CHAPITRE Vin
COURBES DU SECOND ORDRE (suite).
Propriétés principales de l'allipse, de l'hyperbole et de la parabole.
SoKMAms. — Ellipse rapportée à ses aaxs. Foyers, dirtctrices. Description de la courbe. Tangente, normale, diamètres el cordes sapptémentaires. — Hyperbole. Propriété» analogues à celles de l'ellipse. Hyperbole rapportée à ses asymptotes. — Parabole. Construction el théorèmes divers sur celle courbe.
§ i, DE l'ellipse.
183. Quand on rapporte rellipse à deux diamètres conjuguas, elle est définie analytique ment par une équalion de la forme
M»;^ -^- Nsc' = H, où les coefficients M et N sont de mÉme signe. On peut toujours faire en sorte que M et rî soient positifs dans le pi-emier membre en changeant les signes, si c'est nécessaire. L'équation précédente ne pourra donner lien qu'à trois cas distincts savoir :
M)/' ■+■ Ka:^ == H, M/ ^. Na:^ = — II, %= -+• Na:' = 0. Dans le second cas, il n'est pas possible de satisfaire à l'équation par des valeurs réelles de xeticy, et l'ellipse est imaginaire; dans le troisiènn;, l'ëquation ne peut être vérifiée que par les coordonnées de l'origine; i; = 0, j/ = û; l'ellipse se réduit à son centre; il ne reste donc qu'à considérer le premier cas qui correspond k une courbe rocllc.
C'osi Cl; iiuc nous allons l'iiire, Jatis ce [larographe, en Uéveloppajit l'idtii; que i'équnlion exprime, afin d'airivci' l\ une notion exacte de in eourbe et de ses propridtés.
Supposons les axes reclitugulatrcs, et |>os<his :
Wl
La longueur AA' = 2a (fig. CI), iutcfeeptéc pai' In uoui-be sur l'axe des X, s'appelle Vaxe majeur ou le (jrand axe, et la longueur lîl!' =^ 26, interceptée sur l'axe dos j/, Yaxe mineur ou le petil axe de l'i^Ilipse. Les points A, A', B, U' sont lus sommets de la courbe.
En cliassnnt les déiiouiinDteiirs, réqontinn (1} devient (2) «•,,■* !,■.;■ «'(,';
en In résolvant par rapport ;i y. Comme l'équation (2) ne renferme que
lus carrés de r' cC de i/^, In courbe est symélrique par rapport aux axos
des eooritonniies ; car a chaque valeur attribuée .'t l'une des variables, elle
donnera deux valeurs égales el de i
signes eonlraircs pour l'anlre. En
verui de l'équalion (â), l'ordonnée
y est l'éellc pour toutes les valeurs
de a: comprises entre — a et + a ;
elle est nulle pour a; = ± n, ef
elle preud sn valeur maximum &,
quand x = 0.
Afin de déicrmiiier comment varie le rayon OM, quand le point '"°- "'
M iléeril la courbe, prenons pour pôle le centre de l'cilipsc, et pour axe polaire le grand axe : l'équation de la eourbe en coordonnées polaires
<*' P' - a. ,i„.» + i' cos'» ~ «■ - (.. - 6-, »,.„ •
La viileur maximum de p correspond au minimum du dénominiitcur, c'est-à-dire à coaoï^i, on m = 0; dans ce cas, on n p = ±a. Lorsque » ougmenle de a 90", le rayon diminue jusqu'à sa valeur minimum 6 qui répond à 6)^90°. Les sommels A cl A' sont les points de la courbe les plus éloignes du centre, tandis qne Jî cl B' sont les points les plus rapproches. la courbe doit donc nécessairement affecter la forme indiquée dans la
Il est bon de remarquer que la valeur de p ne change pas, si on remplace (<> par 180" — <i>; les diamètres également inclinés sur les a:ïes sont égaux. Si on décrit du centre de l'ellipse un cercle avec un rayon plus petit que a, les axes seront les bissectiices des angles adjacents des diamètres qui passent par les points d'intersection de l'ellipse et du cercle.
Si on voulait obtenir l'équation de l'ellipse rapportée il l'un de ses sommets, par exemple A', il suffirait de changer a; en x — a dans l'équation (i), et il viendrait sinsî ;
En résolvant cette équation par rapport à j/',
La quantité 2^ s'appelle le paramètre de l'ellipse; on voit que, pour cette courbe, le carré y^ est inférieur au rectangle construit sur le paramètre et la longueur ar: de Ik dérive son nom c//ipse (IXAelirtiv). Nous verrons plus tiird que, dans l'Lypei'bole, î/^ est plus grand que 2/)!, et que, dans la parabole, i/" est égal à 2px : de là les noms hyperbole {ùvsfi^dWÉiv) et parabole (Tra.pa.^dX>^iv).
Après avoir dédtiii la forme de la courbe de son équation, nous allons démontrer quelques propriétés qui en donnent une conslruclion géométrique.
ISJi, Les ordonnées perpendiculaires av firand axe, dans l'ellipse el le
cercle décrit sur cet axe comme dkanèlre, sont dons le rapport constant du petit axe au çfraad axe.
En effet, rortloniiéc y (3c l'cllipsu, poiii' une .lij'it'iï^BC ,t = Xi, il pour expression
tandis i^ue I.1 vaîeiir tic l'oriionnée Y diins le ecrcle de rayon « pour Jn incmc fibeiïisc esi
qni exprime la propriété énoncée.
On prouverait iiiissi facilement que les abscisses perpendiculaires au petit axe, dans l'ellipse et le cercle décrit sur eet axe, sont entre elles dans le rapport du grand axe au petit axe,
1 85, Quand une longueur constante RS glisse sur deux axes rectangulaires, un point M de la droite, situé aux distances a et h des extrémités, décrit une ellipse ayant pour axes 2«, 26.
Soit RS une position de la droite mobile ; menons les coordonnées dn point M et appelons « l'angle MHO. On a, en posant MS = a, MR = h, a; = OP =. MQ = « cos «, )/ = MP = fi sin ^
En élevant an carré et e pour l'équation du lieu
ce qui démontre le théorème.
I) est facile de vérifier que le point M jouit de la n se trouve sur le prolongement de la droite mobile. Soit S'R' uni
longueur constaiile qui glisse sur k'3 deux iixes rectangulaires, et M un point tel que MS' = a. Mit' = b; on a encore
a; = OP = S'Q' = a ces (3, »/ = MP = b sin j3, [3 ctimt l'angle d'inclinaison do la droite sur l'axe des x. On en tire
Ainsi, dans les duux cas, le point M décrit une clli|)sc qui a pour demiaxes ses distances aux extrémités de la droite mobile.
186. Deux droites, issues de.s extrémités du, grand axe et se coupant sur l'ellipse, délerminent sur la direction du petit axe, à partir de l'origine, deux segments dont le produit est constant et égal à li^.
L'équation de i'eilipse peut s'éci'îre
Soit 1 un coefficient indéterminé; les droites représentées par les équations
se rencontrent sur I'eilipse; car, en multipliant njemlirc à membre, on retrouve l'équation de cette courbe ; de plus, quel que soit 1, la première passe par le point (o, 0), et la seconde par l'autre extrémité du grand axe (— a, 0). Or, si on pose x = 0, il vient (/îg. 61).
y = Oi\ = h).. V = ON' =-t;
par suife, ON- OiV' = 6^
On verrait de même que l'ellipse est le lieu du point d'întersoclion des droites
issues des extrémités du petit axe, et qui dét grand ^ixe dont le produit est éjçal ■■< u-.
FOYERS ET DIUECTRICP.S.
183. Deux points F et F', situés sur te grand axe d'une ellipse à une distance du centre c == ± y a* — ô^, jouissent de cette propriété que la somme des dislances de chucun d'eux à un même point de ta courbe est constante et égale au grand axe.
Considérons une ellipse ayani pour axes 2a, 26, et repriîsennSe par
Soit M un point de la eoiii'bc; menons les j'avoiis FM et F'M ainsi rnie l'ordonné MP, On a
au moyen de la relation c' = «^ — b', on trouve
FM'=a« — ^cx ^ et par suite,
(b) FM = «--'-^.
Comme le rapport- est plus petit
que l'unité, et que l'alicisse a: du point M
différence a est positive. On néglige
qui ne peut être d'aucune milité.
Dans la figure, on a aussi
ef = «^ -+- 2ca- -i —;
En ajoutant les rclalions (H) et (6), on obtient FM -t. F'M = 2«.
Lfs deux points rem arq un Lies F et F' s'appellent fiiijers de l'ellipse ; les distances FM cl F'M sont les rayons vecteurs du point M. Les équations (5) cl (6) nous montrent que les distances des foyers h un point de l'ellipse s'expriment par une fonction raiiounelle de l'abcisse de ce point.
Si a; = 0, on a, pour les rayons vecteurs, FM = F'itf = a ; mais alors le point M coïncide avec le point lî, et, par suite, les rayons vecteurs qui aboutissent à l'eslrémité du petit axe sont égaus et ont pour longueur la moitié du grand axe. Il suffit donc, pour diSlermiiier les foyers, lorsqu'on connaît les axes, de décrire du point B comme centre avec un rayon égal à a une circonférence; celle-ci rencontrera le grand axe en deux points qui seront les foyers de l'ellipse.
La quantité-ou^- s'appelle excentricité de rellipse : on la
désigne par e. Une ellipse est d'autant plus arrondie et plus semblable h un cercle, que la valeur de e est plus rapprocliée de zéro; dans le cercle f(. =; b et, par suite, e ^ 0.
1§S. A cha(ftii: fo'ja- de l'dlipsi: correspond mm droite telle, que le rapport des dislunces d'un point di: la courbe an foyer et à celle droite est constant et égal à e.
En effet, portons sur i'ase 2« les longueurs OD = OD' i^ — , et élevons
les perpendiculaires DL, D'L'. Après avoir mené par le point M une parallèle à l'axe des x, on aura
MH-=P1> = ^-'^ x;
En divisant, on trouve
