CHAPITRE XIII

PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CONIQUES-

Méthode des identités.

SoMUiinE, — Propriétés du triangle et da jvadrilatère intnrit», e à une conique. — Rdalion aunlytiqae entre six points ou tiai tangentes d'une conique; Vi de drailea conjuguées & nne conrOe du second ordre, sur gués.

988. Étant donnée une section conique avec un pohgone inbciit, cir conscrit oit conjugué, on peut généralement écrire son équation sous différentes formes en coordonnées triangulaires ou polvgonales et arriver ensnite à une équation identique, c'est-à-dire à une cquitton qui est satisfaite, quelles que soient les valeurs attribuées aux variables qu clic renferme. L'interprétation des équations équivalentes obtenues en décomposant cette identité de diverses manières, conduit a pUiateuis iliéorèmes sur les sections coniques avec une facilite qu il sei ait diHitile de surpasser. C'est ainsi que nous avons démontre le théorème de Pascal et de Brianchon; nous allons suivre le même procédé pour mettre en évidence plusieurs propriétés du triangle et du quadrilatère inscrits, circonscrits ou conjugués à une conique. Nous terminerons ensuite en considérant une identité remarquable, qui exprime que six points appartiennent à une courbe du second ordre, ou que six droites sont tangentes h une mémo conique.

§ I. nu ïh(IA^fil.^: et du quadrilatèrh unsceiits, circo.sscrjts ou conjugués

A UNE SECTION UONlftUE.

1Î89. Quand un Iriaiiffle est inseril dans une conique, les côtés reneonrenl les tangentes aux sommets opposés en trots points un tiijnc droite. Soient

es ûquiitLons des c6(és du iHangle inscrit et des langenlc

,û conique sccfi rcprcsenlée par l'une des équnlions snivn

/T,T„ M- mP, = = 0, ^'P.P, -I- »ii'P,T,=0

m mois.

En siipposiint los paramètres dét

iiibicr

■nt,

ile, les équntinns éf; ni va le rites

/T.Tj + rP,P3 = 0, P5(mP. -i-m'T,) = 0,

première donne la droile Pj ([iil passe par les points(T,P J, (T^P,), et Iii ligne qui jnint les points iTiP,), (T^Pg) ; comme celle-ci doit coïncider avec iRp, -t- m'Tj = 0, les imis points (T,P,), (T,Pj),(T,PJ (nés sur une même droite ; ce i\n\ démontre le tliéorème.

TiitonÈME cOBBÉLiTiF. Quand

un triangle est circonscrit à une

conique, les droites ^ui joignent

les sommets aux points de con~

même point.

nations

(fiel des eùles opposes se coupent

On le démoQire comme le pri^cédeni, en supposant q: renferment les eoordonnées langentielles.

390. Lorsqu'un quadrilatère est inscrit dans une conique, les points de concours des tangentes aux sommets opposés sont sur la droile des points d'intersection des côtés opposés.

SlP,=0, P^=0, Pr. = 0, P4 = sont les côtts (iu quadrilatère insci'it, Tt = 0, Ts ^:0 les tnngonles à deux sonimets opposés, et D = la droite qui réunit ces derniers, 1rs cquiilions de la conique /PîTi+»(PiD=0, i'PiTs-i-m'PîD^O, donnent l'identité /PîTi -H mP.D -H rPa'ô + »»i'P.D = 0, et les équations équivalentes IV^T, -4-/'PiTb =0, D(mP, H-m'Ps) = montrent que les points (TiTs), (PsPi), (PiPî) sont en ligne droite.

De même, si D| = est la seconde diagonale, sont les tangentes aiu deux autres sommets oppo; équations de la conique

/T5Pi-+-mP,D,=0, /'TiPs + m'Pr.D, =0 enlraîncnl l'idenlilé

n',P4-i-JHP,Di -i-i'TiP, -i- ni'WT), = 0, et les équations équivalentes

mP*-4-;'T4P5=0, Oi{raP, +mT,.) =

prouvent qne le point (TjTj) appartient aussi à la droite des points de concours des cotés opposés.

TiiËOHËniE connÉLiTiF. Dans un quadrilatère circonscrit à une conique, les diagonales et les cordes de contucl des côtés opposés se coupent en nn même point.

591. Quand un quadrilatère est inscrit dans une conique, lus points d'intersection deslangenles auxsommets adjacents avec deux côtés opposés et te point de concours des deux autres côtés opposés sottt sur une même droite.

Des équations do la conique (T,T4-+-HiPi'=0, rr-Tr,+mTa-=0, /"PiP3-t-Hi"PsPi=0, résultent les idenliles

/Tiï*-t-M)Pa*=rT5T,-HHj'P.'=("PiP!-+-IJ("PsPj.

On en tire

n,Ti~l"ViP:.=0,

Pi((HPi— i(('T.)=0

qui repréaentcnt les mêmes tîi'oiles; ]n première est salisfiiitc en posant T,=0,P,=0, T^ = 0, P,=-0; Ifs poinls (T,PJ, (l\V,) sont svir une même droite avec le point (P5P4).

De môme les équations équivalentes

i'XjT, — i"P,P, = 0, PjKPa — irt"PJ =

prouvent qiio tes points (T,Pj, (T^P,), (P^PJ sont en ligne tfroitc.

Enlin les équations de la conique n,T^+mP,^=^0, l"rj:^-t-m'PJ^O, /"P,P, -H m"'PJ'i = entraînent les identités

irj^ -h mP,'=/'TjT, -(-m'P,^ = rP,P,-t-m"P,P, qui conduiront aussi à deux sj'stèmes de trois points en ligne droite, savoir : (T.PJ, (T,PJ, (P.PJ et (T^PJ, (T^P^,) (P,PJ.

Théobéuiî coanÉLATiP. Dans un quadrilatère circonscrit d une conique, les droites qui joignent deux sommets opposés aux points de contact des tangentes issues de l'un des deux autres xommels se coupent sur la diagonale qui joint les deux autres sommets opposés,

995. Si on considère h quadrilatère inscrit et le quadrilatère circonscrit correspondant. Us diagonales des deux quadrilatères se coupent en un même point et fonnent un faisceau harmonique.

Le quadrilatère elrconscrit correspondant ;\ un quadrilatère inserit est celui dont les côtés ont pour points de contact avec la conîqne les sommets du quadrilatère inscrit. Cela étant, d'après la fig. 107, on peut écrire l'identité

/T,T, -)-mD= = n\T4-t-m'D,= quirrsultedcséqualionsdeIacourbc;T,T,-HJHD^=0,;'TaT^-4-«t'D,^=0; par suite, les éqttalions

"iT,T, — f'Tjl^ = 0, «iD' — 1J('D,= = représentent le même iieu; la seconde donne deux droites qui pnsscnt par le point d'intersection des diagonales du quadrilatère inserit, et qui forment un faisceau harmonique avec D et Di; en vertu de la première, ces droites coïncident avec les diagonales du quadrilatère circonscrit.

Thêohèsie connÉLATiF, Les points de concours des côtés opposés d\m quadrilatère inscrit dans une conique et les points de concours des tangentes aux sommets opposés sont en rapport harmonique.

— Ô7ii —

S83. Quand une conique est conjuguée à un tntt7igle P^P^P^=Q, deux tangentes à la courbe dioisent karmoni<iueinenl les diagonales du quaâfilatére formé par les côtés du triangle el la corde de contact de ces tangentes.

En effet, soient T = 0, T'=Oles tangentes nt P^ = la corde des contacts. Les équations de If» conif|itc

/,P,^ -1- l^P^-- -t- l,\\^ = 0, et TT' + l,P^^ = 0, donnent l'idenlilé

/,P,^ + /^P,^ + ^3?,' -i- /^P/ + TT' = I), et, par suite, les éf|iia[ions équivalentes

;,P,^ -+- ;,P/ ■+■ l^P,^ 4- /,P/ = 0, TT' = expriment que les droites T et T' forment une conique conjusiuée au quadrilatère PiP^P^P^; donc ces tangentes divisent harmoniquement les diagonales.

Théorèmb corrélatif. Quand un triangle dont les sommets sont P, = 0, Pj = 0, Pj = est conjugué à une conique, les côtés opposés du quadrilatère formé par les points P,, Pj, Pj et un point quelconque P^ du plan divisent harmoniquement la droite des contacts des tangentes d la courbe issues du point Pj.

29*. Un triangle P^P^P^^^^O étant conjugué à une parabole, si on mène un diamètre quelconque, la tangente à l'extrémité de ce diamètre est la médiane du quadrilatère formé des côtés du triangle et du diamètre.

Soit P^ = un diamètre d'une parabole, et X = la tangente à l'cxtrém'aé ; la courbe étant représent<ie par i'une des oqnalions

P,2 -- 2pX = 0, i,P.' -t- hP^ + kPrr = 0, on a identiquement

^,P,= -t- f,P,» + (jP,* + Pj^ = 2/)X et, par suite, la droite X = étant conjuguée au quadrihitère P,P P^P, doit passer par les milieux des diai^onnlcs de ce polygouc; ce qui démontre le théorème.

39iS. Les couples de droites conjuguées à une conique donnée et menées par un point fixe sont dii-igées suivant les diamètres conjugués d'une seconde conique.

l!n effet, soit C = une droite fisc située dans le plan de In conique

donnée S ; par le pôle de celte droite, menons les couples de droites conjuguées à S, A = et B = 0, A' = et li' = 0, etc. La courbe S iium pour équations

iA^ -1- mB' -H G« = 0, /'A" -h m'B'^ -h C^ = 0, etc. car les triangles ABC, A'B'C... sont évidemment conjugiiés à la conique. On en déduit les identités

lA' -1- mB^ s l'iV -t- m'ii'' 3 . . . , et les éqiralions équivalentes

;A= -t-mB==l, rA" -V- ffl'B" = l

représentent la même courbe du second ordre; leur forme indique que A et B, A' et B'...., sont les diamètres conjuguiis d'une même conique, et le théorème est démontré.

Dans le cas particulier où le point fixe coïncide avec le fojer de la conique donnée, les droites conjuguées étant perpendiculaires, la seconde

§ 2, RELATION LINÉAIRE ET HOMOGÈNE ENTRE LES CARRÉS DES DISTANCES DE SIX POINTS d'cJKE CONIQUE A UNE DROITE QUELCONQUE; EHTBE LES PRODUITS DES DISTANCES DE SIX COUPLES DE POINTS, CONJUGUÉS A UNE CONIQUE, A UNE DROITE QUELCONQUE.