ H- (6^ — r^) v'^ h- 2a6«'u' = — San' — 26lï' -- 1 , on obtient

(4) {au -i-6m + l}(a»' -v- bv' -t- 1) — r=(!(M' -h to') = «■ Cette équation sera, en même temps, celle du pôle d'une droite quelconque («', v') par rapport au cercle de l'équation (I).

115. Supposons, plus généralement, qu'on rapporte un cercle de rayon rh trois points fixes du plan

Soit l\ -1- mit -t- nC = l'cquation du centre, et A, B, C les coordonnées d'une tangente quelconque du cercle. Ou sait [IS" 81) que la distance r a pour expression

;A -+- mB -1- hC

les cooi-données. A, B, C étant liées par Sa relation (N" 77).

joA,6B,cCp = 4S^; de sorte que, en rendant la première expression homogène, l'équation du cercle en coordonnées tangcnliellcs sera

/..SV^A ^-)JlB + hC

Hcy

ou bien, en posanl :

2S/ 2Sm 2S/t

(B) ! «A, bu, cC j ^ = (U + ^wli + vC)^

Sous cette forme, l'cquiHion dueentre est ÏA -i- juB-t- vC =0, et Icriiyoi est égRl ù ■■■ ■■ — : car des relations précédentes on lire

2S ' f.-i- IJ. + V

L'équaliod (S) est du second degré entre les coordonnées tangentielles; elle renferme trots pai-anièlres X, Lt, y qui se déterminent nu moyen des conditions géométriques auxquelles le cercle doit satisfaire.

tie. Trouver Véqualion du cercle inscrit au triangle deréférence.

Si le cercle (Ji) est tangent à la di-oite des points de référence a et (3, l'équalion doit être satisfaite pour At= etB = 0; dansectle hypothèse, on doit avoir

c^C^^i/^C^ ou y = c;

on trouvera de même que fA et J doivent avoir pour valeurs b et a. Si on remplace les paramètres X, fj-clv par «, b, c, les termes en A^, B*, C^ vont disparaître, et il viendra

k{cosa + 1)BC -H ca (cos [3 -H 1) CA 4- «t(eos y -t- 1) AH = 0, ou

l{C-6eeos^~a -i- CA-cacos=-[3 -*- AB '«6 cos^-j- = 0.

Si on représente par s le demi-périmètre du triangle de référence,

l'équalion du cercle inscrit est de la forme

(C) (s -ajBC -H (s — '-jCA + (s — c) AB = 0;

2S le rayon a pour valeur — -r et l'équation du centre est

aA + bB -\-cC.^.O.

yGoosle

— ii3 —

llï, Trouver l'éqtiation du cercle conjugué au triangle de référence. Si l'équation (5) ne renferme que des termes en A^, B^, C?, f-X se rnmène il la forme

elle représente un cercle conjugué au triangle a^y; car si on elierelic l'équation du point de contact d'une tangenle donnée on du (iiMe d'une droite (A', B', C), par la méthode si souvent employée, on trouve /,AA' + m,BB'-i-n,CC' = 0.

Or, si la droite (A', B', C) coïncide nvec le coté «|3, on a A' == B' = 0, et, pour le pôle correspondant, niCC' = 0, c'est-à-dire, C==Oou \V=0; on verra de même que les sommets ]3 et k sont les pôles des côtés opposés et, par conséquent, le tfiangle est conjugué au cercle de l'équation {k).

Cela étant, si on développe l'équation (S), les rectangles des coordonnées disparaissent de l'équation avec les conditions

;j;u = — Ijc cos a, \-j = — eu cos fi, >■« =- — ub cos 7, d'où

a^ cos |3 cos y a 6^ cos a. cos 7 c- cos a. cos JB

eos« cos p ' cosï

En substituant ces valeurs dans (3), le terme en A^ a pour expression ,V.A ^ 'flt^\^„^x^ r cos«-^|;eos(^-Hy) + sin^siny] 1 <^ ^j^^^

cl l'équation cherchée sera de la forme

— sinfisin ^ ■ ■ i!^sin«sinB =

cosB ^"^ p sin 7 H- ^^^^ sina siny -t- ^^^ ^ sin «scn p ,

ou bien

(7) A^ tang a -+- B^ lang [3 -t- C- tang 7 = 0.

Exercices.

.sua triangle.

cîrïonscril à un cercle, les droites qui joignent k

3 conlaDt descc , l'cqualioii du 1

ités opposés se coupent en un même point, cerele inscrit -M triangle sous la forme

-/i)Il + (s-liîA] +-(s-f)AIt=0,

•ëqunlioLi

représente le [joint de contact du p.ôté a(3; les points

Les droites qui joistieiit ces points aux sommets dn trianglG ont pour poinl

¥.\. a. Trouver l'eqnation du cercle circonscrit su triangle de référence. Si, dans l'ë(|ua(îaD générale du second degré en coordonnées taugentiellcs )A' -H /.B' -h ïC -*- 2J'BC + 2/a'CA -t- 2/AB = 0,

~~ ' ^B'-i-vC'-i-21'BC=0.

Cette équation représente deus points situés sur jSy et appartenant aux tangentes du lieu de l'équation issues du point « ; mais, si ce dernier est sur la courbe, il n'y a plus qu'une tangente, et l'équation précédente donne deux points qui coïncident ; par suite, 1'' =: /tu. En exprimant que les autres sommets sont sur la courbe, on trouvera aussi ;i" ^ lu, ï''^l;j. Si l'on pose ).=:/', ^ = j=, ï^ A', l'équation du lieu passant par lE du triangle de référence sera de la forme

f'k' -t- j'B' + h'C — -igliBC — 2/(/CA — a/jAB = 0,

wiiilennnl que l'équation préccdcute représente un cercle. Four A = 0,

K3B + »/ÂC=0, ou | = g

lu côté fti et à la langenlû en « ; au moyen d'une figure, on int des perpendiculaires des points jîety sur cette tangente, g ..C fasinp

On aura donc, pour l'équation du cercle circonscrit en coordonnées tangcntiellcs,

^^ A ■ sin « -H t/5 . sin |3 -f- V/C ■ s in V = 0.

Ex. a. Soit nie point de concours de deux tangentes à un cercle, et 1^,7, leurs

points de contact. Si on rapporte le cercle au triangle a^/, son équation sera de la forme

DCr-A..ai.'|.

Quelle est la signification géométrique de cette éqnaiion?

CHAPIÏUK V.

CERCLE, (si'iTEi, Propriétés d'an système de doux on de plnsiearg c

SoiiHjiKE. — Si/slème de cereles ijui oui même séainle commune. De l'axe radical. — Centres de simililude de rfeiiJ; <:erctaK. — ■ Propriétés du système de trois cet-eles dans jm plan. Dacercle tangent à trois eereles donnés,

I J. DE l'aXK llAlUC.il-.

118. Cûnsitl lirons le système de eleus cercles représentés par les

(I) (r^a,r + {,v-6,f-<V = 0, ([lie nous écrirons, pour nbrégcr,

(0) Co = '), (I) C,-=0.

Les cx]iressinns Co et C| ont une sigiiiii cation géomélrique qu'iJ l'ntit indiquer. SiM(3;,f/}esluii point quelconque du plan, [x — «o)^-t-((/— 6o)'cst le carré de la dislance de ce point au cenlre du cercle Co; mais cette dislance est l'hypolhénuse d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit sont le rayon et la tangente issue du point M. Donc le premier membre de l'équation Co = 0, c'est-à-dire (x — «o)* -t- (i/ — 6o)^^r', représente le carré de la tanfçentc menée d'un point M {a;, y) du plan au ecrele de l'équation.

La puissance d'un point par rapport à un cercle est le produit des

segments délermînds sur une sécante issue de ce point. On sait (jiic ce produit est constant et égal au carre de In tangente menëe du même point au cercle; de sorte qu'on peut dire aussi que Co et C| repi^sentcnt la puissance d'un point M [x, y) par rapport aux cercles Co == 0, Ci ^^ 0.

110. L'é(|uation générale des cercles qui passent par les points d'intersection de Co et Cl est

(s) Cu — XC, = 0,

où X est un coefficient indéterminé; car elle est du second degré et de la forme de l'équalinn du cercle en coordonnées rectangulaires; de plus, les points communs à Co et C, ont des coordonnées qui annulent ces quantités et qui satisfont à l'équation. On en tire

et, par conséquent, pour chaque cercle (s), le rapport des puissances d'un point relativement à Co et Ci est constant.

Dans le cas particulier où A =^ 1 , l'équation (a) Co — C, =

est du premier degré en a; et y, et représente une droite qui jouît de la propriété d'être le lieu géométrique des points du plan d'égale puissance par rapport aux cercles Cq et Ci, et de passer par leurs points d'intersection. On l'appelle axe radical ou sécante commune des deux cercles. Si on remplace, dans (a), Co et C, par leurs valeurs, on trouve 2(h, — «oja'-t-aifc, — 6o).VH-fr = 0, en posant k = «o^ -+■ bo^ — a,^ — 6,^ — )V + l'i^ ; cette équation représente une droite qui a pour cocfïieicnt angulaire — v - -- ^ ; elle est perpendiculaire à la ligue des centres, c'est-à-dire à la droite qui joint les points («0, M) (">' ''■)■ . L'axe radical de deux cercles existe toujours, soit qu'ils se coupent en deux points réels ou en deux points imaginaires; dans le premier cas, c'est la droite qui joint les points réels d'intersection, et, dans le second, celle qui passe par les milieux des tangentes communes ; car les tangentes menées de ces points aux deux cercles étant égales, ces milieux ont mémo puissance et doivent appartenir h. l'axe radical.

130. Tous les cercles de l'équation (s) passent par deux points iixes

du pi.in et oui mfime axe radica], celui des cercles Co et C(. Pour simplifier, prenons la droite des centres («o, 60), {«t, 61) pour skc des x, et l'axe radical pour axe des y; un cercle quelconque de la série sera représenté par l'ëqustion

(s) if -\-{x — ).)^ — )- ^ 0,

où 1 est l'abcisse du centre et r le rayon. St on développe, il vient

(s) x'^f — llx + m'^a.

en posant : m* =^î.^— )■* . La quantité m^ est la valeur du premier membre de réqiialinn pour x = 0, »/ =0, et représente le earré de l^i lougueur constante de la tangente menée du point à l'un des cercles, c'est-à-dire la puissance de l'origine. Il faut donner le signe -+-à m' dans l'équation, si les cercles ne se rencontrent pas, et le signe — , s'ils se coupent en deux points réels; dons le premier cas, ï* — »■*> 0, et dans le second, 1^ — r' <^0. Si Fie. (s.

A=±TO, on a r=0, et l'équation (s) donne deux points ou cercles infiniment petits situés sur la ligne des centres niix distances de m de l'origine. PoNCELËT a appelé ces deus points les cercles Umites du système : ils sont réels, si les cercles ne se rencontrent pas, et ils n'existent plus dans le cas contraire.

131. Les polaires d'un point du plan par rapport à tous (es cercles de même axe radical passent par un point fixe.

La polaire d'un point {x', y'), par rapport à un cercle iiiichonque du système, a pour équation

y,./H-(x-i.){x'-/)~r^ = 0, on dicn,

y/ -H a-a:' — A (a; -+- ^c') -t- m' = ; quel que soit /, la polaire passe par le point d'intersection des droites yy' -t- xx' -4- m' = et j; -t- a:' = 0.

Ce point fixe, en vertu d'une propriété de la polaire, est réciproque du point donné; de sorte que toutes les polaires qui lui correspondent concourent au point (i', y').

Pour un point de la si^cnnle commune, on n x' = 0, et le point réciproque se trouve aussi sur celte droite.

Si on pose j' = et x' = m, l'i^qualion âc la poljiire devient a: -1- m = 0.

Ainsi, tin point limite a pour polaire, par rapport à tous les cercles du système, une droite fixe perpendiculaire à la ligne des centres et passant par l'antre point limite; ces deux points divisent h.irmoniqucment les diamètres de tous les cercles.

1S3. Si d'un point de l'axe radical on mène des tangentes aux cercles du système, leurs points de contact se trouvent sur une circonférence ayant pour rayon la longueur commune des tangentes, et pour centre le point choisi sur la sécante commune. Ce nouveau cercle est ortliogonal aux premiers, c'est-à-dire que les tangeiiles aux points d'intersection sont perpendiculaires; il passe par les points limites, car les distances du centre à ces points sont l>îs tangentes de ces cercles infiniment pelits. l'axe radical doit donc être regardé comme la ligne des centres d'une nouvelle série de cercles, orthogonale à la première, et ayant pour sécante commune la ligne des centres des cercles de la première série.

l'éqiialion d'un cercle quelconque du second système sera de la forme

x^^f~^aj/-n,'-

it l'ordi

innée du centre et m h

1 disinnce

d'un

point lim

i.Qud,

Mt l'ane fartieal Jcs oerclPS

+ la = 0.

». Trou

ver l'équation du cercle qi ne arec les cercles de l'exei

ni passe po

rie F

inint (2, 5)

-my-hQi