F'M -H FM

La tangente MT étant quelconque, rcncc de i-avon a.

; tniiggiilcs ixsiK

d'un point P soni égulement inclinées niir I tes droites qui joigaonl ce point atix foyers.

în prolonge les rayons vcclcurs F'M

M respectivement des longueurs

= MF, M'K^BI'F', on sait que les

I tangentes en M et M' sont perpcndieu-

; h. FH et F'K Mais les triangles

Hs- M. KPF, IIPF' sont égaux : car PH = PF,

PF'=PK.et F'H = Fiv = 2rt. On en dédnit l'égalité des angles IIPF'

et KPFjen retrancliant de chnenn d'eux la pai'iio commune FPF', il vient:

FPH = F'PR, ou, en divisant les deux membres par 2, FPM = F'PM' :

ce qui démontre le ihéorème.

Corollaire. De l'égalité des (riangles FPK et HPF', on lire : angie KFP = angle PHF'; mais, comme les angles PUF' et PFM sont égaux, on a angle KFP = angle PFM. Ainsi, la droite qui joint un foyer au 'point de concours de deux tangentes esl bissectrice de Vangle des rayons vecteurs qui joignent ce foyer aux points de contact.

Dans le cas particulier où le point P est sur la directrice, la corde des contacts passe par le foyer qui est le pôle de la direciricc ; l'angle des rayons vecteurs est égal à 180° : donc, la ligne qui joint te foyer au pâle d'une droite passant par ce point est perpendiculaire à celte droite.

19», Construction de la tangente. Pour trouver la direction de la tangente à l'ellipse en un point M de cette courbe, on mène d'abord les rayons vecteurs de ee point [fig. 65); on prolonge l'un d'eux, par exemple F'M, d'une longueur MH = MF ; la perpendiculaire abaissée du point AI sur la droite HF sera la tangente demandée.

Lorsqu'il s'agit de construire la tangente à l'ellipse menée par un point extérieur S, il faut décrire de ce point comme centre une circonférence avec un rayon égal à SF; puis du foyer F' comme centre, on trace une autre circonférence avec un rayon égal à 2«, qui rencontrera la première en deux points dont l'un sera le point H de la figure ; on joint FH et on abaisse du point S une perpendiculaire sur cette droite : ce sera une tangente à l'ellipse issue du point S. Si on désigne par II' le second point d'intersection des circonférences, l'autre tangente sera la perpendiculaire abaissée du point S sur FH'.

Ces consiructions découlent des propriétés de la tangente à l'ellipse démontrées précédemment

aOO. Nous avons trouvé (N" 1 SO), pour l'équa conjugué à une corde de coelTioient angulaire «

- 1, elle devient

Déaigiianspariii' lu coeflicioiU i\iii,'uljiire du ilijiiiiùlre DD' rjui cliïif tieiixp.irtîes égales les cordes )iiir,illclesîi HM'; on uiira, d",nj)vès l'cquj préccdcnle.

Le diamètre conjugué de DD' esl la droite EE' niendc par le centre

parallèlement h In corde MM'. La relation (12) exprime que le produit

I des cocfUciciits angulaires de deux

I diamètres conjugués de l'ellipse est

constant el négalif : l'un fuit un angle

aigu avec l'axe 2«, l'antre un angle

I obtus; ils ne sont donc jamais situés

j d'un même c6ié du petit axe. Si

= - j on a : wi = ; les dia-

^■s- SI- nièti'es conjuniiés (|ui correspondent

à ees valeurs sont également inclines sur l'axe 2a; ils rormenl un système de deux diamètres conjugués égaux.

Soient, x' , y' les coordonnées du point D; les cordes parallèles à DD'

ont pour coeUlicient anguiair pondant EE' sera de la formi

Il du diamètre c

ce diajuètri! est donc parai conjugué de ce diamètre.

En désignant par a:", j tion

CCS du point E, on a

± Ji^ /a' b' "!> '

d'où

(15) -"-±=f. »"-=fT-

Ces l'ormulcs pcrmelleiit de cilciilei' Jes coordonnées de l'exlccaiili' d'un diamètre, connaissant les coordonnées de i'extréniili; ihi conjni;iré de ce (linmètre.

^01 . La nomme des carrés de deux diamètres conjuguén est cmistanie et égale à la somme des carrés des axes.

Soient a' et !>' les demi-difunètres conjugués 01> otOlî; on ;i

c'esl-îi-dire

aoa. L'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres coiijiig es est co istanle et égale au rectangle des axes.

Me o is les titngcnles en D et en £ à l'ellipse pour formel* le pflrollélog n me ODIE construit sur les demi-diamètres. On iiura, en abaissant du ce G perpendiculaire sur DI,

aire ODIE = ID ■ OP = «7/ sin tp, (pelant l'angle des diamètres conjugué:^, ciir DI=UE;=//,oiOi'^ii'siii q.. Mais on a aussi

1 ab al,

Eq v(!rUi des deiK uspressions de OP, on « la rclntion ab = «'(*' siii <p, qui démodirc h; lliéorènie oiioncc.

203. Ellipse rapportée d deux diamètres conjvgués. Lorsque les axes des coordonnées sont deux diamèlres conjugués, l'cqualioii de l'ellipse est de li» fornio

M//^ + Nx^ = H.

cil introduisant les ([unntiliïs a' et 6' eîans l'cquaiion précédente, il viendra

1)0111' l'équation (!e l'ellipse rapportée à deux diamclres conjugnés, 2n' et 26' étant les longueurs de ces diamèlrcs. Coinnie il y a une inlinité de diamèlres conjugués, il y a une infinité d'axes coordonnés obliques pour lesquels l'ellipse a une équalion de la forme (IS).

Il est évident qu'avec ces nouveaux axes, la tangente, le dianièire conjugué à une direction donnée auront des équations analogues à celles que nous avons trouvées pour l'ellipse rapportée à ses axes; m et m' élaol les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués, on aura iuissï la

''" relation : mm = •

904. Les droites menées par tes extrémités d'an diamètre et se coupaiu sur l'ellipse sont parallèles d deux diamètres conjugués de (u cowbc-.

En effet, on peut regarder l'ellipse comme le lieu du poini d'intersection des droites représentées par les équations

où ). est un paramétre arbitraire ; car, en niitilipliant membre à membre, on reproduit l'équation de l'ellipse. Ces droites (fiy. 67) passent par les

n^U'iimilés thi tli^iraèli'c 2a' dont les cooftloniiûes sntisf'oni, niix éqiiaiions. M(\is, si on désigne ]tnr a et u.' leurs ooeflieicnls angulnires, on a

(le sorte que deux dinmètres parallèles à ces droites forment un système de diamètres conjugu<is de l'ellipse.

On donne le nom de cordes supplémentaires aux droiîes que nous venons de eonsidërer.

205. Déterminer les limites entre lesquelles varie l'angle de Jeux diamètres conjugués et construire deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné.

Supposons que l'on mène, par les extrémités dn grand axe, les cordes supplémentaires représcniées par les équations

ces droites ou celui des diamètres conjugués parallèles ^â~).u ab ( ^ \\

et, par suite,

2ah'

Soit tp r.ingle de ces droites ou celui di lus cordes. On n

Lorsque y varie depuis jusqu'à -t- 6, la valeur absolue du second membre diminue et l'angle obtus ip angmenle; il acquiert sa valeur maximum pour »/ =6; à celle limite, on a 2(1 b

et les diamètres correspondants sont parallèles aux contes sM|)|iléuionlaircs qui aboutissent à l'exlrémité du pclit axe.

La vnicar minimum de ro, qui répond à j; = 0, esl un iingle Jroil, c'csl-à-dîrc l'angle des axes.

Poiii" délerminep les diamèlrcs conjugués qui font entre eux un an^le donné compris enirc les limites ppécédentes, on mène par le centre nii diamètre queleonque, cl on décrit sur ce diamètre un segment capable de l'angle donné; la circonférence rencontrera l'ellipse en un eerlain point M : les diamètres parallèles aux cordes suppiéracnfoires qui aboutissent en ce point seront conjugués et feront enlpc eux l'angle donné. On Ipoiiverail, de même, la direction des axes en décrivant un demi cercle sur un diamètre quelconque ; les cordes supplémentaires relatives au point d'inlerseetion du cercle et de l'ellipse seront perpendiculaires et parallèles aux axes de la courbe.

906. Deux diamètres conjugués (Utenninent sur mus tangente fixe, d partir du point deeontaet, deux seumenls dont le rectangle est constant et égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente.

Prenons pour axe des y le diamètre 26' parallèle k une tangente de l'ellipse, et pour axe des x le diamètre conjugué 2o' qui passe par le point de eonlacl. 1,'équalion de la courbe sera

l'équation du diamètre qui passe parle point (x', »/') de l'ellipse; celle du diamètre qui lui est conjugué peut s'écrire sous la forme

i^ + ^ = 0, ou M = -^, X.

Cela étani, pour déterminer les segment,'' que ces diamètres déterminent sur la tangente, il faut poser x^=a' dans les équations préecdenlcs; on trouve ainsi les quantités

h valeur absolue du produit esl h'^.

<)Ui

807 . Le llicorènie préfioi)i;nt permeldc dctcrinnicp la liireclioii dus mnaîl deux dcmi-diamèlces conjiigiiiïs OD cl OE de li

On mène, par l'oxlrcmité D de l'on d'eux, une pi une tangente h l'ellipse. On prend en; sur OD, lin point M lel que 00 ■ DM = ( et on trace une cii'Ctinfcrcncc passant les points et M, et dont le centre se (n sur la tangente; celle-ci sera rencontrée la circonférence en deux points R et Q droites OR et OQ seront les directions axes de l'ellipse; c^r on a: OD -DM = DQ-DR et OQ Torment un sptèmc de diamètres conjugués pcrpi Pour calculer Ic^ longueurs des axes, il faut preuii

„h =- a'h' sin a, a^ ->-(.* = u'= + b'\

où a' et l)' sont les longueurs des demi -dîa mètres donnés.. On c (a -V- bf = a'* -+- 6'» -1- 2a'(.' sin tp {a — by = a'^ ■+■ b'^ — 2fl'/i' sin ç

= /a'^ + 6'' — 2 3onduisent facilem

%t'b- sin 9,

I, La moyoïiiie gdomiilpique des rsyoQS vecteurs d'un poiiu M {■>',' linniètre conjugue de celai qui passe par ce point.

Soit {x'\ y") les (oordonnéps de l'extrémité du diamitre conjugué de ccUii qui prisse par le point M, et th' \t\ longueur de ce diamètre. Ou tire, ile l'équation pi écédente,

FM-FM = x"> -t- y'" = 6'».

Ex, a. La somme des carrés des projections de deuï diamètres conjugués sur un ase

-, us —

Eli cffel, iE", y' et x", y" étant les coordonnées des e:

. D'un point pris sur le grand axe on mène dos tangcn

luver lo lieu di^s points de eontiii;!.

Il l'aut éliminer u' entre les cqualions

x' est l'iibi^isse du point donné. On trouve l'équation

qui représente un cercle.

Ex. 4. Le rectangle construit sur la normale et la pcrpcndicnkire abaissée du eentie sur la tangente est constani et égal à If.

La longueur de la normale est la porde de cette ligue (fig. fiH) comprise entre le point de contact et celui où elle rencontre le grand axe. On a

Blft^^Vi

-^-H/^^*-^" + ," = iY- + -')'

Hi>l^ = — , et MN.P = t'.

Ex. S. r.ieu du [loinl d'intersection des laiigrntcs aux fxfrémités de dens diamètres ronjugut's,

el si en ajoute memiire ù membre, il vient

car les doubles produits disparaissent, eu égard à la relalion a"j/" = — ^'i/'; mai? le" + œ'" = u^, y" -t- •/"'=: b' j donc on a pour l 'équation du lieu

Ek. tt. Connaissant les ases de la courbe, calculer les longueurs (les de mi -(lia mètres conjuguùs qui font Eritm eus un angle f,. En appelant ces diamitres 2o' et 26% on a les relations

droites fiscs est constante et égale à m'.

Aïec les droites fiiea pour aies, on tronve

fl étant l'angle dos axes; le lieu est une ellipse dont les droltrs données forment un syslème de dioniètrcs conjuguas égaux.

Ex. ». On donne )a base 2o d'un triangle et le produit des langpnles des angles a et

Plaçons l'origine au milieu de la Iiasc; ovccdcsaxcs rectangulaires dont l'axe des ai eoïncido avec lo câté donné, on a

ij = tang a{x + a), y = — tflng a' {x — o) pour les (iqnationa des côtés qui abouSissont au sommet varialile. Soit tong »■ (ang n' :=!ii'; il vient, après la substitution,

E». ». Une droite AU de longiioiir consfanfe glisse sur deuï droite? li^es OX, OV

droite.

Posons AB = !'i, MA = », >Hli = i; avec les droites données |jonr ases, on u

is des points A et B ii l'origine. Mais le triangle ÀRO

ai^yct

c'est une ellipse qui a pour centre le poitll d'inferseclion des droites lises.

Es. tO. Étant donnés une ellipse ayant pour axes 2a, 'ib et lo cercle décrit STir le grand axe, on mène une ordonnée MP qu'on prolonge jusqu'à sa rencontre en N avec le cercle; soit P le foyer ainsi que « et « les angles KOA, MFA. Démontrer les formules

Dans lo Ipiaiiglfl NOP, oaay = ncoi x, ol, en verlu de IVijualinn -j + '^

|/ = ';sin " : J ehjque point de l'ellipse coppespond nue valeur de " délei

pac ces relulions. Coin cl ont, on sali que p^FM ï — ex; on trouve la fqimule {!) en rem|)laçflLU x

lus lieus valeurs de p et résolvons réiinatlon par l'ojipopt à

Ex. 11. A deus liiamclres eonjuaucs de l'ellipse correspondent deux diamèlri pei'pendieuluires dans le cercle.

Si m et I»' sont les coefficients angulaires de deux diamètres ennjuguiîs, on

mm' = ; ■ Soient (x', y'), {x", i/''| les cxtréinilés des dionictres, et «', k" les vulcu

de l'angle h qui leur corrpspozident; il vient

tung «' tang li" = - I.

On en déduit a" — m' = 90".

Eï. 19. Trouver l'équation de la tangente et les longueurs des di^nii-dianièlics en jugués en ronetiun du l'angle u. On trouve pour la langcnte

eitlc deeril sur le grand ase, deu

polygones dont les sommets se (l'onvciit sur los mèmfiS opdnniiccs. Ucu respondants ( cl T inscrits cfaiis i'pilipse et dans le f crcle oiit même

Ainsi, en rcprcscnlant por /, r, i".,,, T,T', T". ., les siii'fMPS dr-s triif dans l'eDipac et dans le eeralc. on a

'''__ i^ — —'' •T~T~T"~""~tt' d'où

Cetle équation est vraie quel que soit In nombre dos câtés dos polygones en supposant que ce nombre augmente indéliuiment, on Buru surf, ellip.

surf, ellip. =- surf, cerc, ;= 7:11b, Si on désigne par 11', li' les dumi- diamètres eonjuj^ucs qui font entre eux un angle jj,

Es. «1. Du eeiitre de l'ellipse, on mène la perpendiculaire Oit sur la normale an point M ; si H 01 W sont les points de reneonlrc de la normale avec les axes, on a : IHH■IllR = t^ MH'-M)l = rt'.

Rx. 1». Si le diamètre OP rencontre la polaire du point P en 11 et la courbe en S,

OP.OR = (JS^.

Ex. i«. Si on joint un foyer F aux cifrêmités d'une corde parallèle au grand axe, la somme des dcui rayons vecteurs est égale au grand axe.

Ex. 1 a. Déterminer le nombre de normales que l'on peut mener à l'ellipse ; 1° Par un point du grand axe; 2° par un point du petit axe; 3" par un point quelconque.

Ex. 18. La somme des carrés des réciproques de deux diamètres perpendiculaires est constante.

Ëx. 10. On mène les dcmi'dianiètres conjugés OD, OE ainsi que les normales en D et E qui se reconlrcnt en S; montrer que OS est perpendiculaire à DE.

Ex. ï». Parmi les parallélogrammes inscrits à une même ellipse, ceux dont les diagonales forment deux diamètres conjugués sont maximum.

Ex. ai. Dans tout parallélogramnie circonscrit à une ellipse, les dliigoitales sont deux diamètres conjugués.

liv. 88. Par un point fixe, on mène des tangentes i une série d'ellipses ayant même eonlro, leurs axes proportionnels et dirigés suivant les mêmes [[roiles; trouver le lie» géomélrique des points de contact.

Es. 88. Trouver le lieu du milieu de la cni'de qui réuziil les oxtrémitfis de deux diamètres conjugués.

Ex. 84, Trouver le lieu du milieu du rayon qui va du centre de l'ellipse au point de contact d'une tangente.

Ex. as. Une ellipse se ment en restant tangente à deux droites rectangulaires ; trouver le lieu du centre.

Ex. 841. Par un point lise P pris sur l'ellipse, on mène une corde quelconque PM. Trouver le lieu du point d'intersection de la tangente en M avec le diamètre parallèle à la corde.

Nous renvoyons les élèves stndieux au Cn.ip. X, où se trouvent de nombreuses propriétés des coniques i démontrer ainsi que des lieux géométriques k déterminer.

§ ïî. DE L lIÏPERBOLIi.

30S. L'hypei-bolc est la courbe défitiic par

lorsque les coeffîeienis M et iV sont de sij,'nc différeni; pur siiilc, son équation se présentera sous l'une des formes

My' — Njc' = H, Nx' — Tily^ = H, My^ — Nx' = 0.

La dernière iiui correspond à H ;= 0, définit deux lignes droites:

c'est un cas particulier du genre hyperbole ; les deux antres représenicnl

e courbe réelle, et il suffit, pour étti-

T l'bypej'bole, do prendre l'une des

I deux premières équations, par exemple,

Nx'~Mf=^ II.

En supposant les axes rectangulaires, ce sera l'équation de l'hyperbole rapportée à son centre et à ses axes. La courbe rencontre l'axe des x en deux points réels A et A', à une dislance ± « de l'origine; la longueur AA' = 2a se nomme \'axe réfl ou Vaxe transveme de l'hyperholc. Les

points d'intersecliaii de la courhc avec l'axe des y sont imaginaires; ccpendani, on porte sur cet asc, de chaque côté du centre, une longueur égale à b, et on regarde la distance lïB' = 2& comme étant la longueur de l'axe imaginaire de la courbe. Les poinls A et A' sont les sommets de l'hyperbole.

On tire de l'équation (1)

6V — ahf = «=6%

L'ordonnée y est toujours réelle et augmente indéfintmcnl, lorsque l'abcisse varie d'une manière continue depuis d: a jusqu'à ± go ; elle est imaginaire pour toute valeur de x comprise entre dr a : la courbe se compose de deux branches distinctes i.ssues des points A et A', et qui s'éloignent h l'infini dans les deux sens de l'axe réel en s'écartani de plus en plus de cet axe. Pour mieux préciser la direction des branches de l'hyperbole, désignons par p la longueur du rayon OM, et par m l'angle de ce rayon avecrasc Iransverse; on a : iB = p cos m,i/ = p sin m, et, par suite.

En résolvant l'équation par rapporl à p^, on trouve

La plus petite valeur de p correspond à cos o) = I , c'est-à-dire îi si = 0, Le rayon devient infini, si cos w = ± — ■ ■ ; on en déduit

tan'6> = ±-.

;s 2a et 2&, les diagonales sont

droites (/() et [II'), lors-

qu'il devient infini, ci celles-ci sont les a.symptoles de riiypccbolc. Les deux branches de la courbe sont siludes dans les angles opposés des diagonales, et s'éloignent indéfiniment en se rapprochani de pins en plus de ces droites.

Dans le cas particulier où a = 6, réqnalion de l'hyperbole devient

et on dit alors que l'hypei-bole esl é<iînlalére ; elle a pour asymptotes deux droiles perpendiculaires, y = x et »/ = — x. L'hyperbole équilatèrc est dans le genre hyperbole, ee qu'est le ecrele dans le genre ellipse. Si on a])plique la discussion précédente à l'équation

M(/--iXa:^ = iI, ou 'L — ^^l,

on verra qu'elle représente une hyperbole ayant pour axe réel 26,et pour axe imaginaire 2a ; elle a le même centre, les mêmes axes que la première, seulement son axe réel csl imaginaire dans l'autre. Deux hyperboles, qui jouissent de cette propriété, s'appellent hyperboles conjuguées. Il est visible que les asymptotes sont les mêmes pour les deux couibes.

S09. L'équation de l'hyperbole peut s'écrire

K^'> ne->

X étant un coefficient indéterminé. Ces équations représentent deux droiles AM et A'M, issues des sommcis A et A', et qui se coupent sur la courbe; car, en multipliant membre à membre, un retrouve l'équation (f). Pour a; = 0, on obtient

!j = ON = ~ bï, y = ON' = Y '

d'où