PASCAL RT

■ ItRl.VSCHON.

asa. tes côtés opposés d'un hexagone inscrit duns une coniqtie se rencontrent en trois points situés en ligne droite. (Pascal.)

Les points 1, 2, 3, 4, S, C {fig. 102) elant les sommets rf'iin hexagone, on regarde comme opposés, les côtés 12eti-îi, 25 elSIi, 54 et 61, ainsi que les sommets 1 et 4, 2 cl S, 5 et 6 ; les droites 14, 2S et 56 qui réunissent ees derniers deux à deux sont les trois (îin^jonnlcs.

Cela étant, soient

A = 0, B = 0, C = 0, les équations des câtcs 12, 23, 34 d'un hexagone inscrit dans une tonique, et

celles des eôlés opposés 43, 56, 61 . Menons par les points 1 et 4 la dîagonalel = 0qui partage l'hexagone en deux quadrilatères lABC, lA'B'C inscrits dans la courbe. Les équalions

;AC + jiiBI = 0, /'A'C -i- m'IÎ'I = représentant la même conique, dniv valeurs de x cl de y, et, par suite, on peut toujours déterminer les paramètres qu'elles renferment, de manière à ce que les premiers membres soient identiques. Il en

itisraites

I' les mêmes

■ulte qu.

'clati

;aC -+- Hilîl ~ l'A'C - m

sera satisfaite quelles que les valeurs de x et de signe = est celui dont on |)our indiquer une identité. Les équations équivaScntes

l\C- /'A'C' = I{wB — ni'R')=-0 rcpréscnteiit donc la même courbe : la seconde donne deux di'oiles 1=0, mB— ni'B'=0, et i! en doit être de même de la première ; or, l'une des droites représentées par celle-ci renferme les points d'intersection des droites A == et C = 0, C = 0, A' = 0; c'est la droile 1; l'autre passe

par les points de concours des côtés oppostSs A = et A' = 0, C = cl C ^0, Cl connue elle doit coïncider avec la droite mH — m'iï = 0, on en eonclut que les poini.a (AA'), (BB'), (CC) sont sur une même droite.

la démonstration prdccdcnie est indépendante de [a nature de l'hexagone inscrit ; par consécjiient, le tlicorème de Pascal est général et s'appli'iiie à tout hexagone insccit dans une conique, qu'il soit convexe ou non convesc.

8S3. La droite qui pajisc par les |)oinls de concours des cûlés opposr.s peut être représentée par l'une des équations suivantes :

lA - l'A' = mH — m'B' = 0, nC ~ n'C --= 0,

el, avec des valeurs eonvenalilcs des paramètres, on aura les îdenlités

/A — l'.V = m\i - m'W = hC — n'C.

Posons a = /A, «' = /'A', h = mli, 6' = mW, c ^ nC, c' ^. n'C : les

équations des eôlés de l'hesaj-oiie seront

el, en vertu des idcnliiés

la droite des points de concours des côtés opposés aura pou

r équ

Des relations (2) oji lii'c u + c' = c + a', et les équations

(14) a + e' = Ù, c-t-fl' =

reprcsenlcnt la même droite; c'est la diagonale 14. On trouve:

■a de

pour les équations des aiiti-es diagonales

(2o} a— 6 = 0, ou ((' — 6' = 0;

(oG) 6-c = 0, ft'-c' = 0.

Afin d'abréjjer, nous écrirons {=0, 5=0, h^O pour les équations des diagonales, !,^, A éttint les premiers membres des équations (14), (25), (50), Les trois diagonales forment avec les côtés six hexagones différents inscrits dans la courbe et ayant les mêmes sommets; ec sont : ABCA'B'C, C'HBGA'I, ÏCHB'GA et C'HCA'GA, ICBGB'C, ABHB'A'I. Nous allons voir que les droites qui renferment les points de concours des côtés opposés

des trois premiers concourent en un mémo point 0, et que celles qui passent par les points d'intersection des côtés opposés des trois autres concourent en un second point 0'.

Les droites du Ihëorcme de Pascal dans le second et le troisième hexagone du premier groupe ont des équations de la forme a' — ,jÀ = 0, A - va = 0,

a' __ j, ((,' c') = 0, b — c — va^O; car les côtés A' cl II, A et II sont opposés dans chacun d'eux; en exprimant que la première doit passer par le point d'intersection des côtés opposés c'== 0,g =• a' — è'= 0, et la seconde par le point de rencontre des droites c = 0, j/^a — 6^0, on trouve fv. = > = 1 . Les équations des lignes de Pascal pour les trois premiers hexagones seront donc

a—a' = 0, a'— A = 0, A-a = 0; et, par conséquent, ces droites se coupent en un même point.

De même, les droites qui passent par les points de concours des câtés opposés des trois autres hexagones ont des équations de \» forme

g — >,/( = 0, i-~ iJ.g == 0, A — -A = 0,

«„(,),((, -c) = 0, a + c'-^.(tt— 6) = 0, 6' — c'~v(« + c') = 0.

Comme ces équations doivent être satisfaites par les points d'intersection des autres côtés opposés de chacun des hexagones, il faut que l'on aiti= — i, ^ = 1,1/=: — l; les droites de Pascal pour les hexagones du second groupe seront

cl elles se coiipenl aussi en un même point. Ou a donc ce tliénièmc :

Quand un hexagone est insciil à une conique, les six «i'iis et les trois diagonales forment un sysiétiie de neuf droites donnant lieu d six hexagones inscrits; tes droites de Pascal de trois d'entre eux concourent en vn certain point 0, et celtes des trots autres en «n certain point 0'.

Les points où vienneni aboutir trois lignes de Pascal s'appellent points de Steinek : c'est ce géomètre qui, le premier, les a fait connaître.

9§4. Le ihrorème de Pascal établit une relation entre sis points d'une conique, un de pins qu'il n'en faut pour définir la courbe; il permet donc

une droite qiielconqut des lignes 16 et S4, 12 (

le. Il en i-émlie I.

comme celui de Cliasles, de déterminer autant de points que l'on veut d'une conique assujettie à passer par cinq poînis donnés 1,2, 5, 4, 5. On joint ces noinfs par des droites, et, après avoir tiré par le point 1 {fig. 102) , on détermine les points d'intersection lelm ?1 43 ; on prolonge ensuite le côté 25 jusqu'à a rencontre en m avec la droile Im : in ignc qui joint le point « avec le dernier I jioint donné b rencontrera ia droile 16 un point a apparlenant à la conique iltfinie par les points donnés.

Supposons (/(p. 105) que le sommets I de riicxagonc inscrit vienne se confondre 1 avec le point i , le c6lé la; devient tangent à la courbe au point 1 ; le théorème de I Pascal est encore applicable, en regardant cette tangente comme étant un coté de i construction suivante de la tangente en un certain point I de la conique : on détermine les points de rencontre des cAtés 12 et 45, 25 et IS, ainsi que le point / où le côté 54 rencontre la droite mil ; la ligne 1/ sera la tangente à la conique an point 1.

3S5. Les diagonales d'un hexagone circonscrit aune conique se coupent en un même point (BniANCfioN), Soient

A'=.0, iï'=0, G'=0, les équations des sommets d'un liexagone circonscrit à une conique, A et A' étant deuï sommets opposés et ainsi des autres. Prolongeons les côtés opposés AC',CA', et soit 1 = l'équation de leur point d'intersection. Les deux quadrilatères lAItC, lA'B'C étant circonscrits à la conique, si les équations en coordonnées langenliclles

lAC + «îEil = 0, l'A'C -h m'iVl =

reprcsentent la même courbe, on peut écrire l'identité lAC + mm— l'A'C — m'B'I = ; il en résulte que les équations équivalentes

lAC — l'A'C = 0, I (mB — m'B'} = 0,

reprdsenlent le même lien. La première devra donc donner deux points comme la seconde; l'un est le point commun aux droites qui joignent les points A ^0 et C := 0, A' = et C = 0; il coïncide avec le point I;

l'autre provient de l'intersection des droites fjui réunissent les sommcis opposds A = 0, A' = ; B = 0, B' = ; comme il doit éire le même que 1« point »iB — m'B' = 0, les droites (AA'), {BB'), (CC) se rencontrent en un même point.

Le llîéorème de Brianchon est aussi général que celui de Pascal et s'applique h tout hesagonc circonscrit i une conique.

SSe. Puisque le point de concours des diagonales se trouve à la fois sur les droites qui joignent les points A et A', B et D', C et C, on petit écrire les identités

;A — l'K' = niB — m'B' s nC — n'C, ou bien, en posant

a = ;a, u' = CA', h = HîB, ;/ = m'ti', c = hC, c' = n'C,

Les équations des sommets de l'hexagone deviennent „ = 0, (. = 0, c = a'=0, b'^0, c'=0;

yGoosle

relies lies |ioiiiU de eo

des eôlcs opposés seront «+(,-'=0, ou i,'-i-c=0, a-l) = 0, ou a'~b'=0, b—c=^0, ou 6'— c' = 0.

Les points de concours I, G, H et les sommels de l'hexagone forinenl six hexagones difEérenls circouserits ^ la courbe, savoir : ABCA'B'C, C'HBGA'I, ICUB'GA et C'HCA'GA, ICBGB'C, ABHB'A'I. H est facile de vérilior que les points du ihcoréme de Brianchon pour ces difféicnt^ hexagones sont représentés piii' les équations

a — (i-==0, a--~k = 0, /, — « = 0, (, + /i ^ 0, i — g ^0, h -hi^ 0,

t, (/, h étant les premiers ineuibres des équations des points l, G, If ; elles donnent deux systèmes de trois points en ligne droite, et on a ce théorème : Quand un hexagone est circonscrità une section conique, (es points de concours des côtés opposés et les six sommets forment un système de neuf points donnant Ueti à six hexagones différents circonscrits à ta courbe; (es points de Rrianchon pour trois d'entre eux se trouvent sur une certaine droite (, et ceux des trois autres sur une cei-laïne droite l'.

S83. Le théorème de Rrianchon donne une relation entre six tan-

;entes à une conique, une de plus qu'il n'en faut pour déterminer la

I courbe; il permet donc de construire une

tangente quelconque d'une conique définie

■ cinq tangentes données. Soient {fig. 104)

, BC, CA', A'B', B'C ces tangentes qui

pcneonlrcnt aux points B, C, A', B'. On

!nd sur Ai) un point quelconque A; on

joint A et A', B et B' par des droites qui se

;nupent en O; la li^ne qui passe |iar les

points C et rencontrera la langenle B'C

•■■'e '"- en un point C : il suffît de j.iindiv A et C

pour avoir la sisièrae tangente qui complète l'hexagone circonscrit.

Supposons que, dans l'hexagone circonscrit, l'une des tangentes, paiexemple B'C, vienne se confondre avec la tangente voisine CA; à la limite, le point C vient coïncider [(ig, 103) avec le point de conliict

de AC, et le théorème de lîriaochon esl encore applicable en prenant ce point de contact pour un sommet de l'hexagone. On en déduil \n eonstruelion du point de contact d'une tanjfcnte Alî' ; on mène les droites AA', BB' qui se coupent au point : la ligne CO rencontrera la droite Alï' en un point C qui sera le point de contact de celte tangente avec la conique.

Remarque. CoiisulCei', pour les propriétés di ouvrages suivants : 0. Hesse, Voriegungen uus Die Théorie der Kpgelsclmitte. Étant donnés siv pointa i nombre d'hexagones, que l'on peut obtenir eu joignant possibles, est égal au nombre de peruiutalious des si dire au produit 1 • 2 ■ 5 - i ■ K - 6. Mais il est facile de v répète 12 fois dans ou nombre. En effet, en partant d'u points dans le sens a, b, e..., ou dans le sens opposi abcdefy afedeb qui ont les mêmes côtés opposés. De pli à un autre, on obtient les mêmes bexagones, abcdef, hcdefa, edefab, ilufabe, efabcd, fabcde; il en résulte que pour avoir le nombre d'hexagones différents ayant pour sommets a, b, c, d, c, f, il faut diviser le produit 1 ■ 2'3-i-H ■ B par 12; ce nombre sera donc égal à dO. Cos hexagones étant groupés trois à trots dunnent 20 poinls de Slelner; on démontre que quatre de ces points se trouvent sur une même droite appelée droilt de Steiner, ele.

Iiexngone de Pascal et de ISrianulion, les r finnlijliseAen Géométrie. — J. Steineh, pointa d'une conique it, b, c, d, e, f, lo 'S points de toutes les manières lettres a, b, c, d, e, f, c'est-ù- ^itier qu'un même hexagone se sommet a, et en joignant les a, f, e..., on a deux hcsagones quand on passe d'un sommet

Théorèmi

Ex. ». T, 'équation d'une eonique qui passe par les sommets C := du triangle do référence peut s'éorii'o

K,I!C -t- ^, AC H- X, AB -v- 3,C' = 0.

pai' ces points et moutrer qu'elles concourent en un même poij 'un quadrilatère ayant pour équations F, = A-l-j)ll-(-îC, P, = A — /iB -t-'/C,

Pl=A~>-pB — qC,

Pj = A — jiB — <(C, ique inscrite dans oc quadrilatère l'st défi.

Ex. s, I

forme

nt les diagonales.

,e équation, si A = 0, B = 0, C = c

es et des ofitéa opposés ?

Ex. 3. I,es polaires d'un point pur rapport au* coniques i. n|ugueps i un triangle et passont par un point donne concourent en un mémi, puLLii

Les pâles d'une droite reUtireinent au\ coniques conjuguées a un trnngle et tonchant une droite donnée se trouvent Eur une droite lîxe

Ex. «, Le lieu des centres des couiques circonscrites a un quadtilatere est une conique ijui renferme les points de rencoutre des cotes opposes, Ils mitieu\ des côtés et des diagonales.

Les cinq coniques analogues, pour los [uadiiiateics au\quels donne it lieu cinq points quelconques associés quatre à quHli e, passent pai un même point

Ex. S. Les droites qui joignent deux à doux les points d'intersection de deux tangentes à une conique avec une autre conique sont tangentes à une même courbe du second ordre passant par les points communs aux deux preniiËres.

Si, par deux points d'une conique, on mène deux couples de tangentes h une autre conique, les points d'intersection de ces tangentes prises deux à deux appartiennent i une conique inscrite dans le quadrilatère des tangentes communes des deux premières.

Ex. ». Lorsque deux angles sont circonscrits à uneconifjue, leurs sommets et les points de contact des côtés sont sur une même courbe du second ordre ; de plus, les quatre cotés el les cordes de contact sont tangents à une même conique.

Ex. 7. Si, de deux points quelconques, nu mène des droites aux sommets d'un triangle, les six points où ces droites rencontrent les côtés opposes appartienneut à une conique.

Si enjoint les sommets d'un triangle aux points où deux droites quelconques coupent les côtés opposés, on obtient si\ droites tangentes Ix une même conique.

lîx. S. Le lieu des centres des coniques inscrites dans le quadrilatÈre l'il'al'jl'j ^^ est la droite que définit l'équation

iiPi' ■+■ î.l'î'' + JaPi' -H J.P(= = abaissée au premier degré en œ et y par unclioix eonvenaljle des coedîcienls J.i,)^, 1,, Jj.

Ex. O. Le lieu des centres des coniques inscrites dans le triangle PiPsPa = et dont la somme des carrés des axes principaux demeure constante est le cercle délini par l'équation.

ramenée à la formu du réquatioii du cercle par un choix convenable des coefiicionts i„ )a, >i.

Ex. «o. Le lieu des centres des coniques conjuguées à quatre couples de droites PiPi', Pal'a', PiPs', PjPi' est la droite rie l'équation.

liPiPi' -t- '>PaPi' -t- JiPtP/ + l,P.Pi' ~ 0, abaissée au premier degré par un choix convenable des coefficients.

Ex. II. Le lieu des centres des coniques conjuguées à trois couples de droites

délini par l'équation

JiPiP,' -1- liP^Ps' -1- y^\l\' = a'+b'= const. ramenée à la forme de l'équation du cercle par un choix tonvcjialite des cocfticicnlii.