BC + CA-|-AB = I

Es, ««. Les équations

représentent un système de eoniqnes homofocules. Ct^la étmit, déinuittrer que :

1" Il y H toujours une ellipse et une hyperbole hoiuofocHles qui pa^JUt par un point;

2° Il n'y a qu'une seule conique homofocoJe qui touehe une droite donnée;

3° Les coniques homofocalrs se coupent à ongle droit;

i" L'enveloppe di.'S polaires d'un puinl fixe par rapport aux diverses eourbcs liomofoculcs est une parabole.

Ex. sa. Étant donnés un point 0, une droite D et une conique S, on mène, par le point O, une sécante qui rencontre D en x, el la eourlie S en a et a'; soit^ le conjugué de i- pur rapport fi a el a'; le lien du point î, quand la sécante tourne autour du point 0, sera une conique qui passera par ce point, par le pôle de la droite D, par les points d'intersection de D aveu S, et par les points de contact des tangentes à la conique issues du poinl 0.

Ex. a». Étant donnés un point O, une droile D et une conique S, par chaque point» de D, on lire la droile o-O ain.ii que sa conjuguée jtu dans laconique; la droite --na enveloppera une conique langenle à D et à la polaire du point 0, ans dcin

taogeiilcs meJifies du point à S, et aux tangentes à S menées aux points d'into'section de D avec cette conique (CflastEs.)

Ë\. »t. Étant données une conique S et deut droites fixes, on prend, sur ces droites, les points x et œ' conjugués par rapport à S ; la droite aw' euïeloppera une conique tangente aux deux droites et aux tangentes à S menées par les points d'intersection des droites avec S. (CmiSLES.t

Ex. «S. Lorsque deux droites conjuguées à une conique S tournent autour de deui poinls fixes, leur point d'iiilerseclion décrit une conique qui passe par les points fixes, et les points de contact des tangentes menées à S par les pnints fixes.

Es. 96. Si loLis les côlcs d'un polygone sont assujettis h pivolep sur autant de points fixes, tandis que ses sommets, nu seul excepté parcourent respectivement des droites données, le sommet libre décrira une section conique passant par les deux points fixes qui appartiennent à ses câtés. (Mic-LiURin.)

Es. S», Si tous les sommets d'un polygone sont assujettis à se mouvoir sur autant de droites fixes, tandis que ses efités, un seul exceplé, pivotent sur des points fixes, le c6té libre et les diverses diagonales envelopperont des sections coniques distinctes, tangentes aux deux droites fixes qui dirigent le mouvement de ce côté ou de ces diagonales respectives.

Ex. as. Un plygone étant inscrit à une conique do manière à ce que tous ces cSlés, un seul excepté, pivotent sur autant de poinls fiscs, le cûté libre et les diagonales envelopperont des sections coniques ayant un douliie contact avec la proposée.

un seul excepté, assujettis à parcourir des droites données, le sommet libre et les différents points de rencontre des côtés décriront des sections coniques ayant un double contact avec la proposée.

§ 3. LIEl'X GÉOJlÉTntQUES.

950. La plupart des questions qui suivent se déduisent des sections coniques. En les résolvant, on arrivera, tanlôl à une équation du second degré, taulôt à une équalion d'un degré plus élevé. 11 faudra étudier avec soin la ligne qu'elle représente et indiquer les rapports qui existent entre cette ligne et telles qui font partie des données de la question. On doit se servir des coordonnées cartésiennes ou tangentielles suivant h nature du problème.

Ex. t. Par le centre d'une conique, on miioe des rayons OM à tous les poinls de la courbe et des perpendiculaires OP à chacun d'eux; trouver le lieu des points P tels

V.X. ». On fait tniimpr autour d'un point five O, pris dans \ droit ; soienl A et B les points de rencontre des cfltés de l'angle aï le lieu du pied de la perp<:ndiculaiFe abaissée du point sur AB.

Ex. a. Trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissé grand axe d'une ellipse sur deux cordes supplémentaires.

Eï. 4. On fait tourner un angle autour du sommet A d'ut par B et C les poinls de rencontre des côtés avec la courbe; point d'intersection do la droite qui joint le centre au point B

cercle donné, un angle aïee la courbe; trouver

s extrémités du

até AC de

f le gra

de Tel I ipso, on mène un qui rencontre le diamètre : MQ ; trouver le lieu du

mène, par le centre 0, le I P ; on prolonge OP d'une lieu du point Ji] quand la

sous un angle constant ; clicrcher igentcs menées aux extrémités de

le corde de longueur

r ses normales î parabole su

Ex. fi. Etant donné un point diamètre quelconque DD', et, par le point V, une séc en M et la courbe en Q de telle sorte que l'on ait I point M.

Ex. 6. Etant données une ellipse et une droite D, diamètre OE conjugué de la droite et qui la rencontr longueur PM telle que PO - 0M = Ô1'; on demande droite D se meut en restant tangente à une courbe doni est une conique (Concours général, 18i8),

Ex. ». Une corde est vue du foyer d'une conique so le lieu géométrique des points d'i la corde (Ecole polytechnique, ISU).

Ex. S. Quel est le lieu décrit par les extrémités glissent sur l'ellipse ?

Ex. V. Quel est le lieu des projections du foyer d'une parabole

Ex, «O, Quel est le lieu des projections du sommet d'i noi'malos ?

Ex. 11. On mène une corde MM' perpendiculaire au grand ainsi que les droites AK' et MA' qui so coupent en Pf; ou projette N sur I en P. Démontrer que MP sera la tangente on M, et chercher le lieu du pc le point M décrit l'ellipse.

Ex. is. Par un point fixe P, on tire une sécante quelconque qui courbe en M et M'; BE' élant te diamètre parallèle à la sécante, on prend sur ccne*ci unpointN lelquePNXBIM'=:ËF°i or, demande le lieu du point N (Écolo polyleebnique. iSifij.

Ex. IS. Sur une langeule fixe à une ci tels que la distance PQ reste constanle ; à la conique issues des points P et Q,

Ex. 14. Quel est le lieu du point de corde passant par le foyer d'une conique?

Ex. IS. Etant donnes uu point fixe P et deux droites D et D', on mène un( quelconque par ce point; soient d et d' les poinls d'inlcrseclion de la sécante avec droites; trouver le lieu du point M de la sécante tels que PM = dd'.

Kl. ta. Etant données deux circonférences, on mène une tangente quoleonqi

5rai,d ax.

, N quan.

on prend doux poinls variables P et Q le lieu des intei'Seelions des Ungentes

des normales aux extrémités d'une sécante

la iircmiépc qui relieontre la seconde en A et B i trouver le lieu du point d'iiitersoclion des langeiiles mpnées en A en B h la sceonde circonférence.

Ux. <•. Elanl donnes un angle de sommet et deux points C et D en ligne droite avec le point O, on mène, par un point fiie P, une sécante quelconque qui rencontre les cfltés (le l'augle en K et K' ; trouver le lien du point d'intersection des droites DK, CK'.

Ex. t». On divise les petits côtés d'un triangle ABC. rectangle en B, par les points C et B' de manière i ce que l'on ait : AC X BB' = CB' X BC ; clicrelier le lien du point d'intersection des droites CC, AB'.

Ex. 10. Trouver l'enveioppo des droites inscrites dans un angle droit et qui ont leurs milieux sur une droite fixe.

Ex. te. Trourer le lieu des projecfions du centre d'une conique sur la droite qui réunit les extrémités de deux diamètres conjugués.

Ex. tt. Par un point fixe P, on mène une sécante quelconque qui rencontre une conique en A et B ; quel est le lieu des points M tels que PM' = PA X PB.

Es. *3. On mène, par les sommets A et A' d'une conique, des cordes supplémentaires ; chercher le lieu de l'intersection des perpendiculaires élevées en A el A' sur ces

£i. S3. On mène, en un point quelconque A d'un cercle donne, une tangente que l'on termine en T a un diamètre Sxe ; on élève ensuite, au point 1', une perpendiculaire au diamètre, et on prend TJI = TA ; quel sera le lieu du point M ?

El. 34. On mène des cercles tangents en è une droite donnée; par deux points fixes de la même droite, on mène des tangentes; Ironver le lieu des points d'intersection des tangentes.

Ex. SS. On donne une ellipse dont AB est le grand axe et F un foyer. Par le sommet A, !c plus voisin de ce fojier, on mène une droite qui rencontre la courbe en C,

AD et on la prolonge d'une quantité CD telle que le rapport — soit constant ; puis on tire

les droites BC et FD qui se rencontrent en M ; trouver le lieu du point M, qnand la sécante tourne autour du point A (Ecole normale, 1842).

El. se. On prend deux points fixes P et Q sur la base d'un triangle ARC ; on mène, par ces points, deux droites rencontrant CA cl CC endenï points a et i tels que Ca Ci

^ M "*" ' BÉ ~ ■ p et 9 étant des constantes; trouver le lieu des intersections de Po et Qb (Ecole polytechnique, 1 842).

Ex. »»- AT et AS sont deux droites qui loui'hent une section conique quelconque POQ aux points B et C ; on mène une troisième tangente quelconque DE el, par les points D et E où elle rencontre les deux premières, on tire des parallèles aux mêmes tangentes. On propose : 1° De déterminer le lieu géométrique des points d'ir M do ces parallèles ; 2° De reconnaître que l'angle EPD, sous lequel on voit foyers F la tangente mobile ED, conserve une valeur constante ; 3° On c: cas où la section conique est une parabole, «t on fera voir que, dans ce cas, les segments

interceptés sur les portions AB, AC des tangentes fixes par h tungi^iite mobile sont reciproquonianl proportionnels (Eïolo normale, 18ii).

£î. 2s. Etant donnée une ellipse et un point A sur l'ellipse, on dét rit un cercle tangent à la courbe en ce point ; on demande le lieu des tangentes communes qui ne passent pas par le point A, lorsqu'on fait varier le rayon du cercle [Concours général, ISii).

Es. S». XOV est un angle droit, A un point de OX, B un point de OY ; on mène les droites A.ll, flll telles que l'angle MBY = 2HAX. On demande le lieu du point M (Ecole polytechnique, ISiS).

Ex. 39. YOX est un angle quelconque, A un point fiïc; de ee point, ou mène une sécante quelconque qui coupe les cotés de l'angle en B et C ; on p['(!nd, sur chaque

sécante, un point M tel que r^=^~ ' on demande le lieu des points M (Ecole polytechnique, iSi'J).

Ex. 31, D'un point B, pris sur le cSlé OS d'un angle YOX donné et quelconque, on mène une tangente aux cercles inscrits dans cet angle ; on demande le lieu des points de contact de ces tangentes (Ecole polytechnique, ISfS).

Ex. sa. Trouver le lion des milieux des cordes égales d'une ellipse donnée (École polytechnique, 1848).

Ex. sa. Lieu des points tels que leurs polaires relatives à trois cercles cnnconrent on un même point (Ecole polytechnique, I846|,

Ex. S4. Lieu des points de division en moyenne et extrême ralsen des cordes d'une ellipse issues d'un même point (Ecole polytechnique, 18i6).

Ex. SS. Une ellipse et une hyperbole ont un axe commun ; on mène une suite de sécantes parallèles ; trouver le lien des milieux des segments compris entre l'ellips'i l't l'hyperbole (Eeolo polytechnique, 18i6),

En. se. Du sommet A de l'angle droit BAC, on mène une droite quelconque ; des points B et C, on abaisse sur cette droite les perpendiculaires DP, CQ ; trouver le lieu des points M de ces droites pour lesquels Âîiî' = AP X AQ (Ecole polytechnique, 1847).

Ex. S9. On donne une droite, un point sur cette droite, et deux points A et B hors cette droite ; on mène une suite de couples de sécantes kM, BM, qui la coupent en des points C et D tels que le produit OCXOD est constant; trouver le lieu des points M (Ecole polytechnique, 1848).

Ex, S8. Lieu des projections du sommet d'une ellipse sur ses tangentes (Ecole polytechnique, 18i8).

Ex. SO. Soient, dans un plan, une ellipse et une droite située hors de celte elhpse. On prend sur la droite deux pointsNet H' conjugués par rapport ii l'ellipse; cela posé : 1' Prouver qu'il existe, dans le plan de l'ellipse, deux points et 0' desquels on voit chaque segment ^^' sous un angle droit ; 2° On demande le lieu des points et 0', quand la droite se meut parallèlement à elle-même (Ecole polytechnique, iSi9j.

Ex. le. Une ellipse tourne autour de son centre; trouver le lieu des intersections de son nie focal avec une tangente à cette ellipse qui reste constamment parallèle h une droite donnée (Ecole polytechnique, 1849).

Ex. 11. Soit un angle ABC; Ael C deux points pris sur ses cotés; par son sommet 6,

on mène une droite quelconque B^; des points A et G, on abaisse, sur cette droite, les perpendiculaires AD, CE. Trouver le lieu du point milieu du segment DE de la droite Bt/i compris entre les pieds des perpendiculaires (Ecole polytechnique, 18^9).

Kx. 4*. Etant donnée une droite L, on mène de chacun de ses points M deux droites à deux points fixes P et P'. Deujc autres points fixes et 0' sont les sommets de dcui angles AOB A'O'B', de grandeurs données et constantes, que l'on (ait tourner autour de leurs sommets respectifs, de manière que leurs cflfés OA, O'A' soient respectivement perpendiculaires aux deu^ droites MP, M'?'. On demande quelle est la courbe.décrile par le point d'int°rsectinn N des deux droites OA, O'A', et la courbe qui est décrite par le point d'intersection des deux autres cStés 06, O'B', quand le point M glisse sur la droite L (Coneonrs général, 1851).

Ex. 4B. On donne une conique et deux axes fixes qni passent par un foyer et qui font entre eu\ un angle de grandeur déterminée; on fait rouler sur la courbe une tangente, et, par les points ou elle rencontre dans chacune de ses positions les axes fixes, on mène deux autres tangentes à la courbe; ces deux dernières tangentes se coupent en un point dont on demande le lieu géométrique (Eeole normale, 18S2).

Ex. 44. Trouver l'aire dusegmeut compris entre un arc de parabole et sa corde; chercher le lieu géométrique des milieux des cordes qui dëterminenl dans la parabole des segments équivalents (Ecole normale, ■1856).

Ex. 45. Etant donnée une parabole CAB, la sécante MAB se meut sous la condition que les normales aux points A et B se coupent en un point C de celte courbe. Par le point C, on mène la tangente CM qui coupe la sécante en M. Cela posé, on demande de trouver l'équation de la courbe décrite par le point M, quand !a sécante prend toutes les positions compatibles avec la condition à laquelle ello est assujettie (Ecole poly' technique, ISfiO).

Ex, 48. On donne une conique et un point P dans son plan ; par ce point, on mène une sécante PAB; puis, par tes points A et B où elle rencontre laconique, des tangentes qui se coupent en M; on abaisse MK perpcudicnlairesur PAB; ti-ouver : l^Le lieu des points K; il est le même pour toutes les coniques homofocalesj 2> L'enveloppe de la droite MK {lieole normale. 1861).

Ex. 49. Deux paraboles de même paramètre ont leurs axes à angle droit; l'une d'elles est fixe et l'autre mobile. Uno corde commune AB passe constamment par le pied D de la directrice de la parabole fixe; ou demande le lieu décrit par le sommet de la parabole mobile (Concours général, 1862).

Ex. 4S. Par les extrémités A et B d'une corde AB d'une longueur constante et inscrite dans un cercle donné 0, on mène des droites AIU, BM respectivement |>arallèles à deux droites lïxes; trouver le lieu du point M (École normale, lSt>2),

Ex. 4». On donne, sur un plan, deux circonférences et 0' ; d'un point A de 0, on mène des tangentes à 0'; on joint les points de contact de ces tangentes; celte droite coupe la tangente en A à ta circonférence en un point M ; on demande le lieu du point M, lorsque A parcourt la circonférence (Ecole polytechnique, 1863).

Ex. S9. On donne une courbe du second ordre S, et une cii'confércnce décrite de l'un de ses foyers F comme centre ; en chaque point M de la conique S, un trace la normale à cette courbe ; on mène ensuite les tangentes au cercle (F) par les points où

cette normalp Ip rencontre; od demande le lien du point d'intersection de ces taiigcnlcs, lorsque le point M décrit la conique S (Ecole polytechnique, 1865).

E\. Sfl. On donne deux Poniques ayant un même foyer et leurs axes proportionnels ; soient FA, FA' leurs rayons vecteurs minimums; on fait tourner ces rayons vecteurs autour de F, en conservant leur distance angulaire ; soient VC, FC une position; en C et C on mène les tangentes à eliaoune des coniques; trouver le lieu de leur point de rencontre (Concours général, iSU).

Ex. a». Soient deux paraboles P,, Pi ayani toutes deus pour foyer le point fiseO, et pour axes les droite!. OX, OY perpendiculaires l'une sur l'autre; menons i ces courbes une tangente commune qui touche P, en Mi, et Pi en Mj ; prenons le milieu M de la portion if[ SI3. On demande le lieu du point i\, lorsque les paramètres des paraboles varient de manière que la tangente commune Bli Mb passe toujours par un point llxcA(Ecole polytechnique, 1868).

Ex. ss. Etant donné un rectangle et un point P dans le plan de ce rectangle, par te point P, on mène une droite qaelcenque PQ et l'on imagine les deux coniques qui passent par les sommets du rectangle et qui sont tangentes à la droite PQ. Soient E, E' les deux points de contact, et M le point milieu de EE'. Chercher l'équation du lieu décrit par le point 11, quand on fait tourner la droite PQ autour du point P (Ecole normale, 1869).

Ex, $«. On donne un triangle rectangle isocèle AOB et on demande : 1° L'équation générale des paraboles P tangentes aux trois côtés du triangle; 3° L'équation de l'axe de l'une quelconque de ces paraboles; 3° L'équation et la forme du lieu des projections du point O, sommet de l'angle^droit, sur les axes des paraboles P (Ecole polytechnique, 18fi9),

Ex. as. Etant donnés une ellipse A et un point P, on mène, par ce point, des normales à l'ellipse A et l'on considère la conique B qui passe par le point P et le pied des quatre noi'males : i" Trouver les coordonnées du centre de cette conique B et celles de ses foyers; 2° Trouver le lieu C du centre et le lieu D des foyers de la coniqua B, lorsque l'ellipse A varie de manière à ce que ses foyers restent fixes; 3° Trouver le lieu des points d'intersection du lieu D et de la droite OP, lorsque le point P décrit un cercle de rayon donné et ayant pour centre le centre de l'eKipse A (Ecole normale, tS73),

Ex. SO. Etant donnés un triangle et un point M, ou sait que l'on peut généralement taire, passer par ce point deux paraboles circonscrites au tfiangle. On demande de construire et de discuter le lieu des points H pour lesquels les axes des deux paraboles correspondantes font un augle donné (Ecole polytechnique, 187i),

Ex. S9. Trouver le lieu des pieds des normales menées d'un point donné P à une série d'ellipses qui ont un sommet commun B, la même tangente en ce point, et telles que, pour chacune d'elles, le rapport de l'axe parallèle à la tangente commune au second axe soit égal ^ une constante donnée k (Ecole normale, 1875).

Ex. S9. Trouver le lieu géométrique de l'intersection des deux normales, menées ù la parabole aux deux extrémités de toutes les cordes dont les projections orthogonales sur une perpendiculaire a l'axe ont même valeur. Que dire du cas où l'on fait tendre vers cette valeur de la projection. Revenant au cas général, on se propose

ie mener, par un point qu^^lconqu(! du Hi'u, trois normales h la parabole (Tcolo po'jtochnJque, 187K)

El, S». On donno doux axes rectangulaires O* et Oy avec une parallèle Az à l'ase des !/ qui inlereepte sur Ox un soj^ent OA = a. M étant un point quelconque du plan, on le projette en D sur Ai, et l'on mène OM qui coupe Aï en B; enfin on tire, par le point B, une parallèle h Ox qui coupe OD en M'. Trouver le lieu décrit par le point M', quand le point M décrit un cercle donne ayant son centre sur l'axe des x.

Ex. SO Trouver le lieu des sommets des angles droits dont les côtés sontnormaun à l'ellipse, Essminer le cns do la parabole el de l'hyperbole.

Ex. «I. Elanl donnée une ellipse fixe et un cercle dont le centre est fixe et le rayon variable, trouver le lieu du point milieu de la corde commune.

Ex, o». Par un point M d'une ellipse, on mène les rayons vecloui'S MF, MF' ainsi que la normale MP ; trouver le lieu des points P tels que MF* =: MF X MF'.

El. «s. Une droite de longueur constante s'appuie sur un cercle et une droite fixes; chercher le lieu du milieu de cette droite.

Ex. 04. DélermiJier le lieu des points pour lesquels la somme des carrés des normales menées à une conique lise soit égale à une constante donnée.

Ex OS. On donne une ellipse et une droite fixes ; quel sera le lieu des points tels que les tangentes menées à l'ellipse de chacun d'eu* interceptent sur la droite fixe une longueur constante ?

Es. OO. Trouver le lieu des centres de gravite des triangles équilaléraux formes par trois normales h la parabole.

Ex. •». Etant donnés un cercle et une droite fixe, on décrit un second cercle ayant son centre en un point quelconque de la droite, et coupant orthogonalement le cercle donné j déterminer le lieu des points qui ont même polaire par rapport aux deux cercles.

Ex. S8. Un triangle a ponrsommets les deux foyers d'une ellipse et un point quelconque delà comlie; trouver les lieux géométriques du centre de gravité du triangle, du centre du cercle circonscrit, du point de concours des hauteurs, ainsi que l'enveloppe de la droite qui renferme ces trois points.

Kx. OO. Sur les tangentes à une ellipse, on porte, à partir de leur point de contact, une longueur égale à celle du diamètre parallèle ; quel sera le lien des extrémités de ces droites ?

El. »•. Une ellipse donnée se meut à l'intérieur d'une parabole fixa de manière à toucher cette parabole en deux points. Trouver le lieu décrit par le centre de l'ellipse et l'enveloppe de la droite qui passe parles points de contact.

Ex. 9t. Trouver le lieu des pierfs di'S normales menées d'un point fixe : 1° A foul^-s les paraboles qui passent par trois points donnés; 2° A toutes les coniques qui passent par quatre points donnés.

Ex, ««. Lorsque les médianes d'un triangle inscrit dans une efiipse se coupent au centre de la courbe, le lieu du point de concours des hauteurs est une ellipse tangente à la développée.

Ex. «a. On donne une ellipse ; trouver : I " l^e lieu des milieux des cordes normales ; 2» Le lieu des pâles de ces normales.

Ex. 94. Ëtanl danaé^s dans un plan deux paraboles, on les fait tourner autour de leurs sommfits supposes fixes de manière que, dans cliacuiie do tours positions, leurs quatre points d'intersection soient sur une circonférence ; ti'ouver le lieu du centre (le

Ex. 95. Uii angle a son sommet en un point A d'une conique et ses cAtés AB et AC sont également inclinés sur la tangente en A ; \» droite BC, qui joint les points d'intersection des câtés avec la conique, coupe la tangente en A au point H indépendant de la valeur de l'angle; trouver le lieu du point M, quand le point A décrit la conique.

Ex. 9a, Une ellipse de grandeur constante est mobile autour de son centre C, tandis qu'une droite passant par un point fixe demeure constamment parallèle au grand axe ; trouver le lieu des points d'inlersecliou de h droite et de l'ellipse.

Lorsqu'une équation définit une conique à centre assujettie à quatre conditions géométriques simples, ou une parabole assujettie à (rois conditions, elle doit encore renfermer un paramètre arbitraire; en faisant varier ce dernier, on obtient un système de courbes du second ordre qui satisfont aux conditions données. On peut se proposer, dans ce cas, de déterminer le lieu géométrique des centres, des foyers, des sommets de toutes les coniques de la série, ainsi que des points de contact des tangentes menées par un point (me, etc. On conçoit, sans peine, que de là dérivent un grand nombre de lieux géométriques à déterminer, parmi lesquels nous indiquerons ceux qui suivent.

Ex. 99. Lieu des sommets des hyperboles qui ont une asymptote et un Toyer communs (Ecole polytechnique, 1849.)

£x. 9s. Lieu des Toyers des paraboles qui ont le même sommet A et lu même tangente MT.

Ex. 9I>. Lieu des centres des hyperboles cquilatères ayant un point commun P, une tangente commune avec le point de contact donné sur la tangente; discuter le lieu suivant la position du point P. (Ecole normale, 186S).

Ex, SO. Lieu des Toyers des coniques qui ont une directrice et un point communs.

Ex. 81. Lieu des pôles d'une droite fixe par rapport aux cercles tangents à une droite et dont les centres sont sur une autre droite donnée.

Ex. ss. Etant donnés un cercle et un point dans son intérieur, on imagine que, sur chacun des diamètres de ce cercle, on décrive une ellipse qui ait ce diaraèlre pour grand axe et qui passe parle point donné; on demande: 1° L'équation générale de ces ellipses; 2° Le lieu géométrique de leurs foyers ; 5" Le lieu des extrémités de leurs petits axes (Concours général, 184S).

Ex. sa. Lieu des foyers des hyperboles qui ont une asymptote et un sommet communs (Ecolo poty technique, 184B), Ex. S*. A une suite d'ellipses ayant leurs foj'ers communs, on mine des tangentes

parcllcles à une droite donnée; trouver le lien des points de contact (Kcûlc jiolylechiiii|ue,

Ex. S5. Lieu des foyers des paraboles égales inscrites ilrjns le nuime angle droit (Ecole pol3'teehni(3ue, 18i8).

Ex, SB. Lieu des sommets des hyperboles ajont une asymptote commune et une directrice commune (Ecole polytechnique, 18i9).

Ex. SV. Trouver le lieu géométrique des sommels des coniques qui passent par deux points donnés et dont les »xcs sont parallèles et proportionnels à ceux d'une conique donnée (Ecole normale, 1863).

Ex. S9. On donna trois points A, B, C lixes; par A, on mène une droite ÂA' ; 1» Trouver le lieu des points de contact des langenlcs parallèles à AA' touchant les coniques passant par B et C, et tangentes en A à !a droite AA'; ce lieu est une conique ; 2° Trouver le lieu des foyers de ces coniques, lorsque la droite AA' tourne au lour du point A (Ecole normale, 186^).

Ex. S». Démontrer que les quatre points d'inlerseetiou de deux coniques quelconques inscrites dans un rectangle donné sont les sommets d'un parallélogramme dont les côtés sont parallèles à doux directions fixes ; 3° Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées d'un point du plan à toutes les coniques inscrites dans un rectangle donné, ou bien des tangentes parallèles à une direction donnée ; 3' Trouver le lieu des points de toutes ces coniques où la tangente fait un angle donné avec le diamètre qui aboutit au point de contact (Concours général, 1866).

Ex. on. Etant données, deux droites rectangulaires AB et CD, on considère les hyperboles asymptotes à Is droite AB et tangentes à CD en un point P. Trouver : 1° Le lieu des foyers des hyperboles; 2" Le lieu du point d'intersection de la deuxième asymptote el de la perpendiculaire abaissée du point P sur la directrice ; 5° te lieu du point de rencontre de celte deuxième asymptote et de la droite qui joint le foyer au point d'intersection des deux droites données (Ecole normale, 1867).

£i. 9fl. Etant donnés un triangle BOA rectangle en et une droite D, on propose : i' De former l'équation générale des hyperboles équilatères circonscrites au triangle BOA ; 2° De calculer l'équation du lieu L des points où ces différentes hyperboles ont pour tangentes des parallèles à D ; 3° D'examiner les ditïérentes formes du lieu L correspondantes aux différentes directions de la droite D (Ecole polytechnique, f 867).

Ex. oa. On donne un cercle et un point A, et l'on demande le lieu des centres des hyperboles cquilatcres assujetties à passer par le point donné A et à toucher en deux points le cercle donné. Un discutera la eourbe obtenue pour les différentes positions du point A, et l'on démontrera qne, dans le cas général, les points de contact des tangentes qu'on peut mener au lieu par le point A sont situés sur une circonférence de cercle {Ecole polytechnique, 1873).

Ex. OS, Par les trois sommets d'un triangle rectangle, on fait passer des paraboles ; on mène, à ces paraboles, des tangentes parallèles à l'hypolhénuse du triangle donné ; 1" On demande le lieu des points de contact; 2° Le lieu cherché est une conique qui coupe chacune des paraboles en quatre points; on demande le lieu décrit par le centre de gravité du triangle formé par les sécantes communes qui ne passent pas par l'origine (Ecole normale, 1874).

Ex. «4. Trouver le lieu du eeiiire d'une ellipse d'une grandeur périinètre pasie par un point lïxe, el doriL l'axe: focal passe par au autre point Que.

Ex. «S. Lieu des points de contact des tangentes menées d'un point P aux coniques passant par quatre points.

Es. »«. Trouver ie iieu du centre d'une ellipse d'aire constante triangle.

Ex. 0«. Ti-ouver : 1° L'équation du lieu d.

triangle rectangle ; 2° l'équation du lieu des pieds des normales is l'angle droit ; 3" L'équation du lieu des seconds pointa d« rencontre di les paraboles.

Ex. 9S. Lieu des pieds des normales menées d'un point fixe à une série d'ellipses homothé tiques et concentriques.

Ex. O». On donne un triangle ABC el une ellipse qui a pour foyers les points fi et C; trouver le lieu des seconds foyers des ellipses inscrites au triangle ABC et dont un foyer est sur l'ellipse donnée.

Ex. lOo. Trouver le lieu des points de contact des tangentes menées d'un point fixe aux hyperboles équilaières tangentes aux (rois cotée d'un triangle donné.

s des paraboles Inscrites a

:s normales ai