L'équation du second degré

où k est un paramètre variable, représente une conique quelconque inscrite au quadrilatère formé par les tangentes communes à S et S'; car elle est satisfaite par les valeurs de m et de v qui annulent à la fois S et S'. Parmi toutes les coniques de l'équation (2), il y en a trois qui se réduisent à l'ensemble de deux points; ce sont les sommets opposés du quadrilatère circonscrit qu'on regarde comme étant les coniques limites du système. Pour les obtenir, il faut prendre la relation

ACF -i- 2BDE — AE^ — CD^ — FB^ = qui exprime que la courbe S se réduit à deux points, et remplacer les coefficients A, B, C..., par A — kK', B — kW... qui se trouvent dans l'équation (2). On arrive ainsi à une équation du troisième degré en k qui donnera trois racines k,, ki, h, et, par suite, les équations

S — fciS' = 0, S-fcsS'^0, S — feS' = 0, représentent les sommets opposés du quadrilatère eirsconscrit, c'est-à-dire les ombilics des deux coniques données S et S'. Quelle que soit la nature

des racines, il est facile de s'assurer, pur la combinaison des tangentes communes, qu'il y a toujours au moins deux ombilics réels.

265. Si, par deux points du plan A = 0, A' = 0, on mène des tangentes à une conique S, l'équation