CKMRES DE SIMILITUDE RE DEUX CËIICL.ES
198. Soîcnl el 1 ies centres do deu^ cercles. Si on prend pour axes des coordonnées les tangentes eoinmuncs, les cquaiions des cercles sont de la forme
îlcnons par l'origine une
sécanle )/ = ;j;c; elle ri'ocontre les cercles aux points r,r', R, R'. lin représentant par x cl y, X cl Y les coordonnées des points i- et R, on a les égalités
'-=-. d'où - = -^.
Posons
Si, diins rcqiiatiuii (1), oii i-umpliii^i; las vai-iiiblos x m y |i;if Ix. lij, on obtient
).^(x- + y^ -t- ^xy cos 9) — Sa'Jic — M'mj + «'^ = 0,
et, on premmt / =~, on retrouve l'équation du premier cercle, Pour les
points r et il appnrtenant à la fois aux cercles et à la sécante issue dn point S, on a donc les relations
[/X^ -1 - Y^ + 2XY eos __ SR [A* + y' + 2scî/ cos a S''
SA
Le rapport — est constant quel que soit la direction de la sécante, et
on peut eonslruire le second cercle au moyen du premier, en prenant, sur
le prolongement de Sr, un point R tel que SR ^ ~ - Sr. Cette propriélé
est celle qui caractérise la similitude de deux fij^ures. Le point de concours des tangentes communes S est appelé centre de similitude des deux cercles. Les points r et R qui appartiennent à des arcs de même sens sont dits homologues directs; deux points tels r et R' sont homologues itiverses. Il Taut attribuer la même signification aux droites homologues directes et aux droites homologues inverses.
194. Les rayons qui aboutissent à deux points homologues directs sont parallèles; car si on mène les rayons aux points de contact des langenlcs, on n évidemment
SU SA' ___ n SI s7 ~ SA ^ j-u ~" SU ' elles triangles OrS, IRS sont semblables. Réciproquement, si on mène deux rayons parallèles Or, IR, la droite qui joint les points r el R passe par le centre de similitude. Cette propriété permet de construire le point S sans faire usage des tangentes ; il suflit de mener par les centres et 1 des cercles deux rayons parallèles; la droite passant par leurs extrémités rencontre la Hgnc des centres an point S,
Si on rapportnit les deux cercles aiix tangentes intérieures, on verrait égnlcmcnt que leur point de concours S, jouit des mêmes propriétés que le points. C'est aussi un centre de similitude des deux cercles. Pour le construire, il faudrait tirer deux rayons parallèles et dirigés en sens opposé ; la tiroite qui réunit leurs extrémilés détermine sur la ligne des centres le point Sj.
Celte construction des points S et S| nous montre que les centres de similitude de deux cercles existent toujours quelle que soit leur position dans le plan, qu'ils soient intérieurs ou extérieurs l'un à l'autre. Qunnd deux cercles se touclient, leur point de contact sera évidemment un centre de similitude.
IS5, Les droite-s homologues directes soni parallèles tandis que tes droites homologues inverses eoncovrent sur l'axe radical.
Prenons pour axes des coordonnées les sécantes SR et SP issues du point S ; posons Sp ^= p, Sp' = p', Sr = r et Sr' = r'. On a pp' = rr', cl l'équation du premier cercle est de la forme (N° 95) {0) x^ -t- y^ -1- 2xy cos ô — (p -t- p')x — {r -i- r')y -+- jt' ^= 0.
Si on désigne par m le rapport de similitude, SP = mp, SP' i= vtp', SR = )»?•, SR' = mr'; et le second cercle aura pour équation (1) x^ -i-if -\-ix^cosB~mip -^-p')x~m{r-t- r')y -^ mh-r' = 0.
L'axe radical des deux cercles est représenté par
(p + p') x + {r-\- r'] y — rr' (1 -h m) = 0.
D'ailli'iirs
les diltérentes droit
es homologues de la
iquatinns
[rp]
