MF
On verrait de même que ,rfîT7= '
Les droites DL et D'L' se nomment les directrices ilc l'ellipse. La distance OD =— étant plus grande que u, les directrices sont cstci'ieiti-cs
à Ja courbe. Poui' les construire, on prend sur l'iixe '■2b uni: longueur OE = a, on mène EF' et, par le point E, on élève une perpendieulaire à celle droilc : elle rencontrera le grand axe en un (loînt D qui sera le pied de la directrice correspondante au foyer l', car le triangle rectangle F'ED donne
ÔË^ = OF' . on ; d'où OD =^ - Dans le cercle, c =i 0, et les direclriecs sont aitnces à rinfiiii.
t89. Trouoer l'équation en coordonnées polaires de l'ellipse, le pôle étant un des foijeys de la courbe.
Soit F le p6le (ftg. C3) ; l'axe polaire élanl dirigé suivant l'axe majeur, on a, pour un point quelconque M (p, at) de l'ellipse,
Mais, a;=fl'+- peos w; il vient, en substituant et eu résolvant l'éiiualion par rapport à p.
ÎCOSt
En
vertu de 1
[a rclalion^
fj^
on peut encore écrire
Exercices.
Ex.
• .Détormiii.
^rl'excentridt,
i, les foy«t
■s cl lui
idii
«Irioi
s des
ellipses ;
(1) 2x^-\-ôy'
at'
il)«-V^3;
les directrices soi
lt:ffi
K. (2) (s=;2, 6=(/2, «:= — ; on a ensuite pour les directrices : œ iip 2 1/2^^= 0.
Es. ». E.iiste-1-il dans li: plan un autre point <|uc les foyers F ot F', tel tjue su djstaiiee
à un point de la courbe est cxpriinûe par une fonction rationnelle i)c l'abcisse de ce point?
Soie H (:t', ^'1 un point tlu plan, et 31 {x, y) un point do l'ellipse représentée pnr
Wf = (^- X',' + {y - !/')* ^ a)' -t- ar'» - 2xx' ^ y= -+- y'' - a-/;/', eL, en remplaçant i/ par sa valeur tiieede l'ctiuotioii do l'cllipsn,
Pour que le soconJ nierabpc soit rationnel, il faut que le radical disparaisse, cl, pur suite, ï'^^O ; ce qui montre que, si le point [' existe, il est situé iur le grand axe ; de plus, ii faut déterminer x' de manière ù ce que l'expression
On en tire lc' = \/a' — b' ; ainsi le point P doit coïncider avec l'un des foyers, Ex. 3. Trouver le lieu des points dont le ra]iporl des distances à un poini et à une Uroilofixesoitconstautetégalà e,e étant plus petit que l'unité.
Abaissons du point (îse F une perpendiculaire sur In droite, et prenons cette perpendiculaire pour axe des x. Soit s l'abcisse <iu point F, la droite dounée étant l'axe des ^;
celte équation représente une ellipse si eest plus petit que l'unilé.
Ex. 4. L'ellipse est le lieu des points àé^ale dislance d'un foyer F et du cercle décrit de l'autre foyt^i' F' avec un rayon égal à '2a.
En eJTet, si on mène un raj'on quelconque du cercle, lu paj'liu comprise cnlie les deus courbes est ce qu'il faut ajonter au rayon vecteur dons l'ellipse pour obtenir 2«, e'esl-àdire le second rayon vecteur.
Ex. 3. Que représente l'équation
u étant un paramètre variable ctt unecqitslnnte? Des ellipses qui ont les mêmes foyers ; on les appelle ellipses /loinofociilis. Ex. O. Que délinissent les équations
(a; - ly -H (y - ,„)' = e^ [a: eos « -t- ;, si» b -- r/]', ïs + y" = e' (x eus « -1- y sin , - ,)^ ?
Kx. 9. Lu paramétre 2ji de rdlipsc l'epi'i^sente iii longueui' lie la corde jiei'peiidiculaiL'e au grand axe et passant par le fayer.
En effet, quand o. = 5 dans l'équation p = ■ , on a p = ;i.
Ex. S. Si on mène une eorde quelconque MM' par le foyer, la somme des riîcipi'oques des raïons vecteurs FJI et FM' est conslaule.
I^F,SCIill'T/0^' J)E L KUIl'SE AU MOYEN DES AMiS.
190. i"" cottstruction. Soient 2a et 26 les axes donnés. La cii conférence ddcrîie de l'extrémité du petit axe avec un rayon a, détermine sur l'axe majeur les foyers P et F', Cela étant, on traee deux clrconfeienccs ayant pour centres les points F ei F' et dont les rayons sont clioitis de manière à ce que leur somme soit égale au grand axe ; en vertn du N" 187, leurs points d'intersection appartiennent à l'ellipse qui a pour axes 2«, 26.
Quand on veut tracer une ellipse sur un terrain ou sur une feuille de carton, on fixe aux foyers les extrémités d'un lil d'une longuenrégaleàâd.Outraeoensuile l'ellipse d'un mouvement continu au moyen d'un style qu'on fait mouvoir en tenant le fil constamment tendu; car, dans cliaque position, la somme des rayons vecteurs est toujours égale à la longueur du fil, c'est-à-dire au grand axe.
2° comtrtiction. Après avoir décrit deux '-•'s- si.
circonférences sur les axes 26 et 2a pris comme diamètres, on mène par le centre une droite quelconque qui les rencontre respectivement en N et M. On abaisse ensuite sur le grand axe la perpendiculaire MP, et, paile point N, on mène une parallèle NS à l'axe 2a; le point d'inlerseclion m de ces droites appartient à Tcllipse : car on a, par les Irjnngles semblables, mP NO 6 iMP~MO "«■
3" constriiclioii. On lire {/iy. 61), par une exirémité du l'nxe majeur,
une droite quelconque qui rencontre le petit axe ou son prolongement en un point N; on mène ejisuite, par l'iiotre estrémilé, line seconde droite qui détermine sur le petit ase un segment ON' tel que l'on ait : ON- ON' = 6'; d'après le N" 186, ces droites se coupent en un point de rellipsc.
4" construction. D'un point S {fig. C2), pris sur l'un des axes, par exemple sur l'axe 26, on décrit une circonférence avec un rayon SR = a -+- 6 ; on prend SM =^ a : Je point M appartient à l'ellipse.
On pourrait aussi, en verlii du même tlicorènie, décrire d'un point S' pris sur l'axe 26 une circonférence avec un rayon égala n — h, et prendre sur S'R' une longueur SM = a; le point ainsi construit appûrticnt à l'ellipse.
Le compas eUiplii)tte qui sert à tracer l'ellipse d'un mouvement continu est basé sur la même propriété. Les deux pointes placées en S' et R' glissent dans des rainures rectangulaires tracées sur une plaque de bois; pendant ce mouvement, le crayon fixé en M décrit la courbe.
