CHAPITRE XII

PROPRIÉTÉS GENERALES DES CONIQUES

Méthode des coordaunées triangalaires et polygonales.

SuMUiliiE. — ProprUUs dit ■:ysl'-mp ih'' miaquis pisiiint pu t'ois pninl', pm quatre point!, langealea à Irais ou qualf droites prea Theotema de Lame, de fl/tioloa, de Hesie et de. Chailet. — TItéorkmee de Pascal, de Btianchon, coatirachoa (J'wie conique définie par cinq pomu ou ctnq langenlea

Î73. L'emploi des coordonnées triangiilnires d'uu point on d'inic droite est généralement fort nvantHgeux pour démontrer les propriétés descriptives d'une %ure, c'est-à-dire celles qui ne dépendent que de la direction indéfinie des lignes ; par exemple, pour constater que plusieurs droites passent par un même point ou que plusieurs points sont en ligne droite. Le système des coordonnées de Deseartes serait, dans ce cas, un inslrumenl peu commode, et conduirait inévitablement à des calculs longs et pénibles. Nous allons faire usage des équations en coordonnées triangulaires et polygonales, pour démontrer les propriétés si remarquables des polygones inscrits et eirconscrils aux sections coniques, en prenant, pour les côtés du triangle de référence, certaines droites qui font partie de la figure que l'on considère.

Nous ferons remarquer une fois pour toutes, au commencement de ce chapitre, qu'un ihénrème étant démonlré au moyen d'équations renfermant les coordonnées A, lî, C du point, on arrive de la même manière à un théorème différent du premier, en supposant (|ue, dans ces équa-

lions, A, B, C soienL les coordonnées langcnlicllcs. Pour abréger, nous énoncerons chaque fois ce second ihéorèmc sons le nom de théorème corrélalif, en laissant souvent au lecteur te soin d'approprier le discours à l'interprélatlon des équations qui ont servi à établir le premier, siÂ.B, C sont des fondions du premier degré en u et v. Généralement, il suflît pour passer de l'un à l'autre de changer les expressions : " point de la courbe » en « tangente à la courbe, » < droites concourantes o en » points situés sur une droite, » osécantes communes • en « tangentes eommuncs, » « polj'gone inscrit > en • polygone circonscrit, d etc.

§j. comquiî rapportke a vu triangi.k, a un quadrilatère inscr! circonscrit; a un trlinglk, a un quadiiiutère conjugués.

?73. Conique rapportée d un triangle inscrit. Nous avons vu précé- Icmment qu'une telle conique est représentée par une équation de la

forii

(s] (DC -*- mCA -H hAB =

Nous allons en déduire une construction géométrique, en cherchant la condition pour que le point défini par les égalités

(m) iA = f/B = vC

appartienne à la courbe. On trouve facilement que celle condition est (c) Il ■+■ my. -V- nw ^^ 0.

Or, c'est aussi la relation qui doit être salislaîie pour que la dcoile (M) Ï.A ■+ p.B -t- vC =

passe parle point fixe

Il s'ensuit que, si la droite M tourne autour du point fixe 0, le point correspondant m décrira la section conique circonscrite au triangle de référence. Nous avons donné (p. 80) la construction géométrique du point (m), connaissant la droite M; par conséquent, on pourra construire un point quelconque de la conique, en cherchant le point correspondant d'une droite quelconque menée par le point 0.

Quand une conique est définie par cinq points, on peut en prendre trois pour les sommets du triangle fondamental, et construire ejisuite

1ns droites M], Mi qui coiTespomlciK aii>; deux aulres; cellps-ci se couperont en un point qui sera le point relatif à cette conique. On déterminera ensuite un sixième point quelconque par la eoiislruclioti préeëdeiile.

«7-*. Conique rapportée à un triangle circonscril. Une telle conique est définie, en coorilonnées langcntiellcs, par l'éqtiiition (s) IBQ + «iCA -+■ hAB = 0.

La droite «iéterminée par les égalités

(m) AA=^B = vC

sera tangente à lu courbe avec la eondilion

(e) a-i-mf/ + «v = 0.

Or, eelle-ci exprime anssi que le point

(M) ?.A -4- y.& + vC =

s« trouve sur la droite (i\e

Donc, quand le point M décrit ia droite 0, la droite corrcspojidante m se déplace et enveloppe ia section conique inserile dans le trianj^lc de

On en déduit une eonsiruclion d'une langenle quelconque à une conique assujetlie 'a toucher cinq droites données. On prendra trois de ces droites pour les côtés du triangle de rcft'reuee, et ou déterminera les deux points Mi, Mi qui correspondent aux deux aulres; la droitequi réunit ces derniers sera la droite fixe pour la conique qui doit toucher les droites donjiées. Il suflU de construire une droite {ni} correspondant à un point quelconque de la droite pour avoir une sixième tangente de la courbe.

275. Cûtiù/ue rapporlée à tin quadrilatère inscrit. Soient (fig. 99)

les équations des côtés d'un quadrilatère 1254. Une conique quelconque qui passe par les sommets de ce polygone est représentée par une éqtiatioD de ia forme

(1) P.Ps — /.PïPl^û,

OÙ k est un paramètre arbitraire.

Celte même équation représcnle aussi, eu coordonnées taugenticUes, une conique quelconque inscrite dans le quadrilatère dont les sommets

opposés sont les points P, = 0, P= = ; P, = 0, Pi = 0. De celte équiilion découle les théorèmes suivants :

Quand un quadrilatère eut inscrit, à nue coniifxte, le produit des di'itances d'tm point de ta courbe à deux côtés opposés est au produit des distances du même point aux deux autres côtés dans va rapport constant.

Théorème corrélatif. Quand un (/uadrilalère est circonscrit à une conique^ te produit des distances de deux sommets opposés d une tangente quelconque est au produit des distances des deux autres sommets à ta même droite dans un rapport constant.

976. Désignons par a le point d'intersection (/(j. !!!)) <Ies iliagonnlns 15, 2i, par [3, y les poinis de concours rfes côlés opposés, et rapportons' toute la fignre an Irianglc a[3-/ pris pour triangle de référence. Soient

(Ps) (A — mit = 0, (P,) (,\ - nt; = 0,

les équations des côlés Pa et P; qui aboutissent aux sommets y, (i; les deux autres côlés P* et Pi étant respeclivemcnt les droites conjuguées

des précédenlcs dans les faisceaux harmonique 7 ei P seront représentées par

(P,) /A-*-»iiB = o, (P,) ;a

En substituant dans l'cqualion (1) au membres de ces équations, il vient

(t\-t-nC)[l,\.-nC)-l.-{L\ ou I)ien (2} {i—l!)l'A^-i-km^n^—H^C/^().

La l'orme de celle équation indique qu'une conique quelconque cipconserile au quadriialère est conjuguée nu triangle de référence.

Lorsqu'une conique est inscrite dans le quadrilatère dont les sommets sont les points P,=0, Pï=0, P5== U, Pi =3 0, si on prend pour points de référence les sommets du triangle formé par les diagonales, l'équaiiuii de la courbe sera aussi de la forme (2). Il

t pour s

res P,, Pa, P;, Pi les |

U)(t\ - iyili)=0,

diagonales esl conjugiiù à lovilcs les poniqiies inscrites lians le quadrilatère P,Pî Pj P*.

377. Lex polaires d'un poînl fixe, par rapport à toutes tes coniques circonscrites à un quadrilatère, passent par un même point.

En effet, la polaire d'un poini (A', B', C) pne rapport à une conique représentée par (2) a pour équation

(I - k]l^AA' -+■ km^RB' — n^CC = (I.

A cause de la présence du parnmclre k, louics les polnires concourent en un point délerminé pur les équiitions

;UA' — îi^CC =. 0, i'AA' — m'BB'= 0.

Ce dernier point est réciproque du point donné, c'esl-à-dire que ses polaires par rapport à toutes les coniques de la série vont converger au point donné.

On sait que la polaire d'un point situé à l'infini sur une droite coïncide avec le diamètre conjugué à celte droite, et, par suite, en supposant le point donné à l'inlini, on a ce théorème, que les diamètres conjugués à une même droite dans (es coniques circonscrites à un quadrilatère passent par un point /is.e (Lamé).

Théorëne coRRËr.ATiF. Lcs pôles d'une droite fixe relalirement aux coniques inscrites dans un quadrilatère sont sur une même droite.

Lorsque la droite est à l'infini, le pôle coïncide avec le centre de la conique, et, par conséquent, les centres des coniques inscrites dans un quadrilatère sont sur une même droite {Newtoh).

Les sommets opposés du quadrilatère étant regardés comme les coniques limites du système, les milieux des diagonales doivent appartenir au lieu; donc, la droite des centres des coniques inscrites d un quadrilatère est celle qui passe par les milieux des diagonales.

a7§. Lorsqu'un point se meut sur une droite, le réciproque de ce point, par rapport aux coniques circonscrites d un quadrilatère, décrit une section conique qui passe par les sommets du triangle conjugué à toutes les courbes de la série.

En effet, soit U m- pB -t-i-C = la droite que décrit le point (A', B', C). Le lieu du conjugue réciproque s'obtient en éliminant A', B', C entre les équations

U' ->- i^B' + i/C = 0, l^XA' — w'CC = 0, i^AA'— m^l)B'= 0.

Ou arrive ù rcijiifilion

imVltC -+■ fiCn^Ck ■+■ v/^m^AB = qui repp^scntc une courbe du second ordre circonscrite ou triangle de référence; ce qui démoulre le (liéorème.

TnËonËuii cohuélatif. Quand mie droite tourne autour d'un point fixe, la droite réciproque, c'est-à-dire le lieu des pôles de celte droite par rapport à toutes les coniques inscrites dans un quadrilatère, entwloppe une section comi[ue inscrite dans le triangle conjugué à toutes les courbes du système.

979. Toute conique, qui divise karmoniqueinenl deux diagonales d'un quadrilatère complet, divise hannoniquement la troisième (O, HiiSSE). Soient

p, = 0, Pî = 0, Pj = 0, Pi = 0,

les équations des càtés d'un quadrilatère. On dit qu'une conique et un quadrilatère sont conjugués, lorsque la polaire d'un sommet passe par le sommet opposé, de sorte que les points d'intersection de la courbe nvcc chaque diagonale cl deux sommets opposés forment un système de quatre

points harmoniques.

Cela étant, l'équation

{a) XiP,^ -t- AaPî^ + lifii^ -t- î-iPi^ =

représente une conique quelconque conjuguée au quadrilatère proposé.

En effet, si on cherche l'équation de la tangente ou de la polaire du point (P,', Pa', Pj', P/) en posant

ï, (P. ~P!')(Pi — P/') H- Xs{Pa - Pî') (Ps — Pî") + Iz (P3— P3') {Pj — Pî") -<-^»(p4— P/}(Pl~P/'}=À,P,' -l- ^.Ps' + i,P3= -t- >.4P4 =

pour l'équation de la sécante qui joint les points (Pi', P/, P3', Pj'), (Pi", P/', Pa", Pi")> on trouve, après les réductions, lorsque P,' = P,", P,' = p,", p,' = P/', p/ = p/',

llPiP,' -1- IsPsP, ' + ijPjPa' + >4PlP4' = 0.

Or, si le point donné coïncide avec lesomn]cl(P,, P,) du quadrilatère, on a Pi' = 0,Pi' = 0, et Téqualion de la polaire se réduit à

^sPaP^'-t-^PiP/^O; c'est une droite qui passe par le sommet opposé (Pj, PJ. Dojic, toute conique de l'équation (a) est conjuguée au quadrilatère Pi Ps Pj Pi == 0.

Mais l'équation (a) renferme Irois pavamètres arbitraires; il faut trois conditions disiincles pour déierminer la courbe qu'elle représente; or celle-ci, étant conjuguée au quadrilatère, divise harnioniqueraenl chaque diagonale; par suite, la division liarmonique de la troisième diagonale doit être une conséquence de la division liarmonique des deux aulrcs; car, dans le cas contraire, on ne pourrait plus assujellîr une telle conique à satisraîre à trois autres conditions, comme l'exige l'équalion {«).

En se riippelanl la définilioa de deux points conjugués par rapport fi une conique, on peut encore énoncer le théorème précédent comme suit : Quand deux couples de sommets opposés d'un quadrilatère complet sont conjugués par rapport à une conique, il en est de même des deux autres sommets.

Lorsque P, ^ 0, 1', = 0, P, = 0, Pj = sont les équations en coordonnées tangenlielles des sommets d'un quadrilatère, l'équalion (a) représente une conique conjuguée aux côtés de ce polygone, c'esl-ii-dire une conique telle que le pôle d'un côlé se trouve sur le côté opposé. Si on appelle conjuguées par rapport à une conique deus droites dont le pôle de l'unesetrouvesur l'autre, on aura pour le théorème corrélatif du précédent:

Quand deux couples de droites opposées qui joignent quatre points du plan sont conjuguées par rapport à une conique, il en est de même de la troisième couple.

380. Si, autour de deux points fixes d'une conique, on fait tourner deux droites qui se coupent sur la courbe, ces droites considérées dans leurs diverses positions forment deux faisceaux homographiques (Chasles).

En effet, soient et 0' deux points fixes d'une conique ; inscrivons le quadrilatère Pi PaPs Pi = 0, de manière à ce que et 0' soient deux soni- . mets opposés. L'équation de la courbe sera de la forme

(|3) PiP, — /i:,PîP4=0,

où k, est une constante déterminée. On en déduit

pT^â^'

Si on rcjirésente par >■ chacun de ces rapports, les droites (y) Ps — IV, = d [S) Ps — kil'Pt =

jouiront de la propriété de passer par les points et 0' cl de se couper sur la courbe quel que soit 1; car !'éliminatinn de ce piirnmèlrc mire (-/)

es('f|ni!lifins(j/)el(3) lomoloj^urs lie deux ints cl 0'; donc le

lange ni es

I conique i

situés sur deux côtés opposes du quait qu'ils forment deux divisions lionio-

et (S) conduite l'équation de la conique donnée, i sont celles qui iléicrmincnt (N" 8S) les rayo faisceaux homograpbiqiies ayant pour ceoircs le théorème est démontré.

Théorème cohuiSlatef, Une Utngeiile mobile, t fixes d'une conique en des points qui forment deux divisions homographtques.

Car, si les équalions précédcnles renCermenl les coordonnées (angcnliellcs, la droite des points

Ps— )P,= 0, Ps — A;,1P* = 0, est une tangente variable à 1 présentée par l'équation PiPala forme de ces équalions ii points qu'elles représentent s drilatère circonscrit h la courl graphiques (N' 83),

381 . Le lieu des points d'intei section des rayons homologues de deux faisceaux komographiques est une section conique qui passe par les centres des deux faisceaux.

Soient et (y {fig. 100). les points d'interseciion des droites P, et Pj, Pî et Pi. Les payons homulogiies de deux faisceaux liomograpbiqnes ayant pour centres les points et O' sont donnés pnr les équalions Pi — IP, = 0, Ps — lc,Wi = 0.

Si on élimine i pour trouver l'équation du lieu des |ioints d'imer.section des rayons homologues, on trouve

PiPô — /c,PaPi = 0; le lieu cherché est donc une conrbe du second ordre qui possc par les points fiïies, car réqunlion précédente est sati.sfaiie pour Pi = 0, Pj = 0; P3 = 0, Pi = 0.

Théobéme connÉLATEF. L'enveloppe des droites qui joignent deux à deux les points homologues de deux droites divisées honuigraphiquement est une section conique tangente à ces droites.

Car, si on considère les deux droites fixes qui pussent rcspcetivement par les points Pj = et P., ■= 0, P.; = cl. P* = 0, les [lums liouiolognes

de deux divisions homograpliiques faites sur les ilroitcf les équations

Ps — IP, = 0, P, /f,),Pj = 0.

P.Po— A,P,P4 =

qui repi'ésenle une conique langenle aux droites fixes, car elle est satisfaite en posant P, = 0, Pa = ; Ps = 0, P» = 0.

Remarque. La ihéonème du N" 280 est très-remarquable : il donne une relation entre six points apparlenant à une conique ; car, étant donnés six points et 0', a, b, c, d d'une courbe du second ordre, si on mène les différenls rayons Oa, O'a, Ob, O'b, ele., les deux faiseaux {n, b, c, d) el 0' (a', b', c', d') son! homogriipliiques. Il en résulte que ce théorème donne le moyen de trouver un point quelconque d'une conique assujettie à passer par cinq points donnés 0, 0', «, h, c : on joint deux de ces points et 0' aux trois autres et on regarde les rayons Oa, 06, Oc comme étant homologues aux rayons 0'«, 0'6, O'c; on mène ensuite par le point une droite quelconque Od, et on construit son homologue O'd; ces deux rayons se couperont on un point qui appartient à la conique.

De même, le théorème corrélatif permet de construire une sixième tangente quel- ^* ""■ conque d'une conique assujettie à toucher

cinq droites données; car on en déduit que quatre tangentes A, B, C, D à une conique rencontrent deux tangeotes et 0' en deux systèmes de points homograpliiques a, b, c, d et a', b', c', d'. Donc, si on connaît a, 6, c, a', b', c', on prendra sur la tanfçente un point quelconque d, et on construira son homologue d' sur la tangente 0' : la droite dd' sera

Ces deux théorèmes sont la biise du Traité des sections coniques par CnASLES. Paris, 1865.

§ 2. TilÉOEÈHES 1