I.M équatii
£s. «. Dell
ennincr le point d'inlersectk
Ex. a. Quelle esl la coiiûilion pour que la dpoile y = îitc + h siilt laiigeiite l'ellipse
Par la combluaison Ac.s dcm équations, on trouve
de sorte i[un l'équation
y = mx ± ^Z'^,'^^' représente toutes les tangentes à l'ellipse.
Ex. 4. Trouver le lieu du sommet d'un angle droit circonscrit à l'elljpse.
Soit P [x',i/'} le sommet de l'angle; les valeurs de m pour les laiigcnlcs à l'ellipse issues de ec point sont données pur l'équalion
En esprimant que le produit des racines est égal i — 1, on irnovi-, pour le lieu demandé, en supprimant les accents,
e'est un cercle cireonserît au rectangle des axes. Ex s. Déterminer le pûle d'une droite mx-f-ny -+- ;î =; 0, par rapport à l'tllipse
■s équations
m^- + «y + JJ = et ^-t~"S ~\ ^ 0.
Es. «. Lieu dos pôles d'uiîe droite lise - H I — Opar rapport aux ellipses li<
focales^ -^-—^ — j — 1.
On a, pour le pâle {x', y'} de la djoilc,
Tj'éliinïnulinn de a' conduit à l'équation qui représente une droite perpendiculaire à la driute donnée.
194. Trouuttr l'ej-pre/ysion delà perppnili.rrihiire ahainiéii ihi centre la Uiiifjpnlc.
Lii [icrpeniliRtiiaire nhaissée du centre sur la (iroilo xx' yv' , a* b^ csl donnfic par la focmiilc (N" 41)
On peut transforme L' celle expression. Désignons pav a cl [3 les angles de lii normale ou de la perpcndicnlairc P avec les axes; l'éqnaiion de la tangente peut s'écrire sous la forme
a: cos « 4- 1/ ces (3 — P = 0, En identifiant les deux équations, il viendra ies égalités
cos a x' cos p y'
■~p~~^' 'V^'~l?' d'où on lire
.'eos^^ &^cus'g .^- y^ pï ps „a ,,^
Cl, par conséquent,
P^ = «* cos^ ce -i- b^ cns^ [3.
Puisque les axes sont rectangulaires, cos (i =^ sin a, et en peut encore écrire
(10) P'=-a^cos^a-+-6^sin^«.
195. le rectangle des perpendiculaires abaissées des foyers sur une tangente est constant et égal au carré de la moitié dit petit axe. Les perpendiculaires abaissées des points (c, II) et ( — c, 0) sur la droite
On en déduit, en miiltipliiint membre à membre, pp' = P' — c^ cos^ ce = o" cos' « -H è^ sin* a — («' — 6^) cos'' a, ou
Es, ». Le reelangle des perpendiculaires nijaîssoes des fnyers sur lu pcilairc d'u» poiiil (ff'i y') est constant et égal à È°.
Même calcul que pour la tangente (N" 19a).
Eï. «. Trouver le lieu du point d'intersection de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente avec le rayon vecteur du point île contact.
Il faut éliminer œ' et y' entre les équations
On trouve, pour résultat, l'Équation
qui représente un cerele.
Ex. a. Trouver le lieu du point d'iulcrscction de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la tangente avec le rayon qui va du centre du point de contact.
Ce problème revient à éliminer a:' et y' entre les équations
Le rosultal final est !C = - : le lieu ciierelié est la directrice.
106. La normale, en un point de l'ellipse divise en deux parités égales l'angle des rayons vecteurs .
Soit MN {fig. CS) la normale el FM, F'M les rayons vecteurs d'un point (x', y') ; la normale sera la bissectrice de l'angle FMV, si on a la proportion
NF aiF
NF' ~ MF' "
Mais on snit que
FM = « — , F'M = o -1- — ; par suite,
-I- ex'
KF = Ol'' — OX = c
Ea coiTiparanl {ce) et ([3), on voit qu'il y a égalîtû lirili'o les premiers membi'es el, par suite, ia normale est bissectrice de l'angle ilcs ravons vecteurs.
Corollaire. La C.ingeiitc est bisscctciec (!e l'angle supplcmenlaii-e FMIT : car les angles TMF etTMII ou UMF' sont des eompli^nicnls dedcns angles .îgaux.
19T. Le Heu des projections d'un foyer sur les tangentes à l'ellipse est la circonférence décrite sur le grand axe.
Prolongeons le rayon vecteur F'3I {fig. 63) d'une longueur MH =MF. Dans le triangle isocèle FMH, !a tangente, qui divise en denx parties égales l'angle au sommet, esi perpendiculaire à la base FH et passe par le milieu I de cette droite : le point I sera la projection dn foyer sur la tangente. Mais, dans le triangle FHF', les points et I sont les milieux des cotées FF' et FH ; la droite 01 est donc parallèle .^ FH et vaut la moitié de ce câlc. On a done
