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TîemaîqKe. De l'éfiiiation de la paraliole

{mx -+- ni/)2 4- 2Di/ + 2Ea: + F = 0,

(mx -+ nyf 2U)/ -4- 2Ex + !■■ "

e'est-ii-dirc que le carré de la pcppendieiilaire, abaissée d'an point M (x, j) de la courbe sur la droite ma: -i- ny <= 0, est dans un rapport constant avec la perpendiculaire abaissée du même poini sur la droite 2D(; -t- âlia: -t- F = 0. Or, si on prend ces droites pour axes, les perpendiculaires sont proportionnelles aux coordonnés x', y' du point correspondant relativement aux axes nouveaux, et, par suite, l'équation de la

parabole sera de la forme -7 ^= 21 ou y'^=''i.lx', l étant une constante.

!! en résulte que le nouvel axe des x ou la droite mx + jit/ = est un diamètre; car, pour une valeur donnée à x', on a deux valeurs égaies et de signes contraires pour y'. De plus, la droite 2Di/ -1- 2Ea; -t- F = 0, qui est l'axe des y', est tangente h la courbe à l'extrémité du diamètre : car, pour trouver les points de rencontre de la droite avec la parabole, il faut résoudre les équations

mx ->- ny = 0, 2D;/ + 2Er + F =

qui ne donnent qu'un seul système de valeurs pour x ely ; de sorte que la droite représentée parla seconde équation rencontre la courbe en deux points qui coïncident. Ainsi la parabole, rapportée à un diamètre et à la tangente à l'extrémité de ee diamètre, est toujours représentée par une équation de la forme i/' ^ 2/»x.

Iteinarijue 2. En désisnûnl pnr /; iiii coeiTicient iiidéfcrmint', rûqiinlion de I.i parabolp peut s'écrire

[mx -H n>j -h ky -«- 2(D — nk) y -p 2(E — mit) x -^ V — le = ').

Ln .iroite ma,- -+- mj -+-/; = est an diii mètre, et In droite 2{D — uk)ii -k- 2(E — mk) ic •+• F — /f' = est la tangente à l'extréinitc de ce di.imctrc. Lorsque ces droites sont perjiendiculaircs, on Ji la relation

m (E — mk) -i- h fD — «/) = 0, (l'on /.■ ■-= ^'\~^ '" " ■

II en résiille que l'equaliori de ra\e d'une parabole, rein-cscnfi'e p.'ir (iiix -1- nyf -(- 2D^ -t- 2Ex + F = 0, sera de la forme

nn -4- V.m mx -+- n<j H ^ ^= 0.

Si les axes primitiTs éiaienl obliques, on aurail, pour l.i coiidilion de pprprndietihirilë,

m (E -- mk) + n{\) — nk) — [;» {D — nk] -t- h (E — m!;)] cos Q = ; par suite, l'ôqualion de l'axe sera

T>n -+- Em — (Dm -*~ En) cosi S „ ■'' ,„2 ^ „s 2,„„ cos

Applications diveraes des tliéories générales.

J!.\. f . Trouver l'équation d'unu conique passant pur Ips poiuls |0, 0), ;l, — 2), (n, - 1), fit inngenlc aus droites y — 2j! = 0, j/ — x + 1 = 0. R. î,'5a:ï — 6*î -«-!/- 2a! = 0.

Kï. a. Trouver les asymplotps de la couibc rcpréspiilec par l'équation

R. i[j:-y)-<rÔ = 0, i(!r + 5!/)-.-13 = 0.

lis, 3, Clierelier U condition pour que la clrnile nx + r'j+- I =0 loucJio la coniipie

R. (D» - AFlti'-t- 2(BF — DE) -;« -t- lE» - CFly* -i- 2(At: — RO) u + a((;D— l!E)u-i-l!'- AC = 0.

Ex. J. Cherelier V.i conilition piiur que l'ine des x joil langent l'i l'origine à la conique f{:>-,!/) = 0.