Q1...II
ie du point de la parabole qui s tel du la parabole
e de la
■t le point (ai = 2/isiii 2a, 0).
Kx. 3. On incuc ttuns une parabole dciix coriles pcrpcndieutaircs AB, A'B'; les distauces de leurs milieux Et l'axe ont pour moyenne gi5ontétrii]ue la moitié du paramètre.
Soiciit (*', y'), (ar", y") les coordonnées des exlrémités do la corde AB, m son coefficient aiigHJairii, et S rordoniiée du milieu de eelte corile. (In a
On Iroui-erait également pour la corde A'R', m'S' =:p. En mulUpiiant, it n'eut tHm'W:=p' ou — SI' i^p'; car les cordes étant pcppendicolarres, on a aim' := — ).
Ex, 4, Par le sommet d'une parabole, on mène une eopde quelconque OM, cl, par le point AI une perpendiculaire i cette coide; la distance comprise entre le pied de l'ordonnée du point M et le point d'intersection A de la perpendiculaire avec l'axe est égale au paramètre.
Soient (x', n') les coordonna du point M; la peipendiculaire IIA a pour équation
Ex, 5. Trouver l'expression do l'aire d'un triangle inscrit i la parabole.
En représentant par {»', '/), (a:", /'), {x'", y'") les sommets du triangle, on sait qne
mais y"^^ipx', i/"^ ^Ipi/', j"'" = ÏÏjja;'" ; l'cspression prceédenle peut so mettre sous la forme
~D/(y"=-!/"'^|-t- !/"(;/""-!/") -t-!/"'iy'-y"')] = Ç(!''-!'") (!/"-!/'") (/"-!'')-
•JSS. Foyer el directrice. Prenons [fig. 70), sur l'axe de la parnbole et
à partir du sommet, une longueur OF =^ ; joignons co poini à un point
quelconque M de la parabole et abaissons MP perpendiculaire à l'axe. Le triangle PMP donne
'ijix H- X
La (listuncc d'im point de la p.iPiibolc an poini F s'exprime par iino fonciion rfiiJonncllc de l'nbdsse comme dans IVIlipse. Le poini F se nenimo le foyer de la pnt'iibole ; il est situe sur l'nxe ii une distance dn
sommet égale itit quart du pnraméli'c.
Prenons, i\ gauclic de l'origine, une looL^uciir Of> (■iç.ilc à '- el menons
!a droiie DL pci-peiulii'iilaijc \\ l'axe. Il vienl, ponr la Hislanee dn p')iiil M il cette di'oUc,
et, par eonsôq lient, MU = MF. La droite DL se nomme la (Hrerliice de la parabole; on a donc cette pi-opriélé : chaque point tle (u parabole est â égale diatance du foyer et de lu directrice.
334. Trouver l'équation en coordonnées polaires de la parabole, le foyer étant pris pour pôle.
Soient p, M les coordonnées d'on point quelconque M (fig. 7(iJ de la courbe. On a
mnis j; = OF -t- FP=^-+- p eos m. Fo substituant el résolvant leqiialioo
L'angle w se eomple à partir de FX en allant ^crs OY ; si on romptai cet angle en sens opposé, c'csi-i'i-dirc, à partir de FO en alliint vers li point SI, il l'aiulraît changer le signe de eos w, et, dans ce cas, l'équalioi de la parabole en coordonnées polaires serait
Si w=i)0", on a:p = ;j; par siiilc, le paramétre 2/» re|n-ésenle la longueur de In corde focale perpendicnlaire à l'aie de Iei cnnrbe.
939. Construire une parat/ole tonnaimant le paramètre 2/). L'éqnalinn t/' = 2y)x exprime qne l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre le paramètre el l'abeissc ; de là découle noc première consiriic-
— "in —
itim ilo [a ^nriiljuk. On purlc %\ïv une dnii loiij;ucur OQ = 2/1 ; ou dtîcril ensuilu des t point Q et dont les contres se trouvent sur ncnl, sur une perpciidiculiiii-c ékvée ei moyeunes proportion nelks entre OQ et OP, OQ et OP'.... ; ce sont les longueurs lies ordunnées des points de In piiralxilo <|iii ont pour nbcisscs OP, OP'.... Il silHii d'élever en P, P'.... les perpeiidieuliiirus
PM. PM' éfçaics à ON, ON'.... pour
obienir tes points correspondants de \\\ courbe.
La propriété du loyer el de la dircclriei
de In parabole. On ]>rend (/(j. 78), sur une
élève la perpeiidiculaîrc DL; le point F el le milieu de la disUince FD le sommet de la courbe; on mène ensuite, par u[i puini i|uelconi]Uc P, une parallèle 5 DL ; la circonférence décrite du foyer comme centre avec un rayon égal à PD rencontre cette droite en deux points M et M' qui appartiennent à la par;ibole; curées points sont égaicmcnl distants du Toyer el de la directrice.
On peut aussi décrire la parabole d'un mouvement continu, au moyen d'une règle AltG il angle droit et dont la partie Al) es On fisc, au foyer F et en G, les extrémités d' à BG. Le crayon qui glisse le long de BG en tei que lu règle monte ou descend sur la direcli parabole ; car on a toujours MF = MB,
rconrérenccs ]ms.';arit par le
il droile OQ ; elles détermi-
longiiciii's ON, ON'....
1 donne
unee
lunslrii
eliun Inclk
droite,
--'{, etuu
sera le
foycis
. DL In
direttricc,
cutichée sur la direelriee
iil d'une longueur éguli
f[| tendu, landi:
une part,
la
liingente on \\\\ point M (a' ion (KM 52)
yGoosle
ou Lien, 1^11 multipliant et en remarquant que y'^ = 2px', yij' ^p{x-^3.').
Pour !/ = 0, on trouve a; = OT = — a', et, par suite, PT = — 2s' la soîts-lan<]ente, dans la parabole, mut le double de l'ahchse du point de contact. On trouve immédiatement la direction de h\ tangente au point M d'une parabole, en portant sur l'axe el à gauche dn sommet une longueur OT égale Ji l'abcissc du point donne; en joignant MT, on r la tangente au point M.
Lorsque x' , y' sont les coordonnées d'un point quelconque du plan, l'équation précédente représente la polaire de ce point; il en résulte celte propriété t que les polaires de deux points quelconques M' (x', y'), M" {x", y") dèlerminent, sur l'axe de la parabole, un segment égal '^'
à x' — x", c'est-à-dire égal à ta distance entre les pieds des perpendiculaires abaissées de ces points sur cet axe. Si le point {x', y') appartient à l'axe, i/' = et la polaire correspondante est x = — a;', c'est-à-dire une droite perpendiculaire Ji Taxe; quand :c' =^, a; = — ^: la directrice est donc la polaire du foyer.
Pour trouver les coordonnées des points de contact des tangentes issues d'un point extérieur {x', y'), il faut combine]' l'équation de la polaire de ce point avec l'équation de la courbe. On obtient ainsi pour x tAy des valeurs qui sont réelles ou imaginaires suivant que le point est en dehors ou il l'intérieur de la parabole.
L'cqiialion de la nornrile au point M (a;', y') sera
Si on pose )/ = 0, on aura, pour l'abcissc ON du point où la normale rencontre l'axe, a: = a;' -f- p; on en déduit PN = p : dans la parabole, ta sous-normale est constante et égale à ta moitié du parami'ire.
La distance du point N au foyer est égale ou rayon vecteur du point i!o conlact; car,
NF = NP + PF = p -t- x' ~ I = a;' + ^ :
le foyer est le centre du cercle ijui passe par les points N, T, M.
lîï, 1. Quelle ust l'iiitliiiaisi
,» do 1. UegenU i l'exleémilo de 1\
n'iloiiiiiio qui pussf
par le foyer? R. i5».
Ex. a. Trouver lescûopdonee
:0S du point de concours des langentes
aux points (»!',/),
Ex. 3. Clierclici' la coiidili
Ex. 4. La perpendiculaire abaissée du foyci' sur la langcntc C9l lu iiioyi:iitic i trique nii(i-e les rayons vecteurs du point de coutuctcl du sommet de la eourbc. Soit P la pcrpciidiculuire abaissée du foyer F sur la tangente en M, on a
d'où
l'^KoF- MF.
Ex. 5. Lieu da point d'interseetiuiv do la poi-p ndiculaire abaissée du foyer su.' \:> tangente avee le rayon qui joint le sommet au po'til de contact. R. ji' -t- 2*' — pa = 0.
Es. O. Lieu du pied de la perpendiculaire abaissée du foyer sur la normale, La perpendiculaire abaissée du foyer sur la normale a pour loiigucur-l/2ic'(2ji' + pj. Soit w l'angle de lu perpendiculaire avec Taxe de la parabolcj on a
le, et en ddsignaut par p li
En prenant le foyer pour pôle, et en désignant par p la porpendiculaijo ubai; la normale, on peut écrire
l'cquation du lieu, en courdunites polaires, sera
833. La tanynnti: fait des a)igli:s égaux avec l'ave cl la rayon veeleur du point de contact.
Dfins le Iriangle TiMF {ji^. 79), on :i
TF = OT -+. OP = a;' + 1 = l'M ;
d'dù resiiiti; ['.■i^iilili; .les iui-lus FTJI et TMF.
Corollaire. La normale est binseclrice de l'angle formé par le rayon vecteur et w«b parallèle à l'axe passant par le point de contact; cap l'iiiiglc SMH est égal à l'iinglc MTX ou TMF, ei les angles de In normale u\ec FM et Mil sont les complémenls de doux angles égiinx.
S3§. Le lieu des projections du foyer sur les tangentes à la pu) aboie est la tangente aa sommet de cette courbe,
Soil DL la directrice {flg. 7ft) ; pmhmgeons HM jusqu'à sa reJicoiiti'e en K avee cette droite, le iriiinglc FMK est isocèle et la liini;cnte est perpendiculaire au milieu 1 de lu U-.ue FK. Le point I est la projection du foyer sur la tangente; il se trouve nécessairement sur la tangente OY (]ui pnssG pnr le milieu de FU, et (|iii est parallèle à ht dircclricç.
*J3A. r,es propriétés qui précèdent permettent de construire la tangente à la parabole. Si on donne le point de contact M {fig. 79) sur la courbe, on tirt pu lc ptint une pnnllele ;i l'axe. Soit R le point où elle rencontie la diitrinco, si on joint K et F, la pcrpendieuliiire abaissée du print M sui FK stin h tangente i la courbe au point M. Poui tioNM r les lin-,uitLs issues d'un point extérieur S, on décrit du ce point comme centre avec un rayon SF une uiconlerencequi rencontrera la directrice en deux points K et K' ; les tangentes cberchees seront les perpendiculaires abaissées Ju point S sur les droites FK et FK'.
940. L'angle de deux tangentes est égal d la moitié de l'angle des rayons vecleitvit des points de contact.
;t, soit (fi.g. 80) \(T et M"T" deux langenlcs; puisque cliauuue (■g;ilenieiil inclinée sur le rayon \ccleur et sur Taxe, on a MFX = 2MTX, M"FX = 2M"T"X ;
cil reU'iiiiclmtit membre a membre, il vient
MFM" = 2 (MTX — M"T"X) = 2TPT".
Corollaire. Les lantienles meiUes d'un ■puiiU de la directrice à la parabole sont perpendiculaires; car si le point de concours P des tan^enics est sur In directrice, lu corde des conlacls M"M pusse pnr le foyer qui esl le pôle de cctlc droilc; les rayons vecteurs FM et FM" font entre eux un angle égal à iSO" cl, pur suite, les tangenli's sont perpendiculaires.
S41. La droite qai joint le foyer au point de concours île deux tungentes est htsseelrice des rayons vecteurs des points de contact.
Nous Kvons vn (N" 198) que celte propriété existe dans l'ellipse ; elle ne cessera pas d'avoir lieu k la limite, lorsque le grand axe de celle courbe devient infini, c'esl-à-dirc lorsque l'ellipse se cbange en une parabole.
Corollaire 1 . Vangle formé par les rayons vecteurs des points de rencontre dhme tangente variable avec deux tangentes fixes est égal li l'angle de ces tangentes.
Soit M'T' {/ig. 80) une tangente variable qui rencontre les dens tangentes fiMS en N et Q ; l'angle HFQ se compose de deux angles dont l'un
NFM' est égal à I MFM', cl l'autre M'FQ est la luoilié de l'angle M'FSl"; il en résulte que
M'Q = l (MFM' -i- M'FM") = | MFM" ;
or, la moitié de l'angle MfM" est égal k l'angle des langcntcs li\es;donc la proposilion est dëmoutréc.
Corollaire 2. Le cercle qui passe par les sommets d'un triangle circomcril à une parabole renferme le foyer de la courbe ; car, danî le quadrilatère NPQF, les angles opposés en P et en F sont supplémentaires, et le eercie qui passe par les sommets N, P, Q, passera nécessairement par le foyer.
343, L'équation d'un diamètre, dans la parabole y^ — "Ifix =■ 0, csl
m ùtant le couOieieiit anjçulaire des cordes correspondantes : (oiis les diamètres sont donc parallèles à i'ase de i.i courbe.
Soilî/Tordonnëe du point d'inlerseelion du diamètre avec la parabole; on a la relation
w' = — , et, par suite, m = — ■ m y"
c'est le coeficient angulaire de la tangente, et, par conséqiienl, les cordes qu'un diamètre divise en deux parties égales sont parallèles à la tangente à l'estrémité de ce diamètre.
943. Nous ûvons vu (IS" 162) que la parabole, rapportée à dcnx axes dont l'un est un diamètre et l'autre la tangente à l'extrémité de ce diamètre, est représentée par une dquation de la forme y^^^y'x; 2p' est le paramètre de la courbe pour les axes nouveaux. On peut exprimer le paramètre â/i' en fonction de la quantité 2p, appelée paramétre principal. Soient a et 6 les coordonnées de fa nouvelle origine 0' ; ce dernier appartenant à la parabole, on a la relation 6^ = 2pa. Menons, par le sommet, une corde parallèle à la tangente O'y; elle sera divisée au point P par le diamètre en deux parties égales. Les coordonnées du point M pour les axes O'x, O'y sont
a: = O'P =^ OT = OQ
»/ = MP = PO = O'T = i/VTTa^; bstituant ces valeurs dans l'équation 2p'x, on trouve, en remplaçant b^ par
^pa -t- 4u- = '■Zp'a;
c'est-à-dire, que le quart du tiouveau paramétre est égal au rayon vi:cleur de l'origine. axes, d'après l'équation de la tangente, on a
el Tiiqualion de la parabole pour les nouvcaus axes peut s'écrire
REHAiiQUE. l'équation de la polaire d'un point (x', y'), relativement à
la parabole rapportée à l'un de ses diamètres y^ ^^ %p' x, sera de la forme
yy' = l>' {x -^r x').
Lorsque le point se trouve sur le diamètre, ou a j/' = 0, et, par conséquent, X = — x' : ainsi, la polaire est parallèle à la tangente à l'exh'émilé du diamètre qui passe par le pôle, et rencontre ce diaméti-e à ta même distance dit point de contact que le pôle.
Théorèmes et exercices sur U parabole.
E>:. t. Par un |)oiiit fine (a, 6) on mftue Jes tangentes ù mio séiîe lit paraboles do mèiuiï axe; trouver le lieu des points de eoiitâct. l'ur l'eliminitlioi] du pnr.imctri; p eutre les équations
6y = ji {(( -V- a;) et y' = 2})ib, on tiouve
^ll-*-<iy — ^l">! = 0.
Es. 3. l'ar Hii point fixe (u, &), on mène des nopiusius BU.ï paraboles Je mémo aip; i]upl est ie lieu des points oij ces droites rencontrent normalement la courbe i
p[k -,/, = -, /{a-:,'} et y-':^ip^', il vient, pour le lieu demandé,
Es. 3. Lieu lies railieus des sécantes h la parabole passant par un point lii!t!(«, i]. Il faut éliminer ) entre l'cquation de la séqnante
cl celle du diamètre eoirespondunt : ^ =; - - On trouve ainsi js 6j px -i- ap ^ 0.
et des foyers de ta parabole
■ variable.
Les coordonnées du sommst sont j! =î /isiu 2fl, y:^h sin'a; on en dciiuil, pour le lieu Jcs sommets,
„ 28* — L'équation de la rourbi; rapporlée à son sommel étant
la distance du roj'oi' au sommet sera h eoi* a, c'est-à<tlire le quaft du poramclre. l'oi olitenir rordonucG du foyer, il faut rctranclier h cos' a de l'ordonnée du somme! j qui donne
jf = A sin" a — A cos' tt = — /< cos 2« ; d'ailleurs l'abcisso du foyei- est In même que celle du sommet, c'est-à-dire 3^=^/1 siii 5 Le lieu des foyers aura pour equutiou
E\. S. Lion du sommet d'un augle uaustanl dont les eâtûs touclicnt la parabole. Soient m, m' les coefficients angulaires des côtés do l'angle; ou u la tondition
; =: * (conât.);
— j," — p ' ' ol la relation prdccdcnle devient
Pb" —•/) — '' i'/y" -^P')- Or, si ic et ^ sont les coordonnées d'un point dn lieu, on sait rjue 'j = — ^ —
^ y'y" aj. '
cl l'équation précédente peut s'écrire
[)e plus, en vertu de l'équation de la tangente
y' ^i/±l/ i/' — 2p^, a y —i/ = (/ i/" — 'Ipji ; en substituant, il vient pour l'éqna-
Lorsque l'angle des tonguntes est droit, i = «; , et le lieu se réduit n
équation qui représente la directrice,
E\. O, Lieu des points d'où l'on peut mener à la parabole des norniiiles perpendi-
L'tilimiiialicm ciiîœ'finlvp (1) pl (i] doni.i!
(6) y" - %l< {p - r) y'' - 'iphj = 0.
L'élimination Je œ" e[ilrc(2) et (3) comiiiil à In mémn pquiilîou où y' est rcinplacd
par jr"; les quantités y', y" tiont donc deux racinosde l'cqiialîon du troisième dpgic
Or, si y'" Pït la troisième racine, on a y' y'' y'" = itp^y, et, en verln ilu l'équation f 3),
celte relation devient y'" =: — Sii.
En substituant cette valeur dans l'équaliim (fi) on trouve, après quelques ^im|>li^l-
Et, 9. Les perpeiidifulaircs abaissées des sommels d'nn triangle circonscrit i la parnbolc sur les cAtés se coupent sur la directrice.
foienl (m', y'), (a;", y"[, (a;"', !/"') les points de contact des eôlés; le point do conconrs des tangentes en {>:", g"), [x"', y'") a pour coordenncrs : y ;= — — ^ i
celte expression est symétrique et aura la mrtmo valenr p.iiir les tinis perpi'iiiliciiJairfs.
V.\. 8, L'aire dti triangle des points de contact de trois langcntes ,^ la parabole est double de l'aire du triangle formé par ces tangentes.
(In sait que la surface dn lria->slc inscrit dans la parabole K" 2:i2 |Ex. S) a pour
Ex. O. Les cStés d'uii ti-ianglc inscrit à !a paniliolc elaiit (r, 6, (^, cl 8, 8', 9" les angles (Ifi ces efilés avec l'axe, moiilrei' que la surface du Iriaiiglu est e\tipimée piip
^- sin esin 6' sin e".
Il faut ]'eiï)iii'C|uci' qi.c / -~ij" = c sin 9 etc., et subsliluïr diiiis r«s|)res5loii
Ex. lo. Trouver le rayon du cercle circonserit au triangle inscrit dans une psrahole. Ou sait tiuc le rayon du cercle circonscrit n un triangle dont les cotés sont a, h, c, a ahu pour valeur — y • l.e rayon demandé sera
El. Jl, Troovcr Is rayon d» cercle qui passe parles sommets d'un triangle eireoi^scrït à la parabole.
6, b', 6" sont les angles des cfilés avec i'aïe.
Ex. 1». Trouver l'expression de l'aire comprise entre l'arc OB d'une parabole, l'ordonnée BA cl un diamètre OX.
Inscrivoiis un polygone dans la courbe; soient T = ÎIM'PP' et < = MM'QQ' deux I trapèzes cnrrespondanis à un câti! du polygone, l'un formé II- les parallèles MP, M'P' à OY, l'autre, par les droites MQ, I M'Q' paiallcles à l'a*e. On a
T = i(i/ + tf')(^-a;')siHO, ; = 1(^ + 3,'! (y-/) sin 6; coordoJiiiées des point? M et M' et l'angle des axes. On en
mais, de l'équation de la parabole y' ^= 2^'*, on lire ^^ — i/'^ =; 2])' (œ — x') ; d'où „ , =— — — T ■ Eu substituant et prenauMa limite des deux membres, il vidnt
car, lorsque les points M et il' se eoufoudent, »;=: œ', y = y'.
Celte relation est vraie pour deux trapèzes quelconques, l'un intérieur et l'autre extérieur et, à la limite, eu faisant la somme dos trapèzes, ou airivo n ce résultat que
l'aire OAB est ilouble rln l'aire exlcHcuce OBC. Donc, l'aire paraholiqiic OAB vaut les deux liefs du parallélogramme OABC construit sur roi'doiinée et Tabcisse du point B.
E\. 13. Trouver le lieu du milieu d'une corde focale dans la parabole.
Ex. 14. Trouver le lien d'un point qui se meut de manière à ce que sa dislance à une droite donnée soit dans un rapport constant avec le carré de m distance à une autre
Ex. is. Par uu point fixe de l'axe d'une parabole, on mine une parallèle à une Inngenle quelconque; quel est le lieu du point de reneontre de cette droite avec le rayon vecteur du point de eonlact?
Ex. 1<l. On mène, par le fojer d'une parabole, des droites faisant un angle eonslant avec les tangentes à cetle courbe; déterminer le lieu du point d'intersection de chaque droite avec la tangente correspondante.
EXi 11- Déterminer [c lieu du point de rencontre des tangentes à une parabnk dont la ditfërcnce des cotnngcntes des angles qu'elles font av<;c l'axe est constante.
Ek t<«. Trouver le lieu du point d'intersection des normales menées aux extrémités d'une corde qui passe par un point fixe.
Ex. 19. Trouver le lieu des foyers des paraboles inscrites dans un triangle.
Es. e«. Sur les cfltés AB, BC, Cl», DA d'un quadrilatère, on prend des points P, Q, R.Sleîsquel'onait
BP BO AS C[l BA'^BC^AD^CU' on demande le Heu du point d'intersection des droites PIt et QS.
Ex. »t. On a deux droites délecminécs AB et AC, divisées en un même nombre de parties égales; l'une AC, dans l'ordre A, 1, 2, 3, 4, S, 6; l'autre AB, dans l'ordre B, 1', 2',5', i',I}', A ; trouver le lieu des points de rencontre des droites (2'3), (5'i) ; {5'i), i'5)iclc.
Ek, ZX. Etant donné un trapèze ABGD, ou fait varier la direction du côté CD de manière à ce que la surface du Irapèïo reste constante; quel sera le lieu du point de rencontre des diagonales?
Ex. >S. D'un point P, on mène une sécante PfiA à une parabole, et on prend une longueur PM moyenne proportionnelle entre PA et PB; trouver le lieu du point M.
Es. fl4. Quel est le lieu des centres des cercles tangents à une droite et orLhogonaux à un cercle fixe?
Ex. as. Chercher le lieu du sommet d'un angle circonscrit à la parabole et tel qne le triangle formé par les côtes de l'angle et l'arc de la parabole ait une aire constante.
Ex. ae. Trouver le lieu du centre d'un triangle équilatéral formé par trois tangentes ou par trois normales à une parabole.
