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Ainsi, l'hyperbole ayant pour axe Ironsverse 2o est le Uett du point d'intersection de deux droites issues des extrémités de cet axe, et qui interceptent sur l'axe imaginaire deux segments dont le produit est constant et égal à — b^.
310. Trouver l'iq nation de t'hyperbolu rapportée à s Il suffit de riimplacw x par x + a clans réqnotion
un trouve, par ce cliiingcmcnt,
l'osods j) ==— ; il vicniira, en riiîolviinl l'ijqiiiitiaii ii.ir l'apport ;i y^, (3) y^ = 2px4--^a;^
Dans riiypeibole, le carré de ri)rdnnLiée est rlone plus i;raiid que Ii iTelangle coiislriiil sur le paraiiiùlre 2/» et l'alicissc.
%\\. Dans toute hyperbole, Its points ¥ elV de t'axe Iransvcrse, nittiés à une distance du centre c = (/u' jouissent de cette propriété que la i renrc de leurs dislances à un point de la 1 courbe est constante et égale à l'axe trunsnerse.
Soit M {x, y] un point de l'hyperbole; 1 menons FM, F'M et MP perpendiculaire î l'iae iransverse. le triangle MPF donne
HF^ = MP^ -H PF^ == »/^ + (c — xy. ''''■
iïliiis 1/^= — (j^-^a^); en siibstilnnnt, il vjeot
Dans riiyperl)olc, l'abcisse a; e^-t au moins égale .'i ii, cl o |iUis grand que «, le second membre de (4) est positif.
Oii Iruuvcrnit, par un caliMil analogue
Si on relt'aiiche membi'c à membre les énualions (B) et (4), on obtient MF' — MF = 2a; ce qui démontre la ppoprîélc énoncée.
Les points remarquables F et F' s'appellent foyers de l'hyperbole ; les distances MF et MF' sont les rayons vecteurs du point M. Les relations (4) et {3) donnent les expressions de ces rayons vecteurs en fonclion de l'abeissc du point de la courbe.
Pour construire les foyers, il faut élever au point A de l'axe transverse nne perpendiculaire AK= 6, et décrire du point comme centre une circonférence avec un rayon égal à OK; elle rencontrera l'axe 2a en deux points qui seront les foyers ; car OF =^ OK = ya^ ■+■ b^.
212. A chaque foyer de l'hyperbole correspond une droite telle, que le rapport des distances d'un point de la courbe au foyer et à celle droite esi
coiislimt et égal à -•
Portons, de chaque côté du centre, une longueur OD = OD' =^ — > et
élevons en D et D' des perpendiculaires à l'axe transverse; si on mène par le point M une parallèle h ce dernier, on a
Mll = OP — OD=x— — ■
D'un autre côlc, on sait que
On verrait de la même manière que -— = — ■
Les droites DL, D'L' se nomment les directrices de l'hyperbole. La
diBlancu OD =— est plus petite (jiie OA, puisque t>a ; les directrices
sont situées entre les sommets de la courbe et le centre. Pour les construire, on prend sur l'axe imaginaire une longueur OE = a, et l'on joint F'fi : la perpendiculaire élevée en E à f'E rencontre l'iixe Iransverse en un point D qui appartient à la direclricc. En effet, dans le triangle rectangle DEF' on a la relation
ÔË' = OD.Or'; d'oùOD = — ■ Lîi perpendiculaire à l'a\c transvtrsc élevée ;ui point T) sera la directrice qui correspond au l'oyer 1'.
31S. Trouver l'équation en coordonnées polaires de Vhyperbole, le. foyer F' étant pris pour pôle.
L'axe polaire coïncidant avec l'axe transverse, on a, pour un point quelconque SI' (p, w) do la branche située À gauche de l'origine,
OÙ X représente la distance absolue 01"; mais OP' ,= 01'" ■+- P'P' = e — p cos M ; en substituant, il vient
p = — (r — peos w) — a = — '-■ cos m,
et, par suite,
On trouverait, pour i'équation analogue de la seconde branche,
914. Les i>i'opnéi(>s des Toyors iiermeltcnl (3c décrire l'Iiviierliolc au moyen des axes. Soient AA', BB' les nxes donnes [fig. 71). On décrit du point comme centre une eirconfécencc nvee un rnyon égal à a' m- ô^ pour déterminer les foyers F et F' ; on trace ensuite de ces poîuts comme centre deux circonférences avec des rayons tels que leur différence soit égale J 2a; en vertu du N" 2 H, les points d'intersection des cireonfcpenccs apparlienoent \t l'Iiyperbole.
Pour (racer l'hyperbole d'un mouvement continu, on fixe [fig. 71) au foyer F' une règle F'M qui puisse tourner autour de ce point. On attache ensuite les extrémîtcs d'un fil, d'une part au foyer F, et de l'autre à l'extrémité M de la règle, lii longueur du fil étant telle q e F M — FM soit égale à la. La pointe d'un erayon, qui glisse le I g le la rc^le pendant le mouvement de rotation autour du point F', décrit e po I on de l'hyperbole ; car, par ee procédé, les rayons vecteur d ucnt ou aiismenlenl de la même quantité et leur différence est to j s égale a
Eï. I . Trouver l'riquatioii de i'Iiypoilioie, l'oiigiiit; «taiil au foyer F.
Si on change x en x -h r, dans rdquution i!a l'Iiypciibolt] iHppuilée ù ses mes, on mira
nn remarqusnt que 6' = o* {«'— I). Cette équation serait aussi celle de l'ellipse rap- |)oiace à l'uu de ses foyers avce e <; 1. On verra lieulôl que, dans la parabole, le l'apport des distances d'un point de la courbe au foyer et à la directrice csl égal à i. Jj'équatiou (a) peut donc Élre considérée comme ceilc des couiques rapportées à un ïoycr, l'axe focal étant pris pour ase des ic; la nature de la courbe dépend de la valeur de e.
TAKGENTB ET TORWAI.IÏ,
915. Si on applique l'équation générnio de la tangente (N" liiâ) lorsque f (j, y) = — — ^— l,on obtient, pour l'équation de la tiingcute au point (c', y') de l'hyperbole ra])portée à ses axes.
yGoosle
