CHAPITRE X
Théorèmes ot problèmes sur les coniqnes; lieux géomotriqaos.
249. Nous nvons réuni, d;ins ce ehapitrc, une série <Ie propriétés intéressantes des courbes du second ordre, en les proposant comme exercices aux élèves désireux de se familinriser davanlage avec les procédés de la géométrie analyliijue ; nous y avons ajonlé quel(]iies applications des coordonnées triangulaires et tangenttellcs ainsi qu'un ensemble de lieux géomciriques k déterminer. Plusieurs de ces quesiions ont été données dans différents concours en France. L'intérêt qui s'aiiache à chacune d'elles développera chez les jeunes gens le goùl de ces sortes de recherches et l'habilude de la réflexion ; ils y trouveront une ample roaiicrc pour .nppliquer les ressources de l'analyse à la résolution des problèmes de la manière In plus simple et la plus élégunle.
$ 1. TJlÉOni'JiES ET K^KHCJCKS SUR LES COURBES DU SECOND OnDRE. {Comilonnées Larlésit'nncs),
du [oyurk la (nugenic, et divisée par le rajon vecteur, rst une quantité con.sltinte.
Ex. a. On prolonge deux Jisin^lres coojuguéa jusqu'à leur rencontre avec une directrice, et, de chaque point d'intersection, on abaisse une perpendiculaire sur l'aulro; montrer que ces perpendiculaires se rencontrent au foyer correspondant.
Ex. s. La somme des carrés des normales menées aux extrémités de deux demi diamètres conjugués d'une ellipse est constante,
Ex. 4. Dans l'ellipse, il y a toujours deux taugEntes réelles psirallèles à uitp droite
donnée; dans l'hyperbole, ces (angenles peuvent être imaginaires, et, dans la paiaLali;, on ne peut mener qu'une seule tanj^Rute purallcle it une direction donnée.
Ek. S. On mène une tangente à l'ellipse inclinée d'un angle a sur l'axe majeur; montrer que le produit des perpendiculaires abaissées des oxlrémités du premier a\c sur eeUe tangenle est égal à fi' cos* 6.
Ex. e. Par un poinl M d'une ellipse, on mtne les cordes MPN, MF'N' passant jmr les deux foyers ; démontrer la relation MP MF'
Ex. 9. r.e minimum d'une tangente » l'ellipse comprise entre les axes est égal à la demi-somme o -f- 6 des axes.
El. S. Le maximum de la distance du point de contact d'une tangente à l'ellipse à 1» projection du contre sur eelte tangente est égale i la demi-différence a — 5 des axes. Ex, V. D'un point T, pris sur une tangcntcà la parsbole, on abaisse une perpendiculaire sur le rayon vecteur du point de contact ; prouver que la dislance du foyer au pied de la perpendiculaire est égale à la distance du point T à la directrice. En déduire un moyen démener i la parabole une tangente par un point extérienr.
Es. iO. Dans une parabole, l'ordonnée focale FB est nioyenne harmonique entre le» deux segnionls d'une corde focale quelconque HIFM', c'cst-l-dire que l'on a : MF MK — FB M'F~"FB — Jl'F '
Ex. II. La droite qui joint le foyer à un point quelconque de la directrice est perpendiculaire à la polaire de ce point,
Eï. it. Toutes les droites conjuguées qui passent par le foyer sont rectangulaires, et, réciproquement, un point tel, que les droites conjuguées passant par ce point sont perpendiculaires, est un foyer
Ex. 18. Les droites menées au pôle 1 une droite el au point où celte droite rencontre la directrice sont perpend cula
Ex. 14. Par chaque po nt du pla i une conique, on peut mener deux droites conjuguées rectangulaiies
Ex. 15. Le rapport a harmo q e d polaires de quatre points en ligne droite est égal à celui de ces points
Es, •«. Deux demi-d ametres conj gués de i'ellipso qui font les angles a el p avec le grand axe donnent lieu a la i eial o
«"'Bin2«-t-6"5in2,î = 0.
Ex. «». Soient OD, OE deux demi diumùlfes conjugués de l'ellipse, F le foyer Al'extrémité du grand axe; on aura :
(FD-AO)'-l- [FE — AO)'="Î^F^ Ex. ts. Parmi tous les systèmes de diamètres conjugués de l'ellipse, les axes forment une somme minimum el les diamèlres conjugués égau.-i «ne soi Ex. •». Dans l'ellipse el l'hyperbole, le rapport anliarmoniqiia de q' est égal à celui de leurs conjugués.
Ex. ««. Dana une ellipse, la carre d'un rayon central est égal à la sonu carrés des domi-axes tUmmuëe du produit des rayons vecteurs qui aboutissen
Ex. »■. La somme des carrés des dcmi-aies d'une ellipse est égale à la somme des produits des rayons vecteurs qui aboutissent aux extrémités de deux diamètpcs conjugués quelconques.
Ex. 9X. Dans l'eilipse, la somme des carrés de» différences des rayons vecteurs menés aux extrémités de deux demi -diamètres conjugués est constante et égale'au carré de h distance focale.
Ex. »». Dans l'ellipse, le produit des rayons vecteurs, qui aboutissent à l'extrémité
de l'un des diamètres égaux, est égal à la demi-somme des carrés des demi-axes.
Ex. «4. Dans l'hyperbole, le carré d'un rayon central est égal à la différence des
carrés des demi-axes augmentée du produit des rayons vecteurs qui aboutissent à son
extrémité.
Ex. 9fi. Dans l'hyperbole, tout dcmi-diamèlre est moyen proportionnel entre les rayons vecteurs menés s l'extrémité de son conjugué.
Ex. ae. La différence des carrés des demi-axes d'une hyperbole est égale à la différence des produits des rayons vecteurs menés aux eïli'émités do deux diamètres conjugués quelconques.
Ex. »*. Dans deux hyperboles conjuguées, les sommes des rayons vecteurs, menés aux exlrémilés de deux diamètres conjugués, sont égales entre elles.
Ex. 9». Dans l'byperhole équilatère, tout rayon central est moyen proportionnel entre les deux rayons vectetirs menés i son extrémité.
Ex. «O S n m n p I t ém D t E de deux demi-diamètves conjugués, des corde p 11 1 qu I q DD EE I urs extrémités D' et E' appartiendront & deux diamèt lugu
Ex. »• L d d t J d l génies quelconques » une conique est
parallèle à 1 d n p t I d met parallèles à ces tangentes.
Ex. SI Le d m n ut t d un diamètre à un point d'une conique, déterminent, sur le diamètre conjugué à partir du centre, deux segments dont le produit est égal au carré du demi-diamètre conjugué,
Ex. a». Deux diamètres conjugués déterminent sur doux tangentes parallèles d'une coniqne, à partir des points de coutact, deux segments dont le produit est égal au carré du demî-diamèlre parallèle aux tangentes.
Ex. 83. Si on fait tourner autour des extrémités D et D' d'un diamètre deux cordes qui se coupent sur la conique, ces cordes déterminent sur les tangentes parallèles en D et D', k partir de ces points, deux segments dont le produit est constant et égal au carré du diamètre conjugué.
Ex. aJ, Quand deux tangentes parallèles sont rencontrées par une troisième, le* droites mene'es du centre aux points de rencontre sont deux diamètres conjugués.
Ex. 3S. Une tangente quelconque k une conique détermine sur deux tangentes fixes parallèles à partir des points de contact, deux segments dont le produit est constant et égal au carré du demi-diamètre parallèle aux tangentes fixes, Ex. as. Deux tangentes parallèles quelconques déterminent sur une tangente fixe
à partir de son point de contact, deux segments dont le produit est égal et de signii contraire au carré du demi -diamètre parallèle k la tangente fisc.
Es. a». On oonâlruit tteus ellipses S et S' telles que les demi-axes de la première coïncident en direction avec ecux de la seconde, mais soient respectivement proportionnels à leurs carrés :
i" Le parallélogramme, construit sur deuï demi -diamètres quelconques Dj, Da do l'ellipse S, vaut le parallélogramme construit sur les demi-axes de cette ellipse assemblés sous l'angle | que forment entre eux les conjugués respectifs de D^ et Ds dans l'ellipse S' ;
2° Lorsque les diamètres D,, Db sont conjugués dans l'ellipse S, leurs conjugués respectifs dans l'ellipse S' se coupent à angle droit ;
S" Les perpendiculaires abaissées des extrémités de deux diamètres quelconques Di, Dj de l'ellipse S sur les directions qui leur sont respectivement eonjuguées dans l'ellipse S' sont égales entres elles.
Es. as. Si on désigne par /i l'angle de la normale en M à l'ellipse avec le rajon focal qui passe par ce point, par b le diamètre OSl, par 6' son conjugué, on aura ;
Ex. 38. Dans l'ellipse et l'hjporbole, la tangente et la normale en un point forment un faisceau harmonique avec les rayons vecteurs de ce point.
Ex. AO. Dans la parabole, la tangente et la normale en un point ferment un faisceau harmonique avec le rayon focal et le diamètre qui passe par ce point. Donc la tangente et la normale rencontrent l'axe en deux points équidistants du foyer.
Ex, 41. Dans la parahole, la polaire d'un point et la perpendiculaire abaissée du pôle sur la polaire rencontrent l'axe en deux points équidistants du foyer.
Ex. it. Dans l'ellipse et l'hyperbole, il y a toujours doux normales parallèles à une direction donnée ; elles sont toujours réelles dans l'ellipse mais, dans l'hyperbole, elles peuvent être imaginaires ; dans la parabole, l'une de ces deux normales est k l'infini.
Ex. 48. Les pieds des quatre normales que l'on peut mener d'un point du plau à une ellipse sont sur une hyberbole équilatère qui passe par le centre et le point du plan, et dont les asymptotes sont parallèles aux axes de l'ellipse.
Ex. 41. L'hyperbole équilatère menée par les pieds des normales issues d'un point à une conique est le lieu des milieux des cordes que des cercles, décrits du point donné comme centre, interceptent dans la conique.
Ex. 4S. Les pieds des trois normales qu'on peut mener à une parabole par un point donné appartiennent h un cercle pa&sant par te sommet,
Ex. *». Si, d'un sommet Ai d'une conique S, on abaisse des perpendiculaires sur tes quatre normales menées à la courbe d'un même point P, les quatre points Hi, M,, Mj, Mj où ces perpendiculaires rencontrent la courbe sont sur une même circonférence.
Ex. 49. Si l'on fait passer une circonférence par les pieds de (rois quelconques des quatre normales menées d'un point à une ellipse, le quatrième point conmiun aux deux courbes sera diamétralement opposé, sur l'ellipse, au pied de la quatrième normale.
Ex. 4S. Par un point M d'une ellipse, on peut mener trois normales à la courbe indépendamment de celle qui a son pied en M ; sur chacune de ces normales, on porte.
à p.irtir du poinl H, une longueur égale au segment inlcreepté entre le grand ase et l'sllipse ; les trois points Biiisî obtenus sont situés sur uu c<.'rclo rjui touche l'ellipse en M.
Ex, 16. La tangente en un point quelconque de la parabole coupe la directrice et roi'donnée focale prolongée, en deux points également distants du foyer.
Ex. S*. Si deux paraboles égales ont un axe commun, une droite tangente à la pai-abûle intérieure et terminée à l'autre courbe sera divisée par le point de contact en deux parties égales.
Ex. SI. Dans une conique à centre, les lignes menées de chaque foyer au pted de la perpeiidiculaireabaissée de l'autre sur la tangente se coupent sur la normale et la partagent en deux parties égales.
Ex. St. Si, par les différents points d'une taugenteà une parabole, on mène une tangente et une droite au foyer, l'angle de ces droites est toujours égal à l'angle que fait la première tangente avec le rayon vecteur de son point de contact.
Ex. »*■ Si par deux points quelconques de ta corde des contacts de deux tangentes, on mène deux parallèles à celles-ci, on forme un parallélogramme dont la seconde diagonale est toujours tangenle k la parabole.
Es. 94. Si une corde PP' passe par uu point lixe O, le produit tang ^ PFO - tatig i P'FO est constant.
Ex. SS. Si on mène des normales aux extrémités d'une corde focale, une parallèle il l'axe majeur, tirée par leur point d'intersection, coupe la corde en deux parties •B.1,..
Ex. &«. Soit 8 l'angle des tangentes à l'elhpse issues d'un poiut S, p et p' les distances
Ex
. S9. Si,
paru
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quelconque
1 s, or
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nique a
ux points R;
■,»■', on a :
SR SU' Sr Se' £x, 59. L'angle formé par les droites menées du foyer a d'une tangente quelconque avec deux tangentes fixes est constant dans l'ellipse et l'hyperbole; dans la parabole, cet angle est supplémentaire de celui des tangentes.
En. SO. Si on fait tourner une corde MM' autour d'un point fixe P, ta somme algébrique des rayons focaux F)l, FM', divisées respectivement par les distances MPi, M'Pj des points i] et SI' à la polaire du point, est constante ; c'est-fi-dire que l'on a : FM FM' MPi"^M'Pi~"""*'" El. Oo. La moitié d'une corde focale, dans l'ellipse et l'iiypiirbole, est troisième proportionnelle entre le demî-diaraèlre parallèle ot le demi-axe focal.
Ex. et. La somme de deux cordes focales de l'ellipse parallèles à deux diamètres conjugués est constante.
Es. SI. Dans l'hyperbole, la différence de deux cordes focales respectivement parallèles à deux diamètres eonj ugué,
(, as. Si on iJcsigne par ui, «g les paramètres angulaires di le corde qucleoiique de l'ellipse, on a, pour la longueur D de ci
a' élunt le lienii-iiianièlrc pal'allèle h la corde.
En. 0«. Trouver l'expression de l'aire du triangle donl les sommets sont trois poiuts de l'ellipse «,, Ug, lia.
R. a.6 sin ^ (.., - »,) ùu i K - «,) sin J («> - «.)• Eï, OS. Trouver le rayon du eorde cii'eonacrit au (Haiigle des trois points i*i, %, itj d'une ellipse. H. — j I>', b", h'" éLant les demi-diamètres parallèles aux ofités.
Ex, OO, On mène, dans une parabole, une cm-de quelconque MM' qui rencontre l'axe en ; si A est le sommet de la courbe, N et N' les projections des extrémités de la corde sur l'aie, on aura: ÂÔ' = AN.AN'.
£x, 09. Si l'on mène deus cordes focales dans la parabole, les rectangles des segments d'une même corde sont entre eux comme les cordes entières.
Ex. 6». Si deux cordes rectangulaires partent dn sommet de la parabole, le paramètre est moyeu proportionnel entre les abcîsses des exli-émîtés de ecs cordes.
Ex. as. Si, par le sommet d'une parabole, on mène une corde AB, et, par le point fi, une perpendiculaire à AB qui rencontre l'axe en C, la sous.corde AC est égale à quatre fois la distance du foyer à l'extrémité du diamètre conjugué de la corde.
Ex. «•. Si, par le foyer cnuuFdd q ne de quel-
conque, et, qu'aux points où II up i u b n I ta g en ces
points, ces quatre tangentes foim u q I d I d 1 ont les
cordes communes aux deux con qu
