DS — AF
À;/ -4- Bx-t- D qz[/D= — AI''=0; G rcprcsenle deus droiles parallèles à la ligne des centres.
— ï7ii —
1419. Dans le cas de l'ellipse et de l'iiyperbole, l'équation générale se simplifie, lorsqu'on place l'origine au ceiUre, et elle prend la forme
(2) Ay^ -h HBny ■+■ Cx^ = H
dans laquelle H ==■- — f («,P)= — (Ap* -+- 2Bft|3 + C»*' ■+■ 2D,3 ■+- 2Es + F}. Le c.iilcul de H se l'ail Tort sim|)letncnt au moyen de la rnmai'qiic suivante : l'cprenons les équations qui déterminent « et p
A^ -4-Ba-t-D = 0, Bfi-+-C« + E=0; mulliplions la première par [3 et la seconde par n ; on obtient, en ajoutant ensuite les équations membre à membre,
A|3^ H- 2Ba(3 H- Ca^ -v- D(3 -v Ea = 0.
lien résulte que H <= — (D|3 + E« -t- F).
Lorsque II = 0, l'équation (2) devient
(3) Ay^ ■+■ 2Bxv + Cx^ = :
relation bomogèuc du second degré qui représente deux droites PP', RR' passant par l'origine; ces droites sont réelles, si B^ — AC>0, et | imaginaires, si B^ — AC <; 0, Nous allons voir que l'byperbole représentée par l'équation (2) quand H a une valeur différente de zéro, se rapproelic indéfiniment des deux droites de l'équation (Z). Pour fixer les idées, supposons que H soit négatif, et résolvons !'éqi rapport à y. Il viendra
Le diamètre de la courbe passe par l'origine; il est l'acile de vérifier qut l'hyperbole se trouve située dans le plan, comme le montre la figure, De même l'équation (3) donne
Y = — ^a: ± i [/{n- — AC) x^
L Ar,^ -t- 2ISa:(; -
Xqx'^AU.
yGoosle
en écrivant Y nu lieu de y, a&n de disMiigucr l'ordunncc de In droilc de eeflc de In courbe. Cela élanl, l'nre A'K eorrcspond nus valeurs positives du radicîi! ; si on relrnnclic les équations, en prenant le signe -+- pour les deux l'adrcaux, il vient
Y — «/ = - l/(!P — AC) xi — /(It^— .Af;)7= ~-^\\.
{/{W- — kC) x"- -t- t/{B* — AV.)x^ — AH La dllfércnec des ordonnées de la droite et de la courbe diminue à mesure que x augmente, et, puiira; = ao , Y — .y = 0, La partie d'hyperbole A'K se rapproche donc de plus en plus de la droite OR, et, à l'infini, les deux lignes se touchent. Il serait facile de montrer que cette propriété n lieu pour les autres parties de In courbe relativement aux droites; il siiflît de J-épéter In transformation prccédenle, en prenant les radicaux avec le signe -i- ou le signe — , suivant la partie de la courbe et de la droite que l'on considère. On donne le nom d'asymptotes aux droites que noHS venons de délinir; en général, on appelle ainsi tonte ligne fixe vers laquelle s'apprnclie indéfiniment une branche de courbe inOnic. Il résulte, de ee ijui précède, que toiile hijpKrhole reprèsKiiKie pur l'ét/vatioii
Af + 2lîxy -H C.r* = H,
n pour af;yiiiplfil':s ks di'.iix droites du l'équation A;/ -<- 2Ea:,v + Cj' = 0, ohleniie en posant H = 0.
Remarque i . Assujettir une conique à avoir pour centre un poiiil donné («, (3) équivaut à deux conditions géométriques simples; car, on a, entre les cocfliciciKs de l'équation générale, les deux relations
A(i -I- Ik -i- I) = 0, UiS + Ca -i- E = 0.
La conique serait complètement définie avccirois nouvelles eundilions : aussi l'équation de l'ellipse et de l'hyperbole rapportées ti leur centre ne renferme plus que trois paramétres.
flemcff-çue 2. Assujettir une hyperbole à avoir pour asymptotes deux droites données équivnut à quatre conditions. En effet, si on prend pour origine leur point d'iiilerseclîon, ses droites sojit représentées par une
i;qii!ilion lie lii forme
et t'Iiyjjurboli; correspond il ii te pnr
At/' + 2Bxt/ + Cx^ = il, «ù il n'y a plus ({116 le paramètre H à di'.tcrminer; jettir la courbe qu'à une seule condition.
<: ceiiti'e et les dquatîoiis simplillées des eniiiqucs si y^ — 'iirj, -+- 2a^' — 2i/ - 3jj H- 7 = 0, H!" — 2a;i/ + 2y -(- 2ii; -«- 1 = 0,
Kx.
!■ ie iitii géométrique des
poiiHs A, A', I!, B'.
Prenons pour ïxes les droites AA',BB'(fis. KS), et posons: (( = OA|ra'=OA', I> i' ^ OB' ; l'équattoii généi'aie des coniques est
Pour obtenir le lieu demandé, il faut éliminer J entre les e'quations du centre %,a'>j-\-^^~aa'{b-}-!,'] — 0, 2)y + 266'» — È6'(oM- n') = Oi ou trouve ainsi l'équotiou
(c) 'ina'y' - 2W'^i — aa' {b -\-b')>j + bb'(a -h a'] x = t), qui représente une ellipse ou une hyperbole suivant le signe des qua La conique (c) passe par l'origine, et '-!-»' ,, , . >^, „
Si on prenait pour axes les droites Al!, A'B', ou les diagonales AB', BA', l'équation des coniques serait encore de la même forme que {d), et on arriverait à cette conclusion, que la courbe
autres côtes opposés et des diogooales; de plus, son centre di
dp In droilp qui joint Its miliciii des ciités "iiilnSPS Aiî, A'B', ainsi qu'nu milieu de lu ligne qui joint les milieux d(« rliagonnlcs. Comme h courba n'a q'j'iin centre, an en déduit ce tbéorème connu : Dkjis un quadrilatère plan, les droitn qui joignent Im milieux dea côlh oppoféa et des diaaoaoles se tXitipeHl en leur milieu.
Es. 3, Qu(ft est le lieu des centres des coniques qui loitclieni les «xei aux points KO). (0,6)?
;t dont le
hyperbole rjni passe par les points («, 0). (0, b)
Es. 4. Éerire l'équation d'une conique qui a pour centfe le point (tt, j3).
ii. As'-t-SRœji-t-Cj^ — 2(A3-i-lia)î(-2(Bjî-(-Cï)ir-t-F = 0, ousousiflforme: p(l/-^y + q{^-<'){l/-^)-\-ri!c-«)^ + , = 0.
Ex.. i. Trouver l'équation de l'hypei'bole qui a pour asymptotes les droites y — nx = 0, 'j—bx^O, et qui passe par le point (0, c).
It.
\, a. Écrire l'équation qui détermine les eoeflieionls angulaires des asymptotes i que l'équation de ces droites pour la conique Ai/'-t-2Br!/-i-Cc"+2D^+2EM+F^0,
im
= -l-2BH,-4-C = 0i
Vi/'-■/ïï^^^■-»■'-"=^
■>v KB'-AC;
un
èlre d'une cnurbfi fist le lieu di une sérh- de iiordes parallèles à
une direr-
(1, (il
Soit \) = mx-i-l) l'équation d'inie droile )n(iée ; proposons-nons de ti'onvci' î'équalion i diamètre d'une conique jnnir les cordes irallèlesà cette droite. Représcnlons par a7i,yi
celle de
. coordonnées du milieu I de l'une de ces rdcs MM', et transportons l'orij^inc en ce
n tenserviint la même direclion des axes, L'équalion de la
rapportée aux axes OX, OY étant
{(x, y) = /^f -t- 2%y + Cx^ + 2Dy + 21s:c -t- F -= 0,
la niÉme courbe, pour la nouvelle origine, sera
IBx'y' -t- Cx"' + y' i',j (a:, , y,) -\r x' \\ [x,, y,) ■+■ f (a:i , y,) -= 0.
D'un uuti'G côlû, réijuatiori de la droite Mi*t' «st. y' = iitx'. L'él imitation de 1/' entre ees équations donne la relation
(4) (Am^ + gltnt -1-0)3;'^ + [»ifj(xi, y,) -+-P4x,,!/.}K + f(^H •/.) = (), dont les racines sont les abcîsscs des points M et M', Mais l'origine étant au milieu de MM', l'équolion doit donner pour u' des valeurs *!gales el de signes contraires; d'où la condition
Il en résulle que les cooi'données du milieu d'une corde quelconque parallèle à la direction donnée vérifient la relation (6) m !',{,,, )■^e.{^,„)~ll,
qui sera l'équation du Heu cherché, ou du diamètre correspondant fi la droite y^mx-^b. En remplaçant les dérivées par leurs valeurs, on
m {Ay -1- Bj; -+- D) + (B!/ -f Cx + E) = :
équation du premier degré qui représenl« une droite passant par le centre de la courbe; car, pour ee point, S',j{x, y) = 0, f ^(a;, i/) =^0. Si on écrit
(Am -+- li) ,v + (Bm + C) a; -t- Dwn- E =- 0, il vient, en désignant par m' le coefficient angulaire du diamètre, lu Amm' -\-B{m + m')-i-C^O.
C]î C -1- Bm
B^A"^B-*-Am' cl m' est constant quel que soit m : dans la parabole, tous les diamètres sont parallèles. Mais, dans les coniques à centre, la direction d'un diamètre varie avec celle des cordes.
Ainsi, dans l'ellipse et l'hyperbole, les diamètres sont des droites qui passent par le centre et dont la direction dépend de celle des cordes ; dans la parabole, ce sont des droites parallèles.
151. Deux diamètres sont dits co»îjMgrné^, si chacun d'eux divise en deux parties égales les cordes parallèles à l'autre. Menons une corde MM" parallèle à DD', et reprenons la relation (7) sous la l'orme (7) kmm' + B (»! + m') -*- C = 0.
yGoosle
Celle éqitalion ne change pas, si on rcmpincc m par m', el m' par m ; le diamètre EE' correspondant à la direction des cordes de coeflicient angulaire m', aura pour coeflicient de direction m, et il sera parallèle à MM'. Les deux diamètres DD' et EE' sont conjugues et leurs coeflîcienls angulaires satisfont à la relation (7). Dans l'ellipse et l'hyperbole, à chaque valeur de m' correspond une valeur pdelle de m donnée par celte équation : ces deux courbes ont une infinité de systèmes de diamètres conjugués.
On donne le nom d'aj:es, dans une conique, aux diamètres qui sont perpendiculaires aux cordes divisées en deux parties égales. Si les coordonnées sont rectangulaires, on doit avoir, pour un tel diamèire,
jHjn'=^ — i, et, par suite, en verlu de (7), m -t- m' ^ - ; par con-
séquent, les quantités m et m' sont les racines de i'équation
Il est facile de vérifier, par la résolution de cette équation, que les racines sont réelles; il existe donc toujours un diamètre perpendiculaire aux cordes qu'il divise en deux parties égales : dans les coniques à centre, le diamètre conjugué jouit de la même propriété et ces courbes admettent deux axes; si on désigne par ni], m» les racines de l'cquaiion précédente, et par «, |3 les coordonnées du centre, les axes seront représentés par
Dans la parabole, lous les diamètres étant parallèles, il n'v aura qu'un seul axe.
Remariiue i . Ttans la recherche de l'équation d'un diamètre, nous avons supposé que les cordes parallèles à la direction donnée rencontrent la courbe en deux points situés à une dislance finie, en admettant que l'équation (4) avait deux racines. Dans le cas particulier où m satisfait à la relation Am* + 2Bih + C = 0, les cordes ne rencontrent la courbe qu'en un point; c'est ce qui a lieu, dans l'hyperbole, lorsqu'elles
sont parallèles aux asymptotes; car, si on remplace m par -, on a Ay* 4- 2Bxt/ -+■ Ca* = qui représente les asymptotes, si l'origine est au centre. Dans la parabole, on a : B = [/AÏT, et la relation précédente
— 18j — ticvicnl (hi [/a + l/C)- =0; de sorte que les cordes de coeflicicnt
angulaire — \ / — ne rencontrent cette courbe qu'en un point. Dans V A
ces cas particuliers, il n'y a pas de diamètres eorrespondanls, ou plutôt
ils sont situes à l'infini.
Remarque 2. A toute droite passant par le centre et de coefficient angulaire m', correspond undiamèlre conjugué dont la direction est donnée par la relation (7). Cependant, pour une asymptote, on a Am'*-i-2lîm'+C=0, et l'équation (7) ne peut être satisfaite qu'en posant m = m'; dans ce cas, les deux diamètres conjugués coïncident.
Remarque 5. Un diamèlreavee la direction des cordes équivaut à deux conditions; en effet, prenons ce diamètre pour axe des x, et, pour a\e dés 5, une droite quelconque parallèle aux cordes; l'équation de la conique sera de la forme.
ay^ -4- CI* -H rfa; + c = 0, afin d'avoir deux valeurs égales et de signes contraires pour y, h chaque valeur de x. Cette équation ne renferme que trois paramètres, et la courbe ne peut plus être assujettie qu'à trois autres conditions. Avec deux diamètres conjugués pris pour axes, l'équation de la courbe sera delà forme
py^ -H qx^ -I- )■ = ;
car, à chaque valeur attribuée h l'une des variables, on doit avoir pour l'autre des valeurs égales et de signes contraires. Un système de deux diamètres conjugués équivaut à trois conditions.
Ex. t. Etuiit dotince l'équation de l'ellipse
,/ 3j.y -t- Sa;' -t- 25, — 5j! — 5 = 0, diitorminer le diamùlro dos courbes pncailèles à b droite y = 2jt — I, ainsi rjiio les uxes
On li'ouvera, pour le dUinèlre, l'équation y -1- ic -v- t ^ 0, et, \io\ir les aies,
Ex. S. Même rcdierclie pour l'hyperbole y ;^
Es. 3. Ecrire les équations des diomètres qui divisent en deuj parties égales, les coi'des parallèles aux axes des coordonnées puur la conique Ay' + ÏBj^j -t-Cœ*-t-2% -1- 2Elc h- F = 0.
R. .il- ^- Ba; + D = 0, Cj ■+- Ca> + E — 0.
La promiÈfe représente le Jiainèlpe lies eordes parallèles aus j, et !a ileusiùme celui des cordes parallèles aux x.
Eï. 4. Trouver le coefficient angulaire de l'a\e d'uiiu parabole rcpresenliia par l'équation générale.
Il faut résoudre rijqualion : z^ — '~— s - 1 —0, et poser B = l/ÂC, Les racines
sont H-»/-, — \/ -r; le coefficient angulaire des cordes est + */ ^' car, pour l'autre valeur, il n'y a pas de diamètre correspondant. Le coefficient angulaire de
Ex. S. Écrire l'équation des ases de Id CHiiiquc Ai/ + 2Bccy -v- Cx' = H, R. B'f - {A. — C)xy — Bx' = 0.
I. Daus toutes les coniques qui passent par quatre points fixes, les diamètres
eonjugués à une direction donnée ci £n effet, si l'on reprend l'équation de ces courbes
ou'y' + 21a!y H- bb'x' — aa'(b + b')y — 66' {a + a')îc -+- aa'bl/ = I), le diamèlre corresponilBut aux cardes de direction m est représejil« par t'équation
2).[y-\-mx) +%b'œ -^^maa'y — bb' {a-i- a') - maa'ib -t- y) = 0; tous les diamètres passent par le point d'intersection des droites
y-\-mx = 0, 266'» + imaa'y — bb' {a -t- a') — maa'(b ■+■ b') = 0.
Pour obtenir le lieu des points de concours des diamètres correspondants à toutes les 1 faudrait éliminer m entre ces deux équations; on
26A'cf' " 2aay — bb' (a ~i-a')x-i- aa' {b -\- b') y = : cette équation représente ane ellipse ou une hyperbole qui coïncide avec le lieu des centres des coniques qui passent par les points donnés.
Ex. •». Trouver le lieu des milieux des cordes passant par un point fixe.
Soient a, ,3 les coordonnées du point fixe ; il faudra éliminer le coefficient angulaire m entre les équations
Il ïieul ainsi, pour le litii cliurclié, l'cquatioii
§ 5. DE lA TANCBNTE ET DE LA l'OLAIRE DANS LES COIIRBËS DU SECOND
■tSS. Soient M{x',y'), 7ii'[x",y") deux points situés sur la conique
(1} {(x,y) = Ay^ -^ iBxy -\- Cx^ -+■ 2Di/ + 2Ej; + F=0. Lii droite qui réunit ces deux poinis peut être représentée par une équation de la forme (2) A{y^y'){y-^y") + ^B{x^x'){y~r} + C(x~x-){x^x")^
= Aif -*- ^Uxy -*- Cx^ -H 2Dt/ -»- 2Ex -4- F, car, après avoir effcctné les opérations el supprimé les termes communs, elle s'abaisse au premier degré; de plus, elle est salisfaite par les coordonnées des poinis M et M', en tenant compte des relations Ay'^ H- 'iBx'y' -\- Cx'^ -t- 2Dj/' -+- 2Ea;' + F = 0, Ay"* ■+- 2Br"i/" -i- Cx"^ ^ -lUy" -¥■ 2Ex" -v- F = qui expriment que ces points apparliennent à la courbe. J-a sécante en tournant autour du point M devient tangente à ia conique, lorsque le second point M' se confond avec le premier; pour cette position limite, x" = x', y" = y', cl l'équation (2) devient
H'J-y7 -^ 2B{ï- X') {y - y') -^ C{x ~ xT = A)/^ -i- 2Ylxy ■+- Cx^ ■+■ 2D!/ -+- 2Ej: -+- F. Développons le premier membre el supprimons les termes du second degré en a; et y; on aura
— 2ÂÎ/.V'— 2B(j;)/'+y-c') — 2Cj:x'-f-A^'^-+-2Ba:'»/'+Cx'*=2D»/-i-2Ea;4-F, et, au moyen de la relation
Ay'^ ■+■ 'ÀSx'y' -+- Cx'^ =- — 2Dv/' ~ 2E.c' — F, on obtient finalement, pour l'équation de la tangente à une conique en un point H {x',y'),
Ayy' -H Yi(xy' -i- yx') + Cxx' + D(?/ -h y') -4- V.{x -t- x') -+- F =^ 0, Si on désigne par V le coefficient angulaire de la tangente, ou en déduit
,, By'+Cy-E ï'.(x-,y-)
ky' -t- Bj;' + D ^'Ax',y') '
lie soi'lc que, la lanj^cntc éiaiU une droite qui passe par un poial M (as' y'), son équation peut aussi s'écrire sous la forme
Remarque. Il est souvent avantageux de rendre l'équation générale du second degré homogène par l'introduclion d'une troisième variable; elle se présente alors sous la forme
Aif -h ^2Rxy -^ C,r^ + 2D^J -t- 2Ezr + Fz^ = 0. Pour retrouver- la première, il suffira de poser z ^=\. En vertu d'une propriété des fonctions homogènes, on a toujours la relation
a: r^ H- j^ f'j -+- î r.= 2 I' (X, y, z), comme on peut le vérilier faeilement; par suite, l'équation de la tangente
on
a: f'., -4- )/ r„— (x' f\, -1- y fV) = 0,
pourra se mettre sous la forme symétrique
X f'„ +- y i',j. ■+• z {\, = 0, f',„ i',j„ i'-, désignant ce que deviennent les dérivées quand on y subslilnc x', I)', z' à X, y, z. Il est facile de constater qu'on peut encore écrire
153. La tangente à l'exlrémilé d'un diamètre est parallèle au conjugué de ce diamètre.
En effet, l'équation d'un diamètre est
(D) mi',{x,y)^î'.{x,y) = Q,
m étant le eocffieient de direction des cordes; c'est aussi le eoeflîeient angulaire du diamètre conjugué qui est parallèle aux cordes. Soient (x' , y') les coordonnées du point où le diamètre D rencontre la courbe; on a pour ce point
m i;{x' ,J) + r, (X', „') 0, il'où m - Jr^^ ■
Celle valeur de m est précisément le coefficient angulaire de la tangente à la conique au point {x', y'); ce qui démontre la proposition.
~ 189 — ItenmrqitK. En vertu de cette propriété, si on mène, à l'exlrémité rf'im (Ji.imèlrc d'une parabole, une tangente à la courbe, elle sera parallèle aux cordes divisées en deiis parties égales; celle circonslanec permet do simplifier l'équation générale lorsqu'elle définit une parabole. On prendra le diamètre pour axe des x, et la tangente pour axe des y. L'ol'igine étant sur la courbe, on aura d'abord F = (l; ensuite, les cordes parallèles aux y étant divisées en deux parties égales, pour chaque valeur attribuée à l'abeisse, l'équation qui représente la courbe doit donner des valeurs égales et de signes contraires pour l'ordonnée-; donc il faut que les coefficients B et D soient nuls ; enfin, pour que l'on ait lï^ — AC = 0, l'un des coefficients A et C doit être égal à zéro; soit C = : l'équation de la parabole, rapportée aux axes eboisis, sera de la l'orme
kif -+- 2Ea: = 0,
en posant p — ^ 7-
■S5*. Trouver Véqiutlion des tavciejttea menées d'un point {x', y') « la conique Af -+- 21% -+- Cj:^ + Wy -t- 2Ex -t- F = 0.
Les coordonnées d'un point quelconque de la droite qui joint !c point <x'. i/'l à un autre point {x" , y") dn plan sont données par les formules mr" H- )(.t' mif + ny'
Si un subslilue ces expressions dans l'équation de la conique, on a k{my" -t- ny'Y -4- 2B (my" -v- ny') [mx" + nx') ■+■ C(mx" -t- *ix')^ -^ (m + h) [2D {my" -h ny') + 2E {m^" + nx') m- F{m -t- n]] = 0.
Développons et posons, pour abréger, — == ?,,
Ai/"^ -V 2Bx''y" -V- Cx"' -+- 2Dy" -i- 2Ex" + F = S", At/'- ■+ 2lîx'(/ -^ Cjc'^ + 201/' + 2ï,x' -1- F = S', Ay"y'-i-^{x"y'-i-x'ii") + Cx"x'^V{y"-\-y'j + E(x--+x'j-ir-F==P"; il viendra l'équation
yGoosle
qui détermine les valeurs de A pour les points d'inlcrseclion de la droite
et de In conique. Supposons que la droite des points (x', y'), {x", y") soit tangente à la courbe ; l'cqualion (ô) doit avoir des racines égales, et, par suite,
Si on remplace dans celte relation, x", y" par les coordonnées a; et y d'un point quelconque de l'une des tangentes issues du point {x', y'), on aura, pour l'équation de ces droites,
(4) [kyy- + -Ë(x!)- -^-yx']+Cxx' ^-n {y^y') + V.{r. +x')^ff (Ays -t- 2B»!/ -H Cx' -t- 2Dî/ -t- 2Ea: -t- F) (Ay'^ + 213 <»/' + Ca;'^ + 2D»/' + 2Ex' -i- F) = ou, plus simplement, en désignant par P, S et S' les polynômes des parenthèses,
ps - SS' = I).
En posant ce' = 0, i/' = 0, il vient, pour les tangentes menées de l'origine à la conique,
{Dy + Ej; -t- F}' - {ky- -t- Slta;)/ -i- Cx~ 4- 2Dy -h 2Ea: -(- F) F = 0, ou bien, en développant,
(D^ — AF)y -+- 2 (DR — lîF) a:»/ -+- (F* ~ CF) x- == 0.
155. Chercher l'équation de la corde dex conlacls des tangentes à une conique issues dit point (a.', y').
Appelons Mi(a;], y (}, Ms(xs, y.) les points de eoulaet des deux taui^enlos; l'une de ces droites est représentée par l'équation
Ayyi -t- B(xy, ■+ yx,) -f- Cxx, -+- D(y + J/i) -t- F{x -t- a-,) -t- F = 0,
Mais, comme elle passe par le point {x', y'), on a la condition Ay,y' -y-R{y,x' -+- x^y'] -h Cx,x' + D(»/, -h i;') -4- E(a7, + a') + r = 0; or, cette relation exprime que le point de contact (xi, y i) se trouve sur in
(3) \yy' -+- B(x/ + yx'] -h Cxx' -t- n(ï/ -+- y') -+- F^x ^ a;') + F =0.
On verrait de même que le point (3:3 i/s) se trouve sur cette droite, cl, par suite, l'équation (S) est celle de la corde des contacts. Celle ligne est appelée la polaire du poini (x', y') par rapport à la conique, et ce dernici' en est le pôle.
L'équation (S) représente toujours une droite réelle; donc la polaire
d'un point existe toujours, même s'il est à l'intérieur de la conique et si les tangentes sont imaginaires. Lorsque le pôle {x', y') est sur Isi courbe, l'équation (S) représente la tangente en ce point : ainsi la polaire â\m point de la conique coïncide avec la tangente au même point.
156. La polaire est le lieu du point conjugué harmonique du pôle, par rapport aux points d'intersection de la conique avec une sécante quelconque issue de ce point.
En effet, reprenons l'équation
S"P + 2P"?. + S' = ; la droite des points (x', y'], [x", y") rencontre la conique en deux points harmoniquement conjugués par rapport aux premiers, si elle a des racines égales et de signes contraires, c'est-à-dire, si P" = 0, ou bien, liy'y"--^'S{x'y"-^ x"y') -+- Cx' x" -i- Y) {y' ■+■ y") + E (a;'-+- x") -+- F= 0.
Pour obtenir le Heu du point conjugué {x", y") sur toutes les sécantes i5sues du pôle, il suffît de remplacer dans cette relation x" , y" par les variables a; et y; on obtient ainsi réqualion
Kyy' -H B{xy' + yx') ■+■ Cxx' -h D (y + ;/') + E{x -i- x') -i- F = 0, qui représente la polaire du point (x', y').
On déduit de cette propriété une construcliou géométrique de la polaire d'un point donné p. On mène deux ^^^^H^^^^^Rj^^H sécantes quelconques pmm' , pnn' ; on tire ^^^^^^^K^BÊ^^K^k les droites mil' et nm' qui se coupent en y, ^^^K^^B^^^^^SHS^ ainsi que les droites mn, m'n' qui se ren- P^^^^^^S^BHjll en f; la droite fg est la polaire ^^^^^BBflB^^|E^H demandée. En ef!ct, dans quadrilatère ^^^^^^RflO^HS^^^I les droites qui aboutissent au ^^^^^ÊB^^B^^^^^ point f, forment un faisceau harmonique, v,.-. r,-.
et, par suite, fg doit diviser harmoniquement les deux sécantes issues du pointp et coïncider avec la polaire de ce dernier,
157. £a polaire d'un point f situé sur une droite P passe par le pôle p de celle droite.
Soient (a;', y'), {x", y") les coordonnées des points p et/'; les polaires correspondantes ont pour équations
(P) Ayg'-t- B(xy'+yx') +■ Cxx'-\- D (^ -t- )/') -i- E (ic +■ x') + F = 0, (F) \yy"+ B{xy"+yx-') + Cxx''+ ]){y + y") + E(x+x") + F = 0.
yGoosle
Climme le pninl /'se trouve sur la drmlc. P, on fi
Ai/'i/"-i-B{x"(/'-f-i/"a;') +Cx'x" -\-D{y" -•■»/') + £ (a:'' -i-x')+ F=0, rcl;ition qui exprime niissî que in droite F pusse par le pôle (.r', i/') de lu première.
D'après la constriiclion indiquée pniefidemmeiil, lii polaire du point f est la droile pg; on peut dire aussi que lotite droile P, qtii passe jiar un point f, a son pôle sur la polaire de ce point.
Il en résulte que la polaire du point d'intersection de deux droites passe par les pôles de ces droites, et, réciproquement, le pôle d'une droite qiii joint di'ux point<{ est l mlerseclîon des polaires coi i esj. ondantcs
Lorsque deu\ points Icli que p oi g jouissent de cette propriété, que la poliiirc de I un pnwe pu I autre, on dit qu ils sont conjugués par rapport S la conique 11 ea visible que deu\ points conjugués «eiont les conjugues haimoniqucs pn rappoit lux points ou la dioite qui les réunit reneonlre la courbe
On appelle aussi rfjoifps conjuguies par rappoit d iinc conique, deii\ droites telles que le pôle dt, lune se tiou^c sui I lutre Dlu\ droites conjuguées forment toujours avec les tangentes, menées de leur point d'intersection à la courbe, un faisceau harmonique.
Ex. ■ , Ti'Ouver les équations dea tangentes à la conique ii/' — ôxi; -i-x^ — H?/ — 2b — 5 := 0, aux points oii elle [■«neoiiti'e l'axe des ai.
B. 7y — aB-f-e^O, y -H 2j! -1-2 = 0.
Ks. ï, Qaclle tst (a polaire de l'origine par rappni't à la conique f(ir, j/)=0?
Eï. 8. Quelle est lu polaire du centre de la conique f (œ, ^1 = tl '! B. Une Jrniteâ t'inlini.
Eï. *■ Ecrire lea équations des tangentes issues de l'origine et k poluirc (le en point pour la conique y' — "ixy -i-^y — i« — 2 =^ 0.
B. 5j/= — 83T/ -I- il» = 0, y — 2a! — 2 = 0.
Ex. «. Déterminer le pôle d'une droite px-t-qy -i-r =^0 par rapport à lu conique f(a:,rt = 0.
L'cqufltioii lie la polaire du poiiil (ar', y') peuL se mettre sous la forme
X (%■ ■+■ Cx' H- E] + !/ (Ay'-H Hjt' -1- D] -h Dy' -i- Ea;' -(- F — i le« équations qui détenuincnt le pôle eliercJié seront
%' -1- Ca' -H B Aj/' -1- Bai' -I- n ï) y' -1- E^' H- F p ~ 1 ~ r
S.\. s. Les jinlulrcs d'un pami lixn |)ur rapport » toutes Irs coniques qui passpiil paf quotra points donniSs eoitcoupeiil en un m^ma point.
En effet, lu poluïrc d'un (loint (j;', y') par rapport à une conique représentée pai' iin'u' +■ 2Ja-!/ -t- hi'x' — im' (b + l') y — !/l/{n -f- «'] a: -t- oc't'/ = 0, R pour équation
2n«'î'J('-)-21(3-/-t- ja/) -i- 2Wv W— nn'(f)+fi') fe+J'') - W/ii+n') (i+ï')-I- 2na'6'/= fl; die renferme un coeQîcient inilëlopmincet représente ti es droites passont |iiir un piiiiit fixe. Lorsque œ' = 0, y' =3 0, il vient
„„' (6 ^b')y + W (a -t- «') 3! — 2(iq'66' = 0. I,n polaire de l'origiiio pnr rnpport à une conique quelconque de In s^pif est une droito ri\e. Il est facile de vérifier que «elle droite passe par le point d'interseelion des <liaj>onales el celui de deuï eôlés opposés du quadrilatère, et que le triangle dont les somnii^ts sont les points de eoncnurs des câtés opposés et eelui des diagonales jouit de celte propriété, que chaque edié est la polaire dn sommet opposé.
Ex. >. Le lieu des pôles d'une droite fi.te par rapport ii loutes les coniques clreouseriles à un quadrilatère est une section conique.
Si)itpat + çjf4-r = la droite donnée; pour trouver le lieu dn pfile de ccLtii droile, il faut éliminer J, entre les équations
2)y + 2'('/t' — {,'<■ In + n'I 2""';/' -t-2)*' - m,' [h -t- b')
Le rés
ulEat de l'éliminalion es! l'équation du second dpjiré
■) H- 2H m'y" -+- [ibl/ ('• -t- a-) — pim' (h -+- b')] x'i/' — {p '" + "')
[2W/, + (4 + i') ,.] „a'^' + [a,„> -^ („ + „', ,.] lAV = 0,
^ ft. SniPJ.IC.\TIO\ Dl! l'équation ru SrCOND DKCRÉ.
158. Nous nvons vu (|iielcs propriétds du fionlre et desdinmèCrcs pcrmoltcnl de raniniur réquiUton générale des coniques ù des fornir-'i plus simples. Nous nous proposons, dans ce paragraphe, d'indiquer le cnleul des cociricienis qui cnirent dnns Vi qiialinn finnie.
SuppO"ons, (Il lu'cniier lieu, que l'cqualian I g(,nctalG
(1) Ay* + 2Br^ -i- Cx^ -i- 2D!/ h- 2E3; + F = ] repuscnte nnc courbe à centre. Après av diilenniné le^. coordonnées m et (3 de ce point , on y piaf
LV'qualion (1) est alors privée des tei'incs du premier degré en x el y, et se réduit k
(2) Ay^-^ 2nxy H- Cji==If,
où le nouveau coefficient se calcule par la formule 11= — (D(3 -t-Ea-i-F). Par nne transformation des coordonnées, il est toiijonrs possible de faire disparaître de l'équation (2) le terme en ry. Admettons que les axes Auxquels la courbe est actuellement rapportée soient peciangulaircs; amenons ces axes dans la position CX', CY', en les faisant tourner d'un angle 9 autour du point C. L'équation de la conique pour les nouveaux a\cs s'obtient au moyen des formules
3) == .v' cos ç — y' sin <p, y ^x' sin <p + y' cos <p. La substitution de ces valeurs conduit à une équation de la formi^ (3) Wy'^ -4- 2Ra-'!/' + Nx'^ = H,
dans laquelle m=Acos=(p — 2Bsin<5cos9-i-Csin'o, K=Asin^tp-i-2Bsinçcos(p-f-Ccos^'P ]t = A sin (p cos ç — B sin' tp + B cos^ ip — C sin 9 cos 9. Pour délerminer la valeur de ç qui annule R, posons :
A sin tp cos qj — B sin* (p -+- B cos^ m — C sin cp cos ç = 0, ou bien
(4) (A — C) sin 2^ H- 2B cos 2? = 0.
On en tire, tang 2ip = p— r-'^"'' ^^' ''""Sl" pl"^ P'^'it 1"" ^' *^""' k tangente répond à celte valeur; les angles
2^', 2;p' -)- TT, 2Œ.'H-2n-, 2ffl' -f- on,.... ont la même tangenic, et, par suite, les valeurs
satisfont à l'équation R = 0; mais elles ne donnent que quatre directions opposées formant un seul système d'ases rectangulaires. Dans l'ellipse et l'hyperbole, on ne peut pas avoir en même temps, B = 0, A= C; ilonc, il existe toujours un système d'axes rectangulaires et un seul pour lequel l'équation d'une conique à centre est de la forme (5) H,' + Si' = ll,
— '193 - Dans le cercle, ces enndilîons étant satisfaites, tang 2y a une viilciir indéterminée : cette courlie conserve la même forme d'éqnatinn jjour tons les axes rectangulaires dont l'origine est au centre.
159. Il reste à indîqner le calcul des coefficients M et N de l'éqnntion {5). Afin de l'effeetuer plus facilement, nous allons montrer que les quantités A -i- C et AC — B' conservent les mêmes valeurs poiii- tous les systèmes d'axes rectangulaires. Si on ajoute membre à membre les éqtialions qui définissent les coefficients M ci N, on trouve
ce qui démontre la première partie de la proposition.
La soustraction des mêmes équations donne
(|3) M — N = (A — C) cos 2? - 2B sin â-p ;
de phis, on a aussi
(y) 2R = (A — C) sin 2o -^- 2B cos Sy.
Élevons au carré les relations (a), (|3), (y) et rclraneboos ensuite de la
première les deux autres; il viendra
4(MK — a^) = 4(AC — lî-');
c'est la relation qu'il fallait établir.
En vertu de celle propriété, les équations qui déterminent M et IV seront
M + IV = A + C, MX = AC — B%
en remarquant que R = 0, pour le système d'axes particuiiers qui cor-
2IÎ respotid à lang i^^- — -Il sultit donc, pour trouver ces cociricicnts,
de résoudre l'équation
js— (A -4- C) s; -+- AC — B= = 0.
160. Il est visible, d'après la forme de l'équation (5), que les axes des coordonnées sont deux diamètres conjugués, et, par conséquent, ils coïncident en direction avec les axes de la courbe. Le binôme caractéristique B^ — AC se réduit à — i\IN; l'équation (o) représentera donc une ellipse ou une hyperbole suivant que les coelficients M el ÎV sont de même signe ou de signe différent.
Supposons M, N et 11 positifs ; on a l'équation
yGoosle
rc, N = -, M^-. En Sdbstiiiiant e
c'est l'é(|uiilioii (le l'ellipse rapporfde à son centre et it ses nxcs; a et A sont les longueurs des tlcmi-nxes de la courbe.
Si M est négatif, N et 11 posilirs, l'équation (3) peut s'écrire fiz^ — 'S\f -=\\.
lîn posant « = 4 /- ! 6 = \/ — , il viciU N = — > M=--;et, y iN y M «-6*
ponr i'é([iinlion {le l'hyperltole rapportée ù son eenirc et ii ses axes ; a et t sont les longueurs des deint-axes. Il fatit remanjucr que t'Iiyperbolc ne pcnconire pas l'axe des y\ car, pour j; ^ 0, »/ =-- ± fi ^Z — 1 ; il y a toujours un des deux as.es qui est imaginaire.
>GI. Supposons que les axes auxquels est rapportée la conique de l'équation
Sf- -t- mxxj + Cx* = H
soient oblieiues, et fassent entre eux un angle G, Avant d'appliquer la réduction précédente, on doit rendre les axes rectangulaires. Pour plus de facilité, conservons le même axe des x, et prenons, pour axe des y, une droite qui lui est perpendiculaire. Oans ee cas, les formules de transformation sont
sine
yGoosle
.\|ii'ùs la substitution, ri;i|uaiio[i di; la uoliîijuc duvicdt A'ij'^ -\- 'iW'x'ij' -r- C'j;'- = II,
, A— 21lp,osQ + (:c
Cornmf les quiinlités A' + C et A'C — U'^ sont coiistoatcs piiiir ixes rcctnngulaires, les expcessîons
A H- C--2B(;ose AC — li'
31'vcnl les mêmes valeurs pour tous les axes obliques, s équaiions qui détei'iiiincnt M et N seront
162. Consideroiis, iniiiutenant, le cas où l'équalion générnle du second degré
Af ■+- i>Bx)/ -H Cx^ ■+■ 2Dj/ -H 2K3; -I- F = représenle une parabole. Dans celte hypothèse, B^ — AC = 0, et les trois pi'cmîecs termes forment un carré parfait; réqnation de la courbe peut s'écrire, en posant n = [/Â^ m = ]/C,
{mx M- Hy)' + 21)!/ -f- 2Ej: -+- F =^ 0.
Prenons pour axe desx la droite mr -t- ni/ = 0, et, pour nxedcs y, une perpendiculaire à cette droite ayant pour équation 3ix — my = 0. Si les axes primilifs sont rectangulaires, et si a représente l'angle du nouvel axe des X axec l'ancien, on a
En posant ■. /^ = m^ -4- n^, les formules de transformation (N" 8) seront
La siibslitulioii de ces viilcurs conduit à une ùqualion de la forme
aij'^ H- 26y' + 2«' -f- f = 0, dans Inriuelle
u = l^, 6 = Dn + Em, c = E» — Dm, f= IV.
Transpoctoiis les a\es parallèlement à eux-mêmes an point {x,, yi) et posons : x' = a;" -+- aii, y' = j" + ^i ; l'equalioii précédente devient ai/"^ H- 2(af/i + 6)î/" -i- ^cx" -t- ayi^ + 26^1 ■+■ ^cxi -h r-=(). On pcnt disposer de xi et de »/,, de manière à satisfaire aux relations ay, -h b — 0, ay,^ -f %yi ■+■ ^cx, h- f = 0; on en tire
b h'-af
Pour cette oi'iginc et pour ce système d'axes, l'équation de la parabole esi de la forme
y''^'-2px,
où p=^ — î c'est-à-dire, en fonction des cocflieienls de l'équation
générale,
D/H — E?t Dj/C — E/A
Quand les axes primitifs sont obliques, la droite ma; ■+ hi/ = étant le nouvel axe des x, on a
lang «
wsin G
n.-—m cos 9
et /* = m^ -H «^ — ■ 2m« eos 9. Si on substitue ces expressions dans les formules de transformation (N° 8) pour passer d'un système d'axes obliques à un système d'axes rectangulaires :'sin(6-^)-)/cos(B^«)
sinl
on trouve
nx' sin E
(m-Hc
:os0)y'
(sinO
Cl, [K
u- su
ii(!, l'i'qi
iintio
n (!e b cm
irbu iioiir
les nniivea
ii>. nxc:
ly. ^.
2sin
n cos e;
2sii
