FORM E DES COU RBES

Constrnction des courboa aljébriquos et tracEecnâuntes. Coorhes semblables.

SouUAiBB. — Du cenire et des diomètief dani hi eourli"S nlaébelqui». Coa»[riiclhn du lieu de» pied' des pcrpendlculnltv» nAaitiêet d'un point auf let langenlei à «ne conique, M point Hnnt le loiiiiBet pour la parabole, le centre po'ir l'ellipse et l'/iyperbo/e. Ovale de Cnniiin-, FoUiim de Deeearfn. — CoHi-fc^ Iravacendaiiles : logarilhmiqne, c/iniaell'', sinnutiidit et cosimissoïde ; courbe dp Véqualii-n y^tiaigns; cycloïde, fpteycloïâe. dcoelappaute dit cercle. — Coiii-bea semblalilps. Coaiiil'otis de slmililude du deux canigwn. Propriétés des courbes représealèes par l'vqiiiitinn f (t, y, p) = 0, /iiruqtie le pauimUrep varie.

944. Nous nous proposons, dans ce cliapilre, de donner (juelqiirs exemples deilîsciission <lc courbes algébriques d'un ordre supérieur air second, d'indiquer la niitiirc îles courbes rranscendanics les plus utiles et de faire coniiiiitrc les mmclcres des courbes semblables. Nous choisirons, de priSrérence, dans le nombre si considérable des courbes nlgébrîf|ues, exiles qui se rattachent aux courbes du second ordre. Noire biil n'est pas de donner ici une théorie complète des courbes plnnes nvee toutes les pnr- (iculnritcs qu'elles peuvent présenter; car le ciilcul nlgébrique, bien que suHiSiiiil A la rigueur dans tous les cns pour étudier une ligne, devient 1res pénible si réi}no)îon csl Ira usée nd» nie ou d'un degré un peu élevé; il est préférable et plus expéditif de se servir de l'unalysc înlinitésimale. Ces! pnr cette analyse qire les Icctetips doivent compléter les unirons qrri suivent sur ie^i corrrbcs phirrcs.

^ ] . COCIIHES ,\1.GÉim[Ql'F.S,

ÎJ5. Étant donnéfi une équatioi» «Igébriquc en a: cl y, il est mile de reconnnitre à première vue, si la courbe qu'elle représente a iin centre on si elle est symétrique par rapport à un oxe. Pour y arriver, nous allons donner quelques notions générales sur le eenlro cl les diamclrcs des courbes.

Le centre d'une courbe esi wn pomt tel, que toute droite qui passi: par ce point rencontre ta courbe en des points situés deux à deux à éfja te distance de ce point.

Il ri'sulie de celle définition que, si l'origine est placée au centre d'une courbe algébrique, l'équation de cette ligne ne doit renfermer quedestermes de même parité, c'est-à-dire, tous de degré pair ou tous de degré impair. En effet, soit l'origine et le eenire d'une courbe aliçébrique; M et M' deux points de celle-ci situés sur une droite i pfissfint par l'onj^îne et à égale distance de ce point. Menons MP et M'P' parallèles îi OY ; il est visible que les coordonnées des poinls M et H' sont égales et de signe différent ; ^i y et y' sont les coordonnées du point M, réquation doit être satisfaite à la fois par l'a- «■'■

-t- je', -l- y et par — x', — y'; ce qui exige qu'elle ne renferme que des ternies de degré pair ou de degré impair: dans le premier cas, tous les ternies cnnscrvenl le même signe, el, dans le second, tous les termes ne font que clianger de signe, lorsqu'on remplace a; et ^ par — j:' et — y.

Corallaire i ■ Le centre d'une courbe algébrique d'un ordre impair se trouée sur la courbe ; car si on remplace dans une équation de degré impair x el y par — x et-— y, tous les termes changent de signe excepté le terme indcpendani des variables, et pour que l'équation reste la même, il faut qu'elle ne renferme pas de terme constant; elle sera donc vérilîée par les coordonnées x =0, 1/ = de l'origine qu'on suppose au centre de In courbe.

Corollaire 2. Une courbe algébrique ne peut avoir qu'un centre unique à moins qu'elle ne se réduise à un système de plusieurs droites parallèles.

Admettons, pour fixer les idées, qu'une courbe du quatrième ordre ait

— 2yo —

deux centres et 0'. Prenons lit droite 00' pour axe des x. L'origine étant au point 0, l'éqniilion de la courbe ne l'enlcnne que des termes de degré pair en x et y. Soit ax^y le terme qui renferme a; à la plus haute puissiinee; en transportant l'origine en 0', ce terme deviendra a{x -^- d^y ouax^y ■+■ Zax^dy ■+- ...... d représentant la distance des centres 00'. Mais

le terme ^ax^dy ne peut se réduire avec aucun nuire provenant dit changement de X en X + d dans les termes de l'équation qui sont d'un degré moins élevé en x; par conséquent, il est impossible que l'équation ne renferme que des termes de même parité et que le point 0' soit un centre de la courbe, à moins que la variable x ne se trouve pas dans l'équation de la courbe rapportée à la première origine 0; dans ce cas, cette équation représente un système de droites parallèles.

34S. Nous avons défini le diamètre d'une couibe, le litu des milieux des cordes parallèle» à vue direction donnée. Dans les courbes du second ordre, les diamètres sont des lignes droites; mais il n'en est plus ainsi pour les courbes d'un ordre plus élevé. En effet, une droite donnée peut rencontrer une courbe de l'ordre m en m points; la combinaison de ces

points deux à deux donne un nombre de cordes égal à dont les

milieux appartiennent au diamètre correspondant à cette direction. 11 en résulte que ce diamètre sera une courbe qui peut être rencontrée

par une droite en — -—^ points, c'est-à-dire une courbe de l'ordre

— i : ainsi, pour une courbe du troisième ordre, hi = 5, et le

diamètre est aussi, en général, une courbe du même ordre; dans les courbes du quatrième ordre, le diamètre est, en général, une courbe du sixième ordre, et ainsi de suite, La détermination de ces lignes diamétrales ne peut donc faciliter la construction d'une courbe algébrique.

Il arrive quelquefois qu'une courbe admette des diamètres rcctilignes. Dans cette hypothèse, si on prend un diamètre rectiligne pour ase des a; et une parallèle aux cordes divisées en deux parties égales pour axe des y, l'équation de la courbe doit rester invariable lorsqu'on remplace;/ par — y. Pour trouver les diamètres rectilignes, il faut donc chercher les a ses des coordonnées pour lesquels l'équation ne renferme que des puissances paires de y.

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