MF ■ HF
Ex. SS. En deux points d'un élevée sur le milieu de la corde pa normales par chacun des axes.
Ex. 84. Mener, dans l'ellipse.
TF'"
ellipse, on mè e par les miiiei
is normales; la perpendiculaire îs segments interceptés entre les
ormale telle que laporli
Ex. 8S. fioient u et j3 les coordonnées d'un point ; on mène à une eUi maies aux points où la polaire du point («, |9) rencontre la courbe ; pro coordonnées du point d'intersection des normales sont i
Ex. 80. Étant données deux paraboles égales ayant le miime axe et dirigées dans lo même sens, on abaisse d'un point quelconque do la parabole extérieure une sécante perpendiculaire à l'axe ; montrer que le produit de la sécante entière par la partie extérieure est constant.
Ex, 83. Si un cercle coupe une parabole, les lignes qui forment un couple de cordes communes sont égalemenl inclinées sur l'axe.
Ex. 88. Un cercle variable, assujetti il passer par un point fixe P, coupe une conique aux points A, A', A", A'" ; démontrer que l'expression — " '^' 'I,^" ' ^'^"' est eojistante, R étant le rayon du cercle.
e parabole de foyer F ; psr les sommets es respectivement perpeniliculaires à FA, FB, FC ; démonlrur même point.
A, B, C d'une parahnle sont tels, que le triangle ABC ait sou xe de la courbe, les normales en A, B, C se coupent en un
ne parabole et circonfëience
luhlemciit 1
eneuj d cette courbe ; faire passer, irigeute a la parabole, s lises A et B sui l'ellipse, si on joint un point points fi\es, les perpendiculaires élevées sur les iptent sur chacun àe'' aies uu segment dont la it la position du point sur la courbe, harmoniqucmtnt les trois diagonales d'un quaconique inscrite dans le
Ex. 80. Un triangle A, B, C, on mène des ligi
Ex. O*. Si trois points centre de gravité sur 1' même point.
Ex. ea. On donne un parle point donné,
Ex. 9C, Ëtant donnés deux po.
quelconque SI de cette courbe au milieux dos cordes MA et AlB iiite longueur est constante, quelle que
Ex. 98. Deux droites, qui dîvis drilatère, rencontrent quadrilatère.
Ex. m. Si, par un point 0, on mcm efilés d'un triangle, les sin points de renco conique. Trouver son équation.
Ex. 05. D'un point P d'une ellipse de le grand ase et on la prolonge jusqu'à sa axe; le diamètre qui passe par le point P :
le point F parallèlement à OQ.
Ex, sa. Lorsqu'une conique esl inscrite » un triangle, son paramètre est égal au diamètre du cercle inscrit, multiplié par le produit des sinus des angles que font, avec le cercle, les droites qui joignent un des foyers aux sommets du triangle.
Ex. 99. Pour qu'un triangle inscrit dans une ellipse ait une surface maximum, il faut et il suffit que te centre de gravité du triangle coïncide avec le centre de la courbe. Tous les triangles inscrits dont le centre de gravité coïncide avec le centre de l'ellipse ont une aire constante.
Ex, 98. Pour qu'un trîaugle circonscrit à l'ellipse, et renl'ermant l'ellipse, ait une 1, il faut et il suffit que son centre de gravité coïncide
I quatre points harmoniq'
ie ces Ij ■e 0, on
espeotivemcnt parallèles
abaisse une perpendiculaire sur contre en Q avec le cercle décrit sur cet égal à la corde menée dans le cercle par
la courbe. L'aire du triangli triangle maximum inscrit.
Ex. Mi. Lorsque trois tan{ triangle circonscrit d'
est égale i quatre fois 1'
e du
itlel
Ex. d
ment inclinée d la moyenne g m cette longueu d
Ex. lei. d
inclinée du n£m moyenne géon t (
touchent une même branche d'hyperbole, il y a un ; c'est celui dans lequel deux c6lés sont les asympl q I q
q ntro et sur iine direction coiislam-
m I p te une longueur proportionnelle à
j n f elalifs à ce point, l'extrémité do
t q la première et du mËme genre
t une longueur proportionnelle à la longueur constante, rextrcmilé de
celte loLigueui' aura pour lieu une autre pai-abole dont l'ase sera dirigé suivant relui de la première,
Ex. tôt. Trouver, sur l'ellipse, le poftil le plus éloigné de j'extrémilé du pclil axe.
Ex. (•3. Parmi les coniques circonscrites il ud quadrilatère, délermioer celle dont ie produit des axes est minimum.
Ëx. ■•<■ Il existe toujours sur un quadrant de Tellipse deux points où les normales sont ^quidisiantes du centre.
Ex. iO». Inscrire, dans l'ellipse, une corde telle que la somme de sa longueur el de In dislance de son milieu au centre soit maximum.
Ex. €••. Ét.int données deux coniques homothétiques el concentriques, une tangente quelconque de la conique intërîeuro détache une aire constante de ta conique extérieure.
Ex. iO». Trouver sur une circonférence donnée un point tel que la somme de ses dislances à deux po ts do nés s t un max n um nn minimum,
Ex. aos. Dans une ell pse do ) ee inscr re un tr a gle équilatéral tel que le câté soit maximum ou n mm
Ex. aOB. Trouver paru les 1 a gles de pi s g de aire inscrits aune ellipse donnée, celui dont le pér n être est un ma\ nm ou un minimum,
Ex. «ao. Une con que pa se pa tros[.o Is A, A, A5 el touche une droite A. Désignons par S,, S^, Sj les distances des points à la droite A, par p,, ps, pj leurs distances au foyer F, et par ai,a„ «3 leurs dislances mutuelles. On a la relation
Ex, 111. La somme n' -t-6' des carrés des demi-axes principaux d'une conique est mesurée par la puissance du centre de la courbe par rapport au cercle circonscrit à l'un quelconque do ses triangles conjugués.
§ 2. THÉORÈMES ET EXERCICES SUR LES COURBES DU SECOKD ORDRE, {Coordonnées triangulaires et langenlielles,]
Ex. i. Trouver les équations réduites <Jes coniques en coordonnées langentielles. Si on rend l'équation générale du second degré homogène par l'introduction d'une nouvelle variable lo, elle se présente sons la forme
{(11, V, Ml) = Aw' + 2BtHJ -I- Ci>» -4- Wiiiv ~h Evw -4- Ffu' = 0, et l'équation du point de contact d'une tangente (u', v'j peut alors s'écrire
Si on désigne par x, y les coordonnées reetanguloircs du même point, on aura
De mtoe, étant donnée l'équation f(3!,i/, s) = d'une courbe du second crllre, 1 tangeiiie en un point {x', y', z') est reprëaentiie par
Si on appull« » et v les coordonntes tangeotielles de cette droite, il viendra
Eli y ajoutant f (j;', y', 2') ^ 0, et élimiuant les coordonnées earlésieunes, on arriver à l'éqnation taiigcnticlle de la eourbe.
Soitj maiulenant, l'ellipse représentée par
La tangente en un point M(œ', y') a pour équation
telle 3eva l'éijualion tangentielle de l'ellipse rapportée à son centi'c Ou trouverait, de même, pour t'hj-perbole et la parabole,
a^u' — 6V = 1, pv* — 2h = 0.
Eï. 8. Trouver lea coordonnées de la normale correspondante i
de la conique rt'u' + i>V = 1.
Les coordonnées cherchées doivent satisfaire aux équations
Ex. 3, Trouver le lieu des points d'interseelion des uormales à Pour reliipsc, il faut éliminer y entre les relations
Tour l'hyperbole et la parabole, on aurait
aV — i'u' ^ e'tiV, pu' + ^pui>' -h Su' = 0.
€cs ligJics se nommaiit les développées des coiiitjues. Es. 4. Etant donnée l'équalioii d'une conique rappoiléo à &011 ioyvi'
trouTer l'éi^uatiuii ean'espondaiite en coonJonnées tangenticlles.
E\. S. Trouver la longueur de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangenle
Eï. O, Chercher l'espression de la dislance entre le point de coulacl et le pied de la perpendiculaire abaissée du centre sur la tangente (u', v') à la conique
Au' + 2B««-i-Cu' = H.
Soit D la distance cherchée; on n
Mais l'équation du point de contact étant
„/'„' + Vf.,' = 211,
on ■^: x' := — — ^ , j' :^ — ■— ■ En substituant, on Irouveru
2H («"-+- w'>)ï Si on remplace les dérivées par leurs valeurs, il viendra
Eï. S. Trouver les directions et les longueurs des uses de la conique
Au' + 2B«)H-Ci'" = 0.
La tangente à l'extrémité d'un axe étant perpendiculaire à cet ase, on doit avoir D =^ : il en résulte qu'en résolvant les équations
on obtiendra les tangentes perpendiculaires aus axes, et, par suite, ces derniers seront déterminés en direction.
Suit, mahiteiiaiit, p la Idiigueur du l'un des axes, J smi iLicliiiaisnn sur l'axe des i; on
aura: p = - -, -, ar' = pcosl=^ — p*!!'; par suitt,
/■'„- = — 2Hœ' = 2ili.'pî, /•„, = 2fl>i'p'.
Si on rci!j|)hice les dérivées jlar leurs valeurs, il viendra les éi]uations (A — p'H| u' + Bv' = 0, Bii'-t-(C -p'H]«' =0,
Hy — H(A-hC)p'+AC— B==rO; c'est l'équation qui détcrmiiiera les carrés des longueurs des axes.
Ex, 9. Quelle est la condition pour que l'équation lA' -j- mi!' -+- nC = représente une parabole?
►. Écrire les équations qui déterminent le centre de la conique iA'-t-i!iB'-l-nC';=0.
/A mil nC —as
Ex. «O. L'équation ;BC -t- «iCA 4- nàB ;= représente une parabole, si on a la relation : KÔÏ+ Vàm + \/^ == 0.
Es. «t. Quelles sont les coordonnées du centre de laconique iBC-l-mCA-i-nAB = C?
('>-"<(■— tic) Mi(m(.-)jc — (") n{ni:-la—mli) /''la-i-jii^d'-i-nV— 2)jin6i; — 2ntat— 2(m((6* Ex. 19. Si (A',B',C'),|A",D",C"] sont deux points de la courbe mC-t-fliCA-t-«AU=0, la corde qui les réunît a pour équation
/A mB nC
Ex. 13. Trouver lo centre de la conique V//'A + KsB + t//iC = 0. A 1! C —S
bn + cm cl-t-aa am-i-bt Ibe + mca -i- nab El. ■«. Quelle est la condition pour que l'équation générale f (A, B, C) = lepré-
B. H=0, c'est-à-dire 1 t n' m' 1=0.
Ex. IS. Cliercher la condition pour que t (A,B, C) =0 repvés équilatère.
E — l-i-m-t-n — 21' cn-i A — 2»i' cos M ~ 'in' cos C, la condition cherohée sera : K ::= 0.
Ex. 18. L'équalion du diamùlre qui passe par Se puïtit (A', B', C) peu la forme
ondition pour qu'il soil conjugué au dia.
Si on represoiile par p, q, r les dot
et par p', 7', î^ les mêmes quantités où ), ^, v sont remplactis par J', ii', ■/, la condition demandée est :
Vpp' -+- Vïï' + \Vn''-(- U' (7>'-i- rq') -t- V ()■;>'+ pr'j -h W (p/-*- ç/) = 0, dans laquelle
\] = m>i — l", V — ni — in'\ W = lm~n"; U' = m'n' — II', V = n'f ~ mm', W" = l'm' — irn'. Ex. 19. Trouver les équations des ases de la onnique f (A, B, C)^C. Si on exprime que la tangente: A/'t, + B/^n, + C/'c, =:0 est perpendiculaire au
1 P Q R l on oblient la relation fA'jA' B' C l-t-fEM A' U' C l-t-/'.'! A' B' C
PQ R PQR P QR
I I, — cosC,~cosB j I -cosC,!, — «osAl j — Cû5 B,-cosC, I
Elle est satisfaite, si on luinplace A', B', C pai' les coordonnées du centre; résulte qu'en supprimant les accents, on aura Téquation des aïes de la eouique. Ex. <S. Déterminer les longueurs des Bxcs de la conique f (A, B, Cj :=0. D'après le N° 16Ï, la longueur d''un dcmi-diamctre est doDnée par ^ H
Il faudra déterminer \e mix'mum el le minimum de f {J, /<, -,). les quaiitilés devant satisfaire aux relotions
J' sin 2ï -i- //.' sin %3 -t- ^' sin 2-/ = 2 siii a siii ^ siu y.
■ninimum de f (1, p., t) sont les r.
