S — A^'AB

oïl k' est une constante déterminée, et B' la sécante conjuguée de A pour

la eoniqoe S. En retranchant les équations membre a membre, on trouve

/cA' — k'n' = ;

quelle q droite q

aictjr d(i paramétre A-, rettc équation r le point d'intersection des lî^çncs A'

Lorsque toutes les coniques sont des circonférences de cercle, l'une des séenntes conjuguées est h l'infini; il en résulte que la conique fixe détei'minera sur toutes les clrconlere ne es des cordes parallèles,

260. Étant données trois coniques S, «,, s^, si A et A', B et I!' sont respectivement deux sécantes communes conjuguées de S cl s,, S et s^, les points dHntersecHon des coiiii/ues Si et Ss et les sommets du quadrilatère AA'BB' sont huit points d'une même conique.

En effet, les équations des trois coniques sont de la forme

S = 0, {s,) S — k,AA.' = 0, (Si) S — k^BB' =- 0. En retranchant les deux dernières membre à membre, on trouve

li,Mi' — kjm' = 0.

Cette équation est du second degré; comme elle provient de (sj) et de

(Si), elle représente une courbe du second ordre qui passe par les points

d'intersection des coniques S] clSaj déplus, la forme de l'équation indique

que celle même courbe est circonserite au quadrilatère AA'BB'.

Corollaire, Sil'unedesconiijuess, ou s^, par exempte Si, est doublement tangente à S suivant la droite A, leurs points d'inlerseclion appartiennent à une conique tangente aux cordes B et B' aux points où ces sécantes sont rencontrées par lu droite A; car, dans celte hypothèse, les équations des coniques Si et Sa sont

S ~ /t.A^ =0, S — /.■sBB' = 0, cl, par la soustraction, il vient

/c,BB' — /f,A'=0:

équation qui représente une courbe du second degré qui piissc par les points d'intersection de s, et Sj et qui est langcnle à B et B' suivant la droite A.

a6«. On a trois coniques S, Si, Sa ,■ si on mine uiie conique s par les points d'intersection de S et Si, une conique Ss par les points d'intersection de S et Sa, les points communs à s, et à Ss sont sur une conique qui passe par Us points d'intersection de S, et S,, Les équations des coniques S| et Sj sont de la forme

(si)S — /hS, = 0, (s.) S — /(;.Sa = f>; on en déduit, par soustraction,

k,S, -/c,Sî = (J.

yGoosle

Cette équation représente une courbe du second ordre; elle est satisfaite par les coordonnées des points d'intersection de Si et Ss, ainsi que par celles des points d'intersection des coniques Si et Sa ; ce qui démontre le théorème.

S68, Étant données trois coniques S = 0, Si = 0, S — A-Si = qui ont Us mêmes sécantes communes et une conique quelconque s = 0, on mène deux coniqties Si et Ss dont la première passe par les points dHnlerseclion de s et S, ta seconde par les points d'intersection de s e( Si : les quatre points d'mlei section de s, et Ss et ceux de s et S — fcSi sont huit points d'une même conique.

En effet, les équafiond des deux coniques si et s^ peuvent s'écrire (Si) S -- kiS = 0, (Si) S, — kiS = 0.

Si on les retranche membre à membre après avoir multiplié la seconde par k, il vient

S— fcSi — (t. — W,}s = 0:

équation qui représente une courbe du second degré qui passe à la fois par les points communs de S| et de Sa, et par les points d'intersection des coniques S — frSi et s; donc le théorème est démontré.

Les trois derniers tbéorcmes offrent une grande généralité; on peut en déduire une foule d'autres en supposant que l'une des coniques se réduise, soit à deux droites, soil à un cercle, etc. (1). Nous engageons les élèves à s'exercer en cherchant les énoncés de ces différents théorèmes.

Tltéorèmes et exercices.

Ex. t. Lorsque Ipoia coniques sont doublement tangentes à une quatrième, les six cor J es communes, qui se coupent sur les cordes de contact, passent trois à trois par un même point.

Trois coniques doublement fangeutes à une conique S = Oont des équations de la forme

On en deduil pour les sécantes communes

miî'iiies, par Cuasles, Paris, i86y.

En prenant trois signes + ou deux signes — et un signe +, on obtient quatre systèmes de trois droites passant par un même point.

Ex. a. Si plusieurs coniques passent par deux points fixes el sont doublement tangentes à une conique donnée, les cordes de contact concourent on un point de la ligne des points Hves.

Ex. 8. Si trois coniques sont tangentes à une droite au mcme point, les droites qui passent par leurs points d'intersection se coupent en un mèine point.

ques (N" 238),

^\. t. On a deux coniques Si, Bt qui touchent une droite Tau môme point et qui se coupent en deux autres points 1 et 2 ; par ces derniers on tire deux droites qui rencontrent s, en a, |3, et s, en a', ^' ; les droites, a|3 et b'|3' concourent sur ia droite T. C'est une conséquence du N" 288.

Ex. S, Quaud deux coniques sont inscrites dans un angle, deux sécantes communes passent par le point d'intersection des cordes de contact.

Soient A^O, B:=0, les côtes de l'angle; les deux coniques inscrites ont pour équations

AB — M:' = 0, AB — ft'C'' = C = et C ^ étant les cordes de contact. Il vient, par la soustiaction,

iC'-k'C" = 0, équation qui représente deux droites passant par les points d'intersection de C et C'. Ëx. S. Le produit des dislances d'un point quelconque d'une conique à deux tangentes fixes est au carré de la distance de ce point h la corde des contacts dans un rapport constant.

Ce théorème est la traduction de l'équation AB — ftC ::^0.

Ex. ». Deux droites A et A' rencontrent une conique S aux points 1, 2, 3, i, et une conique S' ans points 1', 2', 3', i' ; on mène une conique s par les quatre premiers points ; une conique s' par les quatre autres ; montrer que les points d'intersection de ï et s' sont sur une conique passant par les points d'intersection de S et S', les coniques s et s' sont représentées par des équations de la forme

W AA' — AS^O, (s') AA' — i'S' = 0.

En retrauelianl membre à membre, il rient

Ex. S. On coupedeux coniques S et S' par une droite A ; les coniques s et »', doublement tangentes aux premières suivant la droite A, se rencontrent en quatre pointa qui appartiennent à une conique passant par les points communs de S et de S', En relrancbant les équations des courbes s et s' qui sont de la forme tS-A* = 0, ft'S'-A' = 0, on trouve

kS-k'S,'=0.

Donc etc.

El. A. On mène une droite A qui reucontre les coniques S et S', la première aux points a,^,h seconde aux points n', j3'; les tangentes T et T' à la eouique S aux poiuts a, ^ peneontrent les tangentes ( et (' à la conique S' aux points h', ,î' en quatre points qui se trouvent sur une même conique avec les points d'intersection de S et S'.

Car les coniques S et 5' ont des équalioiis de la forme

ATT' — A= = 0, (f ;r — A' = ;

kTT — k'tf = 0,

Ex. I«. Étant donnés deux cercles Ci, Cs et une conique quelconque S, on mène uue conique «i qui passe par les points d'intersection de H avec C], une conique s^ qui passe par les points d'intersection de S avec Ca ; montrer que les points d'Inlerseclion des coniques xi et % se trouvent sur un cercle passant par les points i aux cercles donnés.

En olTel, les équations des coniques Si et «s sont de la forme

ft,Ci — it=Ca = 0, équation qui représente un cercle.

Ce Ihéorème est général ; il sera facile d'en modifier l'énoncé lorsque la conique S se réduit h deux droites difFcrentcs ou à deux droites qui coïncident.

Ex. It. Démontrer : 1" Que deux coniques S et S' se coupent en quatre points réels ou en quatre points imaginaires, si l'équation du troisième degré en A a ses trois racines réelles ;

1" Qu'elles se rencontrent en deux points réels et en deux points imaginaires, lorsqu'elle n'admet qu'une racine réelle.

Qu'arrive-t-il, si deux ou trois racines deviennent égales, si une ou plusieurs racines sont nulles '

Ex. 19. Quand une diole est une corde c correspondantLs a un pumt dt cette coide si.

réciproque e>it \raie

Ex. ta Les points dt concours des sécantes communes ont même polaire par rapport à toutes les coniques de la série S— kS ^ , de plus, la polaire de l'un des trois points passe par les deux autres.

Ex. 14. Étant données trois coniques passant par quatre points, si on mi^ne, de chaque point /i de l'une à deux points fixes O et U', des droites qui rencontrent les deux autres coniques en net a', 6 cl 6', onaia relation (Chisles),

7; - f, -, : J^TT-^- = ii''"stante.

Ex. IS. — Étant données quatre coniques ayant les marnes points d'i ■e les deux premières en a et a', b et b'

lisiùme et lu qualrii

quelle que soit la transversale (Charles).

Ex.. ao. Lorsque trois des qua très points d'iiiter section de deux droites avec une «ooique S se eonfondeiil en un seul, on ilit que les coniqnes S — AAA' = sont oseula- Iricesen ce puint à S. Quelle sera Téquation de ces coniques?

Ex. 1 ■- Les polaires d'un point fixe par rapport aux coniques l'y — M' = concoureiit en un même point sur la ooide des eoJitacts. Le lieu des pôles d'une droite fixe pur rapport aux mêmes coniques est une droite,

Ex. IS. Le rapport anharmonique de quatre poinls d'interaectimi d'une tangente varialilc à une conique avec quatre tangentes lixes est constant.

Jïx. i», Étiint données les coniques S := 0, S' = et la relation identique S — AiS' z^ AB, montrer que l'équation

l'A' — 21 (S -1- ktS') -t- B= = 0, oui est arbitraire, définit un système de coniques doublement tangentes aux coniques données S et S'.

Ex. a». Que devient l'équation de l'exemple précédent, si les coniques données sont deui cercles ? Montrer qu'une conique doublement tangente à ces cercles est le lien des points doJit la somme des distances aux cercles est coiisLanle, ces distances étant comptées sur les tangentes; de plus, les cordes de contact sont parallèles à l'axe radical. Ces cercles sont appelés les ceretes focavx de la conique.

£\. «1. Lorsque deux coniques ont un double conluct, tout point de la corde de contact a la même polaire dans les deux courbes.

Ex. S9. Deux coniques ayant un double contact, si on mène, par les poinls de contact, une coJiique quelconque, les cordes qu'elle intci'ccpte dans les deux courbes

Ex. sa. Quand deux coniques ont un double contact, si on tire, par le pôle C de la corde de contact, une transversale qui rencontre la première en a et a' el la seconde en deux poinls dont l'un est b, on a toujours Ca ba

% 2. poiCTs uE toncouns des tangentes communes aux sections coniques,

363. Considérons le système de deux scclions coniques r y présentée s en coordonnées langentielles par îes équations

hii^ -t- 2Bwu + Cu^ -H 2Di( -f- 2Eu -H F = 0,

A'2(^ -+- 2B'ku + C'u' -H 2D'm + 2E'u -t- V = 0.

Nous désignerons ces coniques par S et S', et, pour abréger, nous écrirons simplement aujieu des équations prcccdentes, (1} S = 0, S'==0.

Si on élimine la variable m entre ces équations do second degré, on arrive en général à une équation du quatrième degré en « qui, résolue par rapport à celte coordonnée, donnera qualre racines réelles ou imaginaires, vi. Us, Os, «1. Soient mi, «a, «a, Ml les valeurs correspondantes de w; les droites réelles ou imaginaires («i, v,), («s, Vi), (mj, Uî), {tu, Vi), sont les tangentes communes aux deux sections coniques. Ainsi, deux coni- (jues situées d'une manière quelconque dans nii plan ont en général quatre tangentes comimmes.

Il en résulte que deux coniques ont en général six points de concours des tangentes communes.

Afin d'abréger et de simplifier le discours, M, Chasles emploie le mot ombilic pour désigner J'un quelconque des points de concours des tangentes communes. Nous ferons usage de cette expression à cause de la facilité qu'elle apporte dans l'énoncé des Ihéorèmcs,