LV — L'W

sont sur une même droite.

Corollaire i. Etant donnés deux points situés sur les tangentes communes à deux sections coniques S et S', on mène par ces points des tangentes à S qui se coupent en un point a, des tangentes à S' qni se coupent en un point |3/ la droite «[3 passe par le point de concours des deux autres tangentes communes de S et de S'.

Car on doit considérer le système des deux points comme une conique ayant deux langenles communes avec S et S'.

Corollaire 2. Supposons que l'on prenne deux systèmes de points 1 et 2, I 3 et 4 sur deux tangentes à une conique S I par le? points 1 et 2 on mène des tangenti Il la conique qui se renconlrenl au point c I par les points 3 et 4 des tangentes qui se lupent au point p, les points a et [3 ainsi I qne le point d'intersection des droites li, 2^ seront en ligne droite. En effet, les deux systèmes de points et la conique doivent être considérés comme trois coniques nyantdeux tangentes communes. Mais, si on remarque "'«■ "■ que l'hexagone 1«24^31 est circonscril à la

section conique, on a ce théorème: Les diagonales (Ckh hexagone ch-conscrll à une conique se coupent en un même point.

'ÎGfi. Si on considère toutes les coniques inscrites dans un quadrilatère dont deux sommets opposés sont A ^^ 0, A'= 0, et si on mène une conique fixe S' ayant deux tangejiles communes avec les précédentes, les tangentes communes à S' e( d toutes les coniques de la série concourent sur une même droite.

En effet, toutes les coniques inscrites lîans le quadrilatè nées dans l'équntion

S — /i;AA'=0

dans laquelle k estun pa, S' est représentée pur

S — k'AW = où k' est une constante et B' = le point di commîmes à S cl S'. On en lire

variable. D'un autre côté la coniiiucfixc

uicours des autres tangentes

■ k'ii' -.

et, quelque soit k, cette équation représente un point situé sur la droite des points A' = 0, B' = 0.

969. Étant données trois conùjites S, S, , S,, s*', A = e( A' = sont deux ombilics conjugttés de S et S„ B = e( B' ^ deux ombilics conjugués de S et Si, (es droites AB, AB'. A'B, A'B' ainsi que les tangentes comtnunes de S, et Ss sont huit droites tangentes d tme même conique.

Les équations des coniques Si et Sj étant de la forme S — ÉiAA'=0, S — Mlï' = 0, on en lire par in -sonslraclinn

k,\\'~kjiii' = 0.

Celte équation qui découle des précédentes représente une conique qui doit avoir les mêmes tangentes communes que Si et Ss ; de plus, la forme de l'équation indique que la même courbe est inscrite dans le quadrilatère dont les sommets opposés sont A ^ 0, A' = ; B ^ 0, B' = 0.

270. Étant données trois coniques S, Si, Sa, si on mène une conique Sj inscrite dans le quadilalère des tangentes communes de S el Si, wne conique Se inscrite dans le quadrilatère des tangentes communes de S et Sb, les tangentes communes de Si et Ss, et celles de S, el Si sont huit tangentes d'une mime conique.

Les deux coniquessi et Ss sont représentées par les équations (s,) S — lfiS,=0, (s,) S — taSi = 0.

On en déduit

c'est l'équation d'une conique q'.ii louclic à la fois les lanajentcs communes de s, et Si et celles des coniques Si et Sj.

271 . Étant données trois coniques inscrites dans un quadrilatère S=0, 81 = 0, S — ASi = 0, et une conique quelconque s = 0. si on mhie deux coniques s, et s^dont la première touche les tangentes communes de s et S, la seconde les tangentes communes de s et Si, les tangentes communes de s, et Sj et celles de s et S — ^Si sont huit tangentes d'une même conique.

Car les équations des coniques Si et Ss

étant

S-fr,s = 0, S,

on les retranche membre à membre i

iprès 1

lYOil- 11

(iLiULpl

ié ]a secondt

par H, il vient

S frS, — (/fi — U-s)s = 0.

Cette équation du second degré représente une conique qui touche les tangentes communes de si et s^, ainsi que les tangentes communes des coniques s et S — ASi.

Théorèmes et exeroioes.

Ex.t. Lorsque trois coniques sont doublement (angentcs à une quulrièuie, les tnngentes communes se coupent trois à trois sur une même droite.

Ex. ». Si on considère toutes les coniques tangentes à deus droites fixes et doublement tangentes à une conique donnée, les points d'Intersection de leurs tangentes communes avec la proposée sont sur une droite qui passe par le point de concours des droites fixes.

Et. s. Si, de deux points A et A', on mène des tangentes à deux coniques Si et Sg pour former deux quadrilatères circonscrits, deux coniques Si et sa inscrites dans ces quadrilatères ont quatre tangentes communes qui, avec celles des coniques Si et Sg, sont huit tangentes d'une même courbe du second ordre.

Ex. 4. Etant données deux coniques Si et Sa avec leurs tangentes issues d'un point A, les coniques «i et ^3 doublement tangentes aux premières suivant tes polaires du point A ont quatre tangentes communes qui, avec celles de Sj et S,, loucbent une même conique.

El. S. Lorsque les racines de l'équation du troisième degré en k sont toutes réelles, les tangentes communes aux deux sections coniques sont toutes quatre réelles, ou toutes quatre imaginaires.

Lorsqu'il n'y a qu'une racine réelle, deux tangentes communes sont réelles et les deux autres imaginaires.

Ex, 6. La droite qui joint deux points ombilicaux de deux coniques a le marne pâle dans les deux courbes. Réciproquement, une droite qui jouit de cette propriété par rapport a deux coniques passe par deux de leurs points ombilicaux.

Ex. 9. Dans le plan de deux sections coniques, il existe trois droites dont chacune H le même pôle dans les deux courbes ; une rie ces droites est toujours réelle et les

- 5S3 — deux autres peuvent èli'C ini^ginuil'eî. Le pi'e de l'une il'ullcs ost le puiiil du coDcmirs des deux autres.

Ex. S. Etant daniiées trais seclions coniques s,, s, et d insci'ïles dans un quailrilatère et deux droites lises O ut 0', si, pnr les points où une langnnlo T à S rcnetuilre «I ()', on mène les tangontes Ai, A/, Ai, A,' uux «uniques s, et Si, on uuj a Ij relation

sin(T,Ai)-sin|T, A,') sin(T. A,) -sin (T. A,') si]i(0, Ai-sin(0, A.'i ' srn (O', A,) -sin (O'.A.'j "*'"'"' "'"'■ Ex. O. Si quatre coniques «i, i), S,, Si sont iuseHtes dans un quadrilLitèrc et si d'un |jniiit on nicni', nux Jeuï pramièfos te» couples de tangentes Ai vl Ai', Ai et &i', à la troisième la tangcnle Ti, ù lu quatrième la liingeiite, T|, on a la lelution sin(T„A.)-sin(Ti,Ai') sin (T,, A.) ■ sin (T,. A.-| ^ sin (T., A,) ■ sin (T„ A»') * siii (l',. A.) ■ siu ('W, .W) *'"" ■'" '' quel que soit le point par lequel sont monces les tangentes.

Ex. <0. Ecrire l'équation langeutielle des eouiques osenlulriees à S^O nu point A = 0.

Ex. il. Quelle est la siguifiualion géométrique de IVquation l'(J - tA'^D? Ex. «e. Le pâle d'une droite li-ie, par mpport aux diverses eoniques l'Q — iA' = 0, est une droite qui passe par le point A ^ D.

Ex. tS. Cherelier l'équation des coniques doulilement tsngenles uut coniquos S = et S' = 0.

Ex, 14. Quand deux coniques ont un double coulaet, une droîie queluonque^mene^ par le pSlu de la corde de contact a lu même pâle dans les deux coui'bes ,