S = 0, S' = 0, A = 0, B==0, S — /;S'=0, S~/£AB
yGoosle
„ 557 — dans lesquelles
S = Ay^ -t- 2Bxy + Cx^ -+■ 2Di/ -h 2Ej; + F; S' = Ay -t- SB'a-y 4- C'a;^ + 2D'y + 2E'ic -i- F', A = a,a:-+-&j)/-4-Ci, B=o.s*-t-6ay-t- Cj, et A est un paramèCre arbitraire. Nous allons employer ces équations abrégées pour démontrer les propriétés des sdeantes et des tangentes communes de deux sections coniques, etcn déduire avec facilite plusieurs ihéorcmes remarquables.
§ 1. SÉCA^iTES COSIJIUNES DES SECTIONS CONIQUES.
959. Considérons le système de deux sections coniques représenlées par les équations
(1) Sc=0, S'=0.
D'après un iliéoréme d'algèbre, l'élimination d'une variable, de y par exemple, entre ces deux équations du second degré en x et «/, conduit, en général, h une équation du quatrième degré en x qui donne pour cette inconnue quatre racines réelles ou imaginaires : ce sont les abcisses des points d'intersection des deux courbes. En admettant que ces points communs peuvent être réels ou imaginaires, se trouver à l'infini ou coïncidei', on peut dire que deux sections coniques situées d'une manière quelconque dans un plan se coupent en quatre points.
On en eonelut, en joignant ces points par des droites, que deux coniques ont en général six cordes communes.
Pour obtenir les équations des sécantes communes, remarquons que toute conique qui passe par les points d'intersection de S et de S' est renfermée dans l'équation
fe étant un paramètre arbitraire; car celle-ci est du second degré en xety et représente une courbe du second ordre; de plus, elle est satisfaite par les coordonnées des points communs à S et S', et, par suite, toute conique donnée par (2) passe par les points d'intersection des deux premières. Mais si on substitue à A, B, C..., dans la relation (N" 49) ACF H- 2GUE — AE'— CD'^ — FE==0
yGoosle
qui exprime que lii eoiiiqiic S = se rédiùl à deux droites, les coefficients A — kA', ]i — k5', C — kC... de l'équaiion (2), on obtiendra évidemment une équation du troisième degré en k qui donnera trois rnciiics réelles ou imaginaires ^j, ks, ks. Il en résulte qne les équations correspondantes
S — kiS' = 0, S — ftsS' = S — k-Ji' = représentent chacune dens droites qui passent par les points d'interseclion de S et de S', e'est-à-dire, deux sécantes communes de ecs coniques. L'éqnalion en k étant du iroisième degré, il n'y a que deux hypothèses possihics sur les racines : elles sont toutes trois réelles, ou bien une seule est réelle et les detis autres imaginaires. Il en résulte que deux sections coniques auront, en géuéral, tin ok trois sysiènies de cordes convmvnes réelles; cependant il importe de remarquer, qu'avec des valeurs réelles de k, les équations des sécinles commune'* peuvent représenter des droites imaginaires a moins que h coninic S — /fS' = ne soit une hyperbole. Mais on véiificia facilement ) r 1 1 comLinaison des points d'intersection des deux couihc qu iM a loi jours un syslèmc réel de
Î53. Siipiinsiins ni;ii)il(^nanr, que les sections coniques S et S' se cou- ^■■■■■■■■■■■^^^■^■1 peut en quatre points réels,
les équations de? cordes commu-
nes réelles. On donne le nom de
sécantes communes conjuguées
mcontrent en un point non silué
aux cordes telles que A et A' qui
sur les courbes. Cela étant, les équations
(5) S — /fAA' = 0, S — ^BB' = 0, S — /cCC' = 0, représcnient une iuGnilé de coniques qui passent par les mêmes points d'inicrsection que les coniqnes données S et S'.
En effet, l'une d'elles, par exemple S — /(AA' = 0, est satisfaite en posant A = et S =0, A' = et S =0; donc une conique quelconque lie cette éqiiadon p'«sc par les points d'intersection des droites A et A'
avec S, c'est-à-dire par les points d'inlerseetion do S et de S'. Les deux autres ont cvîdemment la même signification.
Supposons que les cordes A cl A' coïncident; alors les points d'inlerseetion se confondent deux à deus cl IVquation S — AAA' ^= devient
(4) S — /cA^ = 0,
qui représentera une conique quelconque doublement tanfçente à la conique S, A = ôtiuiî la droite des contacls. Dans le cas particulier où la courbe S se réduit à l'ensemble de deux droites P - Q =:= 0, l'équation
PQ M' = représenterait une conique tiingenle aux droifes P et Q aux points où elles sont rencontrées par la droite A.
29*. Deux coniques homoikéiiqiies ont une corde commune à l'infini. Soit S = 0, une conique donnée ; l'équation
représente i on qu q conque homotliélique à la proposée; car les coefficients d me du cond degré sont les mêmes que dans l'équation S = 0, pa e ouïe conique donnée par (S) est semblable à S et sembinblemc p ée (Es. S, p. 510). Or, cette équation peut se
S — (0.x-t-0-?/ + fc)A = O; c'est un cas particulier de l'équation S — fcAA'= 0, et la conique qu'elle représente doit passer par les points où les droites Ù-x-^(i-Tj-t-k:^(i, etA^O rencontrent la courbe S; comme la première est une droite située à l'inlini, il en l'ésulte que deux coniques homotliétiqiies quelconques ont deux points communs à l'infini.
Corollaire 1. Deux coniques homothètiques el concentriques ont un double contact sur la droite située à l'infini. En effet, considérons l'équation
les l-ermes du second et du premier degré sont les mêmes que dans l'équation S = 0; donc, quel que soit le paramètre k, toute conique de l'équation (6) est homothétiquc et concentrique avec la proposée S, Mais, si on écrit
i! est visible que cette équation est «n cas particulier de S — iA' =: 0, et qu'elle représente des coniques doublement tangentes à S suivant la droite située à l'infini.
Corollaire 2. Tous les cercles étant des courbes semblables, on doit regarder deux cercles quelconques comme ayant une sécante commune à l'infini; s'ils sont concentriques, ils ont un double eontact sur la droite à l'infini.
855. L'équation S — AAA':=0 conduit à quelques théorèmes remarquables. Supposons que la conique donnée S soit le cercle de l'équation ^x — a)^-i- {y — by — ï-* = 0; S représenle le carré de la tangente menée d'un point {x, y) au cercle S = 0; d'un autre côté A et A' sont proportionnels ans perpendiculaires abaissées d'un point (a;, y) du plan sur les droites A = 0, A' = 0. On a donc ce théorème :
Le carré de ta tangente menée d'un point d'une conique d un cercle quelconf/ue est au produit des distances de ce point à deux sécantes communes dans un rapport constant.
Réciproquement, le lieu d'un point, tel que le carré de la tangente issue de ce point à un cercle fixe est dans un rapport constant avec le produit de ses distances à deux droites fixes, est une section conique qui passe par les points d'intersection des droites avec le cercle ; car S =' et A = 0, A' = étant les équations du cercle el des droites fixes, le lien a une équation de la forme S — MA' = 0,
Ce théorème est indépendant de la grandeur du cercle et de la nature de ses points d'intersection avec les droites; dans le cas particulier où le cercle se réduit à un point, on peut l'énoncer ainsi : Le lieu £un point tel que le carré de sa distance à un point fixe est dans un rapport constant avec le produit de ses distances à deux droites fixes est une section conique.
356. Dans l'hypothèse où la conique donnée S est un cercle, l'équation S — /cA' = représente une conique doublement tangente au cercle suivant la droite A. On en déduit ce théorème : Lorsqu'une conique a un double contact avec un cercle fixe, la tangente menée d'un point de la conique au cercle est dans un rapport constant avec la distance de ce point à la corde des contacts.
Réciproquement, le lieu d'un point, tel que la tangente menée de ce point à un cercle fixe est dans tm rapport constant avec sa distance à une
droite fixe, est une section conique ayant un double contact avec le cercle
suivant cette droite; car l'équation du lieu cul de la forme -7^ = ^^ ou
S — kA? = 0.
Le théorème est vrai, si le cercle se rcdiiit à un point; supposons que ee point soit le foyer d'une section conique; on arrive à cette notion importante, que le foyer d'une courbe du second ordre pcitl être considéré comme un cercle de rayon nul qui touche la courbe en deux points imaginaires situés sur la directrice.
257. Lorsque deux sections coniques sont doublement tangentes aune troisième, deux sécantes communes passent par le point d'intersection des cordes de contact et forment avec celles-ci un faisceau harmonique.
Deux coniques, qui ont un double contact avec la conique S = 0, sont définies par les équations
(s,) S — fc,A^ = 0, (Ss) S~feB' = 0, A = et B =^ étant les cordes de contact. On en déduit par la soustraction
k,A^ — kS^ = 0, ou A = ±B
Cette équation est du premier degré et représente deux cordes communes aux coniques Si et Sa; sa forme indique que ces droites passent par le point d'intersection des cordas de contact A et B, et qu'elles forment avec celles-ci un faisceau de quatre droites harmoniques.
958. Quant trois sections coniques ont une mAme sécante commune, les droites qui passent par les points d'intersection des courbes prises deux à deux passent par un même point.
Soit S = l'une des coniques; les équations des deux autres sont de la forme
S — MA' = 0, S — k'AW = 0, et les cordes communes différentes de A des coniques prises deux à deux sont évidemment
A' = 0, B' = 0, kA' — k'B' = 0.
Ce sont trois droites qui se coupent en un même point.
— Wl —
Corollaire \. Si, par deux points communs à deux coniques, on tire deux droites qui rencontrent la première «hx points a, b, et la seconde aux points c, d, les droites ab et cd se coupent sur une corde commune des deux courbes; car ces deux droites furmenl: une conique qui a une même sécante commune avec les deux autres.
Corollaire 2. Par Jes points a, b, fris sur une conique S {/ig. 97), on ;no deux systèmes de droites ac et bd, af be; la conique S et ces systèmes de droites doivent être considérés comme trois sections coniques qui ont une même sécante :omme ab, et, par suite, les autres cordes Mmmunes cd, ef et hk se coupent en un même point. Or, si on considère l'hexagone icdbefa inscrit dans ia courbe, on voit que les points k, o, h, sont les points de concours des oôtés opposés ac et 6e, cd et ef, db et fa; on n donc ce théorème : Les points de rencontre des côtés opposés d'un hexagone inscrit dniiti une conir/ue sont en ligne droite.
359. Si on considère totttes tes coniques qui ont deux sécantes conjuguées communes A et A', et si on mène une conique fixe ayant avec les précédentes la même corde commune A, toutes les autres cordes conjuguées de A dans les différentes coniques convergent vers im même point de la corde A'.
Les coniques qui ont deux sécantes conjuguées communes A et A' sont renfermées dans l'équation
