I.a courbe est

. donc située dans la

ir du point une longueur OM égale à RP, c'es

lale située en debors du cercle, le point M appartient

e point 0, où viennent s'arrêter les deux branches de la courbe qi

le en ce point, est un point ilngulier appelé poinl de rebrousaemenl.

X. a. Conulruire le lieu de» pied» dee perpetvliculairca abaissées du .

ter iangenies n celle courbe.

ne ellipse qui u pour unes 2n, 26 est représentée parréi]iiatioa

jnle,

h la partie de la I

oiislrnire est d(

ic du quatriè

La courbe qu'il s'agit di ne renferme que des termes de même parité, le centre du lieu coïncide avec celui de l'ellipse: de plus, pour chaque valeur donnée à l'une des variables, on trouvera pour l'autre des valeurs égales et de signes contraires et les axes de l'ellipse sont en même temps des axes de la courbe. Enlin les coordonnées des points Aet A', fi elB' satisfont à l'équation, et les sommets de l'ellipse appartiennent au lien. D'oprès la nature de la question, il est évident que Ions les autres points de ia courbe sont en debors de l'ellipse.

Afin de déterminer plus facilement la forme de la courbe, introduisons les coordonnées

la siibsliLutinti,

it ^ |)Urpti

- (.■■ - l") .il,' »,

De nette équation résulte la l'ellipso, une droite qui i^ncontrc en M la circoitfûreiice déurile sur le graiid »\e; du point M on abaisse une perpendiculaire sur le diamètie du cercle pnrallèle à la sécante, le pied de cette pel'pciidiculaii'e appartient au lieu. En effet, on a ÔP* = «' -W-- = a' — W' sin' ilITO

ï membres de

I,ii snmriie des fiietcni'sdu produit n' sin' a (a' — y iiugmenlc iivec w jusqu'à ea i]iie les deux faeteui

Lorsque eV/2 > n, la valeur précédente es possible, et il esisle une valinr de u

Ainsi, dans l'bypotbèse oùcl/T> a, l'ordonnée passe par une valeur maximum, lorsque 01 larie entre Vf et ^0°, et la courbe étant !iyinétric|ue par rapport aux axes, les points qui correspondent au maximum se trouvent sur le eeiclc décrit de l'origine comme

• Le lieu eberebd prosente la forme de la Figiiie S3,

;enl,reaïccnn rayon égal ; Lors.|ucc(/2<a, lavai

plus; l'ordonnée v:

90°. Dans ce c»^ Ii

croissant di' à h, quant l'unglc » au} mo du lieu diflcre peu do celle de Tell

ixinium Je y n'esistu I dq.Ul! 0- jn.qci'i,

lis, a, Dèiermiaey le lieu des pieM des purpendicul-tires nlmissées ihi centre de C/i baie iitr les laageiiles à celle eourbe, L'éliminalioii Je ai' et du / entre les relations

coiidujl ù l'equotiou

ha lieu clicrchc ost une cnurbc ilii qualrièrae ordre Jniit le eetilre et les a:scs c dent avec lo centra et les mes du l'hypei liiile ; elle est évidemmeiil située dans In |i du plan inierreptée par les tangentes aux sommets A et A' de l'liy|ier.'iole ; elle rc Ire les axes à l'origine et aux poinls A et A'.

On trouverait faeilenienl, pour l'équation de la courbe en coonldiioées pokiircs,

mène par l'un des foyers une sécante qui 'erse en un point M; le pied de la perpendire parallèle II lu sëcunlti appartieut au lieu. (Jette consti'uction decuule de l'équation {?'). On verrait, comme on l'u fait dans l'exemple précédent, que l'ordonnée y augmeaie jusqu'à une ceiiaine valeur maximum, pour décroître ensuite jusqu'à 0, lorsque u varie d'une manière continue depuis 0" jusqu'à •M'. Aliii de déterminer le maximum de y, clierclions les pi>lnts d'intersection de la tourlc arec une parallèle à l'axe des x.

l'osons ^;= 1 dans l'équation (5) ; 11 vient, en ordonnant par rapport a ic,

x' -h i' (2i" — a') -t- 1* -H fi'i» =: 0.

tangente à la courbe, celle équation doit avoir drs

ment le maximum de l'ordonnée; on trouve aussi, pour ce raaximumjœ'^ — - (2/'- a")^ feî ■' '^^^^- '"" -«"t Je 'onguu-, comme centre, un cerce avec un

yGoosle

sur ce ccL'cie. Le lieu cherché sera une coucbe fermée qui passe par l'grigMic cooimu le montre la figure. Cette couihe porte le nom de lemnismle (N" 14). Supposons a = li ; l'équation devient

Soieut /"et /' les poiuls où le cerelc de rayon — ^ reiiconlrc l'aie des x ; nous allons

ïoif que le pi'oiluit dos rajoiis vecteurs d'un point de lu courbe est eoiislont et ogiil nu carré de la raoilié de la distance des points f elf ; c'est en parlaut de cette propriclc que nous avons trouvé (N° M) l'équation de la lemiiiscalo. On a pour les ravfliis vecteurs

= (>- + >' + f)-2"-'' = l" + rt* — ('--rt + î'.

et, en vertu do l'équation de la courbe,

rf--ri'' = 'i; d'.l P/.Pf-|.

Ex. 4, Ellipse un Cassisi. Construire le lien d'an point 'el quii li: iiri/diiil de ses disluiiees à deux poiiile fixes est constant et égal à m' .

Désignons par F et F' les deus points fixes, et rapportons la courbe à des axes rectangulaires dont l'origine se trouve au milieu des points donnes. Si FF est l'axe des œ l'écjUâlion du tieu seia

U) [(ir-«)> + ï']!»-Hr- + s")=mS

où rf est la dislauec des pniiils fixes b l'origine. Ko développiiot, ou peut éerire

ou bien, en ordonnant le premier membre par rapport à y,

(4") y* + 2 (E= -h- d») j/î -t- (ji' - d»)S - m* = 0. Le lieu eherché est une courbe du quatrième oi'dre dont le centre esta l'origiiLc ; elle est .symétrique par rapport aux axes des coordonnées qui sont aussi des nxcs delà courbe.

Lorsque m ;= d, l'équatiou {i') représente une leniniscatc dont l'ordonnée

a pour valeur absolue - i et l'abcîsso correspondante — — ■

Supposons !«>(/; l'cquation (i") résolue par rapport à j/^ donne

(,) y3 ^ - (^^ -H d'-) ± (/{;t* + rf^,T:.|-,^a rf.). ,„^j,

yGoosle

mtiis ea vertu de (i), pour c]iie y^ el, par conscqueul,

it positif, il (afil que \'on i

'<<i2H-m2 et 3!s>(is- m'-.

Puisque m rst plus i;raiid que d. In seconde condition est toiijoni's satisraite : l'âli- «isse X peut variei' enlre +l/d* -i- m' et — [/ d^ -t- in^' L'ojJoiinée y s'annule pour ic = ±l/ii^-i-m*, el elle est éj;iLle à ^/lu* — d'', pour œ=;0. Prenons i/ig. S5) OA=.OA' = l/n'-»-ni', el OR = OB' =[/ m- — d^ : les points A, A', B, B' appavtipiinenl an lieu cherché. Pour délerni inev la pluagraiidc valouiqne prend l'ordonnée y, lorsque !E varie depuis jusqu'à \/d' -t- m', on clierdie l'équalioEi de !a tuni^enle à lu courbe parallèle à ra<e des», l'osonsi/ = J dans iVqiiMlion fi"), et OEdoiiniiiis par rapport h a^i 11

Lcines de «elle équation sont égales si J'

l'abeisse relative au maximum n'est l'ëcile qu' m < d 1/2. Si cette dernière condition est satisfu

: — ; deii

c la l'orme de ta fig, i leicio décrit de l'urigiiie i

condition id' — m* < 0, ou

uni existe et la conriic

ints les plus éloignés de l'axe des x se trouvent

ernlrc avec un rayon égal à d. Lorsque ii')>flt/2,

plus; l'ordonnée OB = ï/hi* - t(* «si la plus

grande valeur de y : le lieu cherché

se rapproche beaucoup de lu forme

d'iineellipsc; c'est la coutbe connue

soiis le nom d'oualn de Cusstni.

. en d<'r

appartiennent à la courbe, et celle-ci sera située ei différents points, puisque les valeurs absolues de |/rf* —m*. On a, dansée cas, di'ux courbes formé

Dans cette hypothèse, il c)

valeurs dcÉ» qui annulent l'ordonnée

1/ donnée par (a) ; ces valeurs sont :

Prenons {fig. 87) sur l'axe des x, OIS=0B'=l/rf*'-mS, OA=OA'= l/i(^+«i= : les points A, A' B, B' -e tes parallèles i OY menées par ces sont comprises entre [/d* + m* el

icspoudaiite <

F,x. S. FuLiuM DE DiiStJRTKS. Coiislruire la coui-Ihi n'vrésuwùn /"«■ IVi/mUivii y' — ïiiKei/ + œ' ^= 0.

Remarquons d'abw!) que l'équatiou ne cliaiige png, si on remplace^ |i:ii' x d x piry : la bissoctrice des axts est u:i a\e de symctHe de In vaurbe. De plus, pour x = 0, l'équation se réJuil à ï'= 0, qui donne puur y trois racîni'S égales à 0; ce qui veut dire que lu courbe est luiigeiite ù l'origiue à l'axe des x ; elle est aussi laiigcnte au même peint à l'axe ilcsy.

£q duiiuaul ù a> une cerlnine voleur Xi, il faudrait résoudre une équation du troisième degré pour tranver les valeurs correspondantes de y. Il est avantageux d'introduire iei une variable auxiliaire, en posant y:=lai: cela revient à ciieiclicr les points d'intersection de la courbe avce des droites passant par l'oi'igini-. Si oi^ remplace dans l'éqnafTon

■s différeiiies valeurs carres pond eut l'are de iiourbe OU. II

ir plus giHude que

croître jusqu a ce

valeur v'2, pour laquelle on a

n V/i est le maximum de l'ovdennée, et, peui le point B' qui correspond au maximum, la lui: gente est parollèlo à l'axe des as.

Enfin, si ( augmente depuis 1/ 2 jusqu'i t'x !/ et m diminuent jnsqu'à et on obtient l'mi fl'Ode laeonrbe sjniélrique de l'orc OB pai l'apport à la bissectrice des axes.

Lorsque t est négatif, l'aheisse x est iiégiilive

rie ( est moindre que l'unité, lundis que l'ordonnée y est positive cl augmente indcfiiiimenl ; it en résulte i|ii'ii partir de l'origine, la eourbe se coulînufi vers la gauche eu s'écartant de plus en plus de i'oxe des œ. Enfin, quand In valeur absolue do t est plus grande que l'unité, 3^ devient positif et y négatif ; on obtient alors la branche UG de la courbe.

On peut démontrer que les brandies infinies OH et l)G ont une asymptote eomniune perpendiculaire à la bissectrice. En eiîet, posons j=: — * h- i; en combinant cette équation avec celle de la courbe, il vient

sr^ {Z). + Za) — « (3)' + Za\) M- i» = 0,

fii In droite i/ = — œ + 1 est tangente à la courbe h l'infini, cette équation doit donner pour 31 des valeurs infinies, et par suite, 31 +3m := 0; d'oii i^= — t.

Donc, la droite

l'asymptote des bra

infinies OC et OH.

. COUBBES TBAHSCENDASTJÎS.

lîs. Construire la courbe reprMentéK pnr

jiislanle déliiiic par l'équation p -

dans luquelie e désigne la base des jogarillimes nalurels. Supposons que la courbe soit rapportée è deux axes rcclangulaires ; transportons l'origine en un point d' de l'ax« des X situé à une dislance a de l'origine primilive O. L'cqualion du b tourbe, pour

desoiEc que, si on prend pour h la valeur di ne origine pour laquelle l'équation (t) se rcdi

Pourcludierlecaraclère des courbes ri dans l'équation (1), il suffira donc de considcrt l'équation précédente. Or, si a augmenle positivi ment depuis jusqu'à l'infini, l'ordonnée y augmente depuis m jusqu'à -t- zn ; d'un aulre côlé, s a' varie de à— o3 ,j/ est toujours positif cl diminue ^'s- *'■

Indéfiniment; donc réqualioii représente une courbe [elle que CD qui a jiour asymplolc

'iixe des x nêgulifs, cl qui reiitoiitro l'ase des y ei

a bninclie de coujbi |i!(n de l'axe des m

Si on clmnge xen — œ, le second memltre de l'ériuou'on donne résulte que ['ordoiinde y a des valeurs égales et de même signe loisq Il de signes eonlraires : l'use des y est ui

augmente depuis Ojusqu'à l'infini

plus en plus, tjudis que e " pallies simetnques ItH'FtlIIIi itieinelle parce que c'est 1 1 for qn'arfi'cti un IJI pesant lioniogi Inc pir SIS OAli omîtes

fonctions périodiques de i'ure, les courbes qu'il

laiinposer d'une suite d'arcs cgHUJi et s'étendre indéfinimi

de l'axe ries ic. El suQit, pour se l'uii-e une idée de la forme de ces lignes, de eoiisidcro!'

les râleurs de x comprises entre et ir. Or, pour la première, si x varie de à ^ i

le sinus est positif et augmente d'une manière continue jusqu'à l'unité, tauAi) que w

croissant depuis — jusqu'à ^, il diminue jusqu'à 0. A ces difTéi entes valeurs de o;

eoi'vcs|>oiid l'arc de courbe OAO' ; le point A le plus éloigné de l'axe des œ a pour

ordonnée l'unité et pour nlcisse une longueur OP ^ — . Lorsque x augmente de ;r à

2^, l'ordonnée y devient négative avec le sinus, mais elle rrprend, abstraction faite du signe, les méinns valeura numériques, de sorte qu'cnlre ces limites on obtient l'arc WyO" identique aa premier, mais silué au-dessous de l'use dos x. En continuant do faire croilre ai de St à 3,t, au aurait un troisième arc égal aux deux autres, et ainsi de

- oOO — iliiui' i|UKleoiiq«e de », y e:

!n valeur absolue pour lesoliciis 3t S!r

La iKLigeulc à l'ovigMie esl la bisseclriee îles axes. En effiit, la laiigeiilc équatian de la forni« y ^= ma:; le coeflicicnl augulnire ni seia la limite ve.is \i verge le rapport— tire de l'équatiau de 1» courbe quaud x leud vers U; lUai^

Eiiliti, nous ajoutiM'ous que l'origitic csl un centre lie la courbe, puisque l'équation nu chauge pas si on remplace a! Pli/ par — œ et— y; il en est de même des points 0', O''..., où la courbe rencontre t'a\e des x.

En répétant une discussion analogue à la préccdenle sur l'équation y =^ cos s, on verrait que la cosinussoïde est aussi une courbe qui se couiposc d'une suite d'ures seinblalilos; elle rencontre l'axe des a; en des points qui ont pour abcisscs

l'oi'duÈinilc .'/ L^st "ia\.iijuui pniir les voleurs de Ji

— Sa-, — 7t, 0, 3-, 2^, Sa' ;

In coui be ne passe plus par l'origine et celie-ci n'est plus un centre d Ex. 4. Coiiali'i'ire. In courbe Irniiseendunle repréiffitlée par l'équatioi

[!ps points cquidistanis y, Q, P, I'' — ayant pour abcissi

et menons par ces points des purallcles à OV.

(,)uaiid X varie; de à -■ i lang œ qui est

nulle il'abord croit indéiïniment : de là une première brandie de courbe OA qui se r»ppracfie de plus en plus de la par.illèle à Olf mcnco par le point V. Hi r. augmente encore

d'une maniciH! continue de— à -g- '" ioncfie. SI. tinn tung ic devient négative; elle a d'abord

absolue liés coiiïidéruble, diniinuc ensuite, et prend la valeurOpnurx^^.T;

^ îT, elle (If^vioLit positive et aiigmoiilc iiidéfininiont à mesure que x s'approelic! A ces valeurs eorrespoiid la branelie B'O'B située enire les parallèles à OY 8 par les points V et P' dont les abcisses sont x et -j^ ■ Ou obtiendrait une n donnant à a; des valeurs comprises entre

Comme l'ordonnée y est toujours réelle quel que soit a', la courbe se compose d'une iuliiiité de branelies telles que BOB' ; elle a une inlinilé d'asymptotes parallèles à OY et

dTt n tt 5it 3ir

elle rencontre l'axe des a: aux points qui correspondent auï valeurs suivantes de x :

— Sti, — Sît, — ff, 0, ff. 2îr, Stt ,

et tous ces points sont des centres de la courbe.

Ek. s, CvclOÏde. la cycloïde est ta courhs dtcrile par «il piiml de la ci cercle qui ronle gans gtieier sur uiif drolle indéfinie.

Soit OX une droite lîxe, R le point de contact d'un cercle de rayon r arec cette droite, et M le |>ninl de la circonférence qui engendre la courbe. Nous admettrons, qu'à l'origine du mouvement, le point générateur comcîde avec le point de contact O du cercle et rie la di

Prenons pour axe des a; la droite OX, et pour axe des j une perpendiculaire à cette ligne élevée ou point 0. Lorsque le cercle ronlanl occupe la posilion indiquée dans la fîgnrc, les ':oordonnées du point M sont

œ=OP = Oa-PR, !, = CR-CS.

Désignons par f l'angle que fait le rayon CM avec sa direction p^mitive CK. D'après la nature du mouvement, on a OR = arc Mli = ry ; do plus l'R= SIS = l'sin ç, et se =! r cos f. En substituant, il vient pour x cty

(S) œ = r(p-sinï), y = r {l — cos f).

On en déduit

SI on substitue ces valeurs dans la première des égalilc lion de lu eydoTde en coordonnées cartésiennes

(7) ^ = r.mm'-:^±l^3^

- oO"2 -

Il esl préréiaLIc, poui' consli'uive la coiiriie, clc fai quons d'abord que y s'annule pour j ^ et ^ 2^ correspond à cos ç = — 1 ou e =^ ;r. Lorsque f var de à îrr, et l'ordonné t/, qui est nulle d'flbori), ¥»leur 2r pouf ^ ^^. Si y ougmeute de 3- à 2^, œ i 't/rr, tandis que y diminue jusqu'à 0. On obtient t

PB uSEgP di'S équaliniis (6). iWir , tandis que îa val 'ie depuisO jusqu'à n-, œ augmente lugmenlR et prend sa plus grande iiitinue de croître depuis ;r)- jusqu'à nsi un premier are de i;ourbe dont l'ordonitée maximum est égale BU dismètre du cercle.

Il est évident que o augmeut^nt de 2;^ à iir, de i^ à 6^, elc. l'ordonnée ;/ reprend les mêmes valeurs qno lorsque f varie entre et 2;r : la ejcloïde se compose donc d'une inCn lié d'srcs cganx à OAO', a7ant pour base une longueur égale â la circonférence du cercle roulant, et pour hauteur le diamètre de re cercle.

Il est facile de montrer que la normale à la cycloïde en un point M doit passer par le point de contact R. En cITet, le cercle C a, au point R, un élément infiniment petit eoraman avec la droite 00'; or, pendant que les ëlcinents qui eûïneidenlenrH se séparent, jusqu'à eo que l'élément contigu du cercle vienne coïncider avec l'élément suivant Hr' de la droite, le point R reste immobile et le point géneraleur M décrit nu are de cercle infiniment petit perpendiculaireà MR et dont le prolongement est la tangente à la courbe au point M ; il en résulte que le rayon RM perpendiculaire à la tangente sera la normale à In cycloïde au même point.

Le raisonnement pré, ;iident peut s'appliquer au cas où lu ligne flxe, sur laquelle roule le eercle, est une courbe quelconque, et on a cette propriété : La droite quijoint le point générnt&ur ai-ec le point de contact du cercle roulant sitr ane ligne fixe est nomuUe à la cotirlie décrite.

si la courbe décrite par «n point de la eirconférmai d'un ceri:le qui route sans glisser sur un cercle fiie.

Soit le centre d'un cercle fixe de rnyou j'o, et r le rayon du cercle roulant. Supposons qu'à l'origine du mouvement, m soit le |ioint de contact des deux cercles; cherchons l'équation de la courbe décrite par ee point lorsque le cercle de rayon r roule sur le premier. Prenons deux axes rectangulaires (((li se coupent au centre du cercle fixe el dont l'un OY passe par le point ih. Soit C la position du cercle mobile lorsqu'il louche le cercle fixe au point m,, et M le point générateur. Menons BIP et CH perpendiculaires à OX, et MS parallèle à cet axe. Si on représente par ¥ l'angle que faille rayon CM l'égalité des arcs mm, et mi,,W,

LOÏDG.On appelle!

angle MGR

Ces formules peirnetlejil de cbIcuIct les eooriionDÉes xtty d'un poinl d

pour la distancfi d'un po[iit de la 100*0 au centre du crrele fixe, rf' = (r + r„)- + ,^ - 2r (r ^- ,■„) cos f-

lit. il

Considérons les valeurs de ? comprises entre et 2!r. La plu^t grande valeu respond à cos » = — 1 ou ^ = 11; on a, dans ee ci,s,d = r„-^-■Ùr■, si cos j

ir de .

= 1, fi est ie réduit i ?■( ; ce qui a lieu pour ï =; el p = 2». On obtient, pour ces difrérenles valeurs de p,nn arc de courbe m Ain', tel que la base mni,ni' est égale à la circonférence du cercle roulant, et dont le point le plus éloigné du centre du cercle fixe est distant de la circonférence de ce cercle d'une longuenr Aa^Sr. En continuant de faire croître p de Sir à iit etc., on obtiendrait une série d'ares égaux k mAm'.

La normale ii la courbe au point M est la droîlo qui joint le point généiatcur SI un point de contact m, des deux certlcs.

Supposons que les rayons des cercles soient égaux, et prenons le poinl m pour origine des coordonnées; il faut changer yen jz-t- r„, elles formules (8| deviennent dans ce tas

X = 27-0 sin f-r, siii 2?, </ = 2f, cos p — i-, {I + cos 3^); ou bien,

T^2r, sin ï (I - cos ?). y = 2ro cos ? (( - cos y|. Ou Cl) déilnit

tansp = -, cosp = -^=,

œ' + !,'=KMl-cos¥l'i cil éliminant ^, on trouve, pour l'équation delà courbe

Ainsi, lorsque les rayons des deux cercles sont égaux l'ëpicycloïde est représentée par une équation aigé

Ex, ». Déviloppante du cebcle. On appelle ainsL i ctnirbi: décrilc par un point d'une droite qui roule taii gliiaer iur tin cnrcle fisre.

Plaçons l'origine d'un syslème d'axes rectangulaire au centre du cercle flxe et faisons passer!' par le point de cnnlacl m de la droite et do

consiiiiipons une position Mw, de Is ilraite [■oulaiile, et, soit SI le peint li" la On »

ï = OH-.Sm„ !, = i„,R + m.

Appelons f i'aiigle in,Om ni r^ Ip l'oyon du eorele lise. Kn ppmarquiiti

formuliîs qui servent à «aleuler les coordonnées ar et y d'un poinl quplconi|ue i!e la courbe décrite. On en déduit pour la distance d'un point de la courbe au centre du cercle iixe

Celte distance auRniente de plus en plus avec ? ; la couihe Sera une spirale indéfinie ayant pour origine le poinl tn. La droite roulante est dans cbncune de ses positions nor-

REHAnQUE. Les discussions <]iii précèdent apprennent à tracer opproximativcnicnt nne courbe donnée pnr son équation. Pour le faire avec plus d'exactitude, il Tandrait dclcrminer les éléments suivants :

■i" L'expression du coefficient angulaire de la inngentc, pour suivre avec soin l'inclinaison de celte dpoile, lorsque le point de contact se déplace sur la courbe. Il est surtout utile de connaître les points où la tangente est parallèle aux axes, ces points correspondent en général à un maximum ou à un minimum de l'une des coordonnées.

2" Le sens de la concavité des différentes parties de la courbe pnr rapport aux axes.

3° Les asymptotes des branches infinies.

4" Les points remarquables de la courbe, tels que les pointa de rebroussemenl, c'est-à-dire les points où viennent s'arrâter deux branches de la courbe; les points multiples, c'est-à-dire les points où passent plusieurs branches de la courbe, etc. Toutes ces questions qui se présentent dans l'étude d'une ligne plane seront traitées par les méthodes du calcul infinitésimnl, voir Cours d'analyse injînilésimale par P. Gilbert.

. STROFitoJDK. Étant donné un angle XOY, on mène, par un point Iixe A une sécante qui rencontre OY eu R, et on prend de chaque cété du point K. IN^OK; le lieu des points M et N est une courbe appelée strophoide ou

1m iirniti's nx, OY |H>[ir axes, son cqlliiUon osl

l'ahci^so liii pHÏLit A; en coordoniices pdliiirc^, ci

E,\. 9. Conchoïde de Nieom'ede. Élaiit douiips un point fiso A el une droite t)D', on lire, par le point A, une sécante qui coupe la droite doiincc en K, et oi> prend ù (Iroilc cX à gauelie de K une longueur conslanle KJI = KN = 6; laeoiielioidc est le lieu des points AI et N.

Si on place l'origine eu A et ai la perpeiidicnbii'e iiliuissee de ee point siir DD' est l'aïe des œ, l'équation de cette courbe est

a ctHnt la distunce de la droite donnée à l'origine. F.ii coindonmies poliiires, elle est définie par

Ex. a. Lvnnçon de Pn'mt. Étant donnés on cercle de rayon r, on niciic ]iur l'extrémité A d'un diamètre fixe une sécante qui rencontre le eerele en K, et on porte, de chaque câlé du point K, des longueurs constantes KM = KN = Ë; le lieu des points Met W est la courbe appelée limaçon de l'ascal ou conelioïde circulaire.

Si A est le pfile et le diamèlre fixe l'axe polaire, on trouvera pour l'équation delà

et, en coordonnées cartésiennes,

(ï" -H 1/' - 2rj^)'=: t' (»' M- y'I.

Ex. *. Scfirabiie. D'un point fixe A pris sur la bissecli'ice d'un angle droit XOT, on abaisse ]des perpendiculaires sur une longueur constante P(j qui glissa sur les câlcs de l'angle; le lieu des pieds de ces perpendiculaires est la courbe appelée scarabée.

En prenant pour axes les bissectrices de l'angle donné et on posant l'y = 26, OA = a, elle est représentée par

Si le point A est le pflle et la bissectrice l'axe poluire, son équation en coordonnées polaires est de la forino

p = 6cos2«-<.cos

iW.

îx. s. Rosace n quatre bmnches. Du sommet d'i

.i. angle

droit XOY,

■fiendieulairessur une droite de longueur coiisla igle; le lieu des pieds dos perpendiculaires est la ïllccst représentée par

nto l'Q qi

ros.ee à i =

m glisse su ]ustrelirar

coordonnées cartésiennes, et par

coordonnées polaires, 2i étant la longueur PQ.

~ 50fi —

Ex O. Ovales rfe Deacnrtea. Le l[eu des points tels, que la somme dp leurs distances à deux points fixes multipliées respectivement par deux nombres doiiDiSs est constante, s'iippelte ovale de Descnrtes.

Ex. V, Podaire». Etant donniSe une ligne S, si on mène, pur un point fixe O, des perpendiculaires snr ses tangentes, le lieu des pieds de ces perpendiculaires est une courbe dérivée de la première à laquelle on a donné le nom de podflîrc du point pai' rapport à la ligne donnée.

Afln d'arriver facilement à l'cqualion de la poduiie, prenons le point O pour IVi(;iiie d'un système d'axes l'ectangulaii'cs, et soit

«i •+- uy — 1 1= la tangente il la courbe donnée S. On sait que les cosinus directeurs de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur cette droite sont proportionnels à u et v; il en sera de même des coordonnées œ et y du pied de cette droite; on peut donc écrire l'égalité

Les relations (s) donnent

Il «'ensuit que, si la coui'bc donné F|w, ii)=:0, la podairc de l'origine s

1' delà perpendiculaire dccrit l'extrémité du rayon OP onveli nticlles, par

Réciproquement, si le pied 1' de la perpcndiculuire dccn't une ci la perpondiculaire élevée à l'extrémité du rayon OP enveloppera ientéc, en coordonnées langentlclles, par

rbe P, {x, ,j) = me cnurbe rcpré

Avec ces principes, démontrer : f Que la slrophoîde est le lieu des projections du pied do la directrice d'une parabole sur les tangentes à celte courbe, c'est-à-dire la podaire du pied de la directrice.

2° Que le limaçon de Pascal est la podaire d'un point A pris sur le diainèlro du cercle de rayon r,

3" Que la rosace à quatre bronches est la podairc du sommet de l'anfile XOYdela courbe représentée par «' -t- u' := âb'n'u'.

Ex, S. Uonslruire la courbe p' = (i=cos2w (Lemniscale de Berzionilli), et montrer que la podaire du centre est définie par p = = (i^cos ^-

Ex. o. Étant doiiiides deux circoiiférenees et 0', piir im point lt\e A de la ligiiu des ceulies 00', on mène une sécante quelconque qui icucoutie les cercles en K el K' j montrer que le point d'interseetion des droites OK, O'K' décrit une ovale de Deseartcs.

Ex. ■•. Construire la courbe: p;=4i'cos'5(Cardioïdel; c'est un cas particulier du limaçon de Pascal, lorsque b = 3''.

En. II. Construiro les courbes définies par les équations :

lo yS 96nV-»- lOOd'j!' — œ< = 0(CoHrbftduiJii.lile);

2» j'^z T-(llyporbole parabolique);

ô" -ifx — û:' + 2ii= + a: — 2:=0 {Hyperbole rodoiidunle) ;

îi" y =x^ — 4ic' -t- b (Poi'abnlo tiibic|urj ;

Voir ensuite le Chap. X pour les lieux géomélcii^ues.

§ III. COURBES ^EMItLADLES.

2*7. On (liKjue deux courbes AB et «6 sont semblables et ssmhlahtement placées, si en menant d'un point fixe des rnyons i]ui rencontrent CCS courbes en P, Q, It...., p, ff, r...., on n

0^ Oq~ Or

Le point est le centre de similitude, et la (]uantité /; le rapport de similitude.

Il en est encore ainsi poui- deux cotrrbes AB et cd leiles qu'en nionanl de deux points fixes et 0' des rayons parcillèlcs OP, OQ, OR...., O'p', O'q', O'r'...., on ait les relations

~ = .^ = — = =t Oy ~0'ç' O'r'

Poui' exprimer plus lirièvcnicnt cette siniilitutlc de forme et de situation, on dit qiiu les courbes placées comme on vient de l'indiquer sont

Iwmolhèliqm-s. Deux poinis situes sur un même riiyim tels quePetp sont tlils homolo<f lies. Oi\ lionne le inOmc nom aux droites (|ui joignent (les points homologues dans les deux courbes.

Il rcsiille de ces dt^Hniiions que les droites homologues PQ, pq sont

pjirn Hèles entre elles, et leur rnppoit est i^gnl ù t;ear les Iriiingles OPQ et Opf/ sont scmlihibk's. Si nu suppose qiic le rnj'on OQ se rjipproelie indéfiniment de OP, les droites homologiiesPQjpy restent parallèles entre elles et il en sera de même à la limite, lorsque les points Q etç viennent respectivement se confondre avec les points P cl p; donc, les tangentes aux points homologues à deux courbes hoinothétiques sont pai-^s. ^■■- rallèles.

Deux courbes situées d'une manière quelcanque dans un plan peuvent être semblables; il faut pour qu'il en soit ainsi qu'on puisse les plaeer de manière qu'en menant par un point fixe des rayons aux différents points des deux courbes, les rayons dirigés suivant la même droite soient prnporiionnels. Dans ce cas elles ne sont pins homothétiques, mais simplement semblables.

84S. Trutiver l'iiiiiiilitin ijàièrnte des cottrbes sembtaliles à une coitrbe donnée [{x, y) = 0.

Soit AB (/('(/. 95) la courbe représentée par l'équation t{x,y) = 0. Menons par l'origine les rayons OP, OQ, OR,..., et divisons ces longueurs aux points p, q, r,.., de manière à ce que le rapport des rayons vecteurs soit constant et égala/;. L'ensemble des pointa}), ({, r... formera une courbe semblable à la proposée. Soient a; et y les coordonnées du point R, et x', y' celles du point homologue )-. On a évidemment par les triangles semblables

Oi-

d'oii

et, par conséquent, l'équation

f (fa', %■)»,

~ 509 — comprend toiiles les coiii-bes Iioinothéliqucs à la proposée, le tenlrc d'homothétie étant l'origine des coordonnées,

Transportons les axes OX, OY avec la courbe ab dans la position O'X', O'Y' pai'allèlemenl aux axes primitirs; la courbe ab vient occuper la position ed, et son équation par rapporl aux nouveaux nxcs sera la même qne pour les axes primitifs, c'esl-à-dire î{kx', ky') = 0. Mais, si on la rapporte à ces derniers, on doit changer x' et y' en x — p, y — q, p etq étant les coordonnées de la nouvelle origine; il en résiiKc que l'équation

représente toutes les courbes homotbétiques à lu proposée, c'est-à-dire toutes les courbes semblables et semblablement placées.

Afin que la courbe cd occupe une position quelconque dans le plan, faisons tourner les axes O'X', O'Y' avec la courbe cd d'un angle «; l'équation de la courbe cd pour celte nouvelle position des axes sera toujours f(kx', ky') = 0. Pour obtenir son équation par rapport aux ases primitifs OX, OY, il faut prendre les formules de transformation (N" 8)

' sin

x' sin a -I- v' sin 6

^ ' Sin 8

et les résoudre par rapport à a:' et à y'; en substituant les valeurs trouvées dans f [k:^ , ky') = 0, on aura l'équalion qui représenle toutes les courbes semblables à la proposée.

ï,\. ». Ls courbe Jonnée est le cercle œ' -h ï' — r^:= 0. L'équalion des courbes liomuthé tiques de ue cerde est de k forme

ft'fo;— p]*-l-*'(y — 9)' =r*, on (^ — vf -^(V — <tf =-^^'

(!l, par suite, loillcs les couiljes sembl^liles ù ta profiosee sont des eoreles dont le rayoi peut avoir uue inlcur quelconque.

Ex. B. La eourbo douilée est i'ellipse rapportée à son ceutro et à deux dianiÈlre; conjugués

Une courbe horaolhclique quelconque à ia proposée est représentée par l'équalion

„'i "^ b'i —A" c'est une ellipse ayant pour centre le point [p, j). Soit 0' le centre de cette ellipse; menons par ce point deux drailcs O'X', O'Y' parallèles aux diamètres conjugués de l'ellipse donnée ; l'équation de l'ellipse hqmothétique pour les axes O'X', O'Y' est

il en résulte que O'X', O'V sont aussi deux diamètres conjugués de cette courbe; de plus, ces diamètres sont proportionnels à ceux de i'ellipso doiinée. Doue, Deux ellipseï lemblMes eC semblablenKHt placées ont leurs diamélrei parallèles et proporlionniila. Ex. 3. La courbe donnée est une hyperbole rapportée à sou centre et à deux dia-

mèlres conjugués— — ^;=l.

Il est évident qu'en suivant la marche indiquée dans l'exemple précédent, on arriverait à ce théorème : Deux hyperboles homoiliétiqaes onl leurs diamUres parallèles et proportionnels.

Ex. 4. La courbe donnée est la parabole v':=3;ix.

L'origine étant le centre de similitude, l'équation des courbes homotbétiques est

ce sont des paraboles; comme le paramètre peut avoir une valeur quelconque, il en résulte que deux paraboles guelcanques sonl semblable). Ex. S. Reconnaître si deux coniques â centre représentées par les équations Ay' + SBcy -+- Cx' -+- aOy -H 2Eï -4- F = 0, A'y' -+- SH'x>j -H C'x' + Wy ■+■ Wx -H F' = 0,

sont semblables et aemblablement placées.

Si on transporte les axes parallèlement ou centre de cliaque conique, les courbes

donn.

■es ont dos équations de la forme

Ay'-i-iBxy^Cx' = U.

JVx'-^-2]^'x>/-^-C'^':^W,

et, en

coordonnées polaires,

p' (A sin= 10 -+- 2B sin u ces w -t- C cos" w] — H,

p" (A' sin= (0 -h2I(' sin a cos w ^- C cos' «) = H'.

Or,

pour que les coniques soient semblables, il fout que les diann

lèles <

et proportionnels ; par suite, le rapport

f.' II A' sin» s. -1- 2B' sin « cos ^ -4- C cos' 6,

p" II' A sin' « -H 2B sin ». cos 6, -4- C cos' M

doitê

Ire constant quel que soit s): ce qui exiee que l'on ait

diamètres soient parai-

Donc, deux coniques à centre repi'éeeiilées par l'égiialion gmèralc se coeffieieiits des termes da second degré sont proportionnels. Eï. B, Toutes les logarilhmiques sont des courbes seiublalilBS. Les courbes qu'on appelle siiisi sont reprcsciilées pul' r«r[UBtion.

En changeant à la proposée

c'est une logarithmique dont le paramètre m' est quelconque.

Ex. *. Toutes les courbes que l'on obtient en faisant vai'iei- le pai'amèti'c p dans l'équallon f (», yiP):=(i sont des courbes semblables.

Bemarqaoos d'abord que toute relation entre les longueurs ic,y,îj, obtenue en laissant arbitraire l'unité linéaire, doit être bomogène par rapport àx,y,p; tar si les nombres xi,yi,pi obtenus avec une certaine unité satisfont à l'équation, il en doit être de même des nombres Axi, ky,, kp,, obtenus avec une autre unité ; ce qui exige que, dans les termes de l'équation, la somme des ejiposanls de», ^, jisoit la mémea&n que le Taeleur k disparaisse. Cela étant, les courbes homotbétiques sont représentées par

el, en posant Jt = /'))' I pnr

[Hx.ky,kp'i = 0,

fK!/,p')--0.

Puisque p' = -est quelconque, ilen [■ésullc que les courbes semblables sont les lignes

représentées par f (œ, y, p) = 0, lorsqu'on fait varier le paramètre p. On démontrerait également que si l'équation proposée renfermait n paramètres

p, g, r , toutes les courbes que l'on obtient on faisant varier proportionnellement

ces paramètres sont semblables, le centre de similitude étant l'origiuu dos cordonnées.