Lorsque six points reprèsenlés par Us équations
P, = 0, p2 = 0, P5 = 0, Pi-=0, P^ = 0, Pa = appartiennent à une même conique, on peut toujours déterminer six coe^cienls ïj, ^a, ''3. ^4- ^s' ^e '^*' manière à avoir IHdentilé 2. ^,P,^^0,
Soient {a;,, y,}, {x^, y^) ■■■•{x^, y^ les coordonnées de si\ points appartenant à la conique
a- h' Ou a les égalilés
yGoosle
D'un autre coté, pour que !'im ait l'idenlité
il faut que les eocfficients des lermcs on w^ mi, l■^ u, v cl ia quaiUÎtc indépendante de ees variables soient nuls séparément, ei, par suilc, que les eoefficienls ^, \^ satisfassent aux équations
-La
- \rji -t-
La combinaison des équations (!'), (3') et (6'), après avoir divisé la première par «' et la seconde par 6^, conduit à In relation
Hiiis, si on multiplie les relations (1), (2),.... respectivement par Ai, 3.9, L, , et si on ajoute iiicnibre à membre, on trouve
Il en résulte que, si les points sont sur la conique, la relation {k) est une identité, car elle se rëduii à ^ 0; les équalions (!'), (3') et (C) ne fûriucnt que deux éqnations distinctes, qui, ajoutées aux trois autres, donment un système de cinq équations suffisantes pour déterminer les rapports ii :lj : ï,î.... de manière à avoir la relation identique 2 ^Pt' = 0.
Réciproquement, lorsque six points du plan P, ^^O....Pe = donnent Heu à l'idenlité Z ^^|P^^ ^ 0, ces points sont situés smî- une conique.
Car, dans cette liypollièse, on a les égalités (!'), (2'), (3').... et aussi la relation (It) déduite des précédentes, a et 6 étant des quantités indéterminées. On peut supposer que a et 6 soient les demi-nxes de la conique déterminée par les cinq premiers points et ayant pour équation
Or, cette relation (k) étanl développée devient
et, comme les cinq premiers Termes disparaissent, puisque les points {a^i, yî) ■■■• {xs, ys) appartiennent à la conique, on doit avoir
et le sixième point appartient aussi à la même courbe.
Théobèmë corrélatif. Lorsque six droites Pj^O, .... Pc = sont tangentes à une conique, on peut déterminer des coefficients ï,, i^, .... ?„ de manière à avoir l'identité 2 i(Pi' = 0.
Réciproquement, six droites, situées dans un plan et donnant Heu à «ne identité S. î.iPi^ = 0, sont tangentes à une courbe du second ordre.
En vertu de la signification du premier membre de l'équation d'un point et d'une droite, l'identité 2 ïiP,^=0 exprime, dans le premier cas, une relation homogène entre les carrés des distances de six points d'une conique à une droite quelconque (m, v), et, dons le second, une relation
homogène entre les carrés des dislances de six tangentes d'une conique à un point quelconque {x, y) du plan.
297. Lorsque six couples de points PiPi' = 0, ...., PePe' = sont conjugués à une conique, on peut déterminer des conslanics M, i.^, .... î-e qui donnent la relation identique 1 XiPiP/ ^ 0,
Soit
l'équation d'une conique; !n polaire d'un pnïnl (x, . y-,) al rcprcsenléc par
et, pour exprimer que deux points {Xt, y-), (Xi', y/) sont conjugués par rapport à la eoiirbe, on aura la relation unique
*^iiKi' yiJ/,
de sorte qu'il faiil cinq couples de points conjugués pour déterminer une conique.
Cela étant, soient (x,, iji), {x,'!j,') .... {Xs, t/c), (j's'j/e') six couples de points conjugués à la conique [c); on aura les égalités
(S) ïf:.. =0,
(4) ïgi + 0,
(6) ÎÎ5L+ 0,
Mais, pour que Ton fiil la relation idenviinic
2^\V-,P^' = ou ^X^if -H-y,o^-l)(a:/H-^-!/,'u+ i)=0,
il faut que les coefficients de m^, mu, r*, u, v soient nuls séparément fiiosi que le terme indépendant des variables et, par suite, les cocffieients 1,, /,, ....?,. doivent satisfaire aux relations
l, (a:,.vj' M- xt'yi) ^
-^■yt!/'' +
Ai(xi -1- a;,') -(-■ .
îll -t- ^9 -H ■ ■ ■ ■
. les égalités (i'}, (S') et (6') cette i
ik)
or, en vertu des égalités (1), (2) .... {6), le premier memljre est nul et l'équation (A) est identique; de sorte que les équations (!'), (2') .... {6') se réduisent à cinq, et on peut en tirer des valeurs finies et déterminées pour les coefficients At,>s,.. de manière à avoir l'identité 2 ïiPiPi'^O.
Réciproquement, lorsque douze points PiPi' = 0, ..,, PaP'e = satisfont à une telle identité, ces points forment six couples de points conjugués h une conique; car il existe toujours une conique conjuguée aux dix premiers poinls pris deux à deux et ayant pour équation
les égiilitcs (!') ... ((i') étant données, on a développée, devient
:i la relation (k) qui, éteint
/w ^ ï|/ __ ,,-^ ^ . ., Yï*: ^ .»/ ,^
l'A, par liypollièsc, les cinq premiers termes étant nuls, on doit avoir la relation
f[ui exprime giie les points {xe,ye), {xe,ya') sont anssi conjiignés h Is coniqnc.
ïiiÉOHÉUK coiiiiiSLAiiF. PouT que SIX covplss (le droUts P|P,'==l).... PaP,' = soient conjuguées à une conique, il faut et il suffit que l'on ait
la relation identique 2 ^,P,P/= 0.
308. Les théorèmes qui précèdent sont extrêmement remarquables : le premier établit une relation analytique entre six points d'une conique, et a été donné, pour In première Tois, par M. 0. Hesse, dans un petit opuscule sur l'homographie; mais l'illoslre géomètre allemand n'a pas indiqué tout le parli qu'on pouvait en tirer pour la théorie des sections coniques. Les auti'es théorèmes se trouvent dans l'ouvrage de M. P. Seh- REi, Géométrie de direction, où ils servent de base à une nouvelle méthode pour la recherche et la démonstration des propriétés descriptives des courbes et des surfaces du second ordre. Afin de mettre en évidence l'ulililé des relations précédenles, nous allons démontrer deux théorèmes qui s'en déduisent avec la plus grande facilite.
S99. Les sommets de deux triangles conjugués à une conique sont six points appartenant à une même conique (0. IIesse).
En effet, si on rapporte une conique aux triangles conjugués dont les sommets sont P, = 0, P^ = 0, Pj == 0, P^ =-0, P, = 0, P, = 0, on a
les équations équivalentes
X,P,« -t- ïjP,' H- L'P^^ = 0, Î.^P/ .- /,,P,^ -t- >.,P,' = 0, qui cutriiiiicnl l'identité
s'i.iP.'-i^O,
el, en vertu du ibéorèjnc fondamental, les six sommets apjiiirlicnncnt à une même courbe du second ordre.
Réciproquement, si'spomfsrf'MMB conique, partages en deux groupes de trois points, sont les sommets de deux triangles conjugués à une conique.
Car, lorsque sik poiii l'idenlilc
irbe du second c
qui sii ddeompose tn (Jeux ûquat/oiis équivalentes
celles-ci représentent une niêmc conique conjuguée aux triangles des points de chaque groupe.
Thëohëue gohuélatif. Les côtés de deux tria?igles conjugués à une courbe du second degré sont tangents à une même conique.
Réciproquement, six langenles d'une conique, partagées en deux groupes de trois droites, formtutl deux triangles conjugués à une même cojiique.
300. Quand ua quadrilatère est inscrit dans une conique, une transversale quelconque rencontre la courbe et deux couples de côtés opposés en six points en involnlion (DESAneuEs).
De l'identité fondamentale à Inquelle donne lieu six points p^, p,, p^, /'*' Pb' Po d'une conique, on tire les équations langenticlles équivalentes j^P^5 ^ j^P^' = 0, ij>^2 H- ijP,^+ IjP/ + igP„' = 0. Lii picmicre repi'csciile deux points tt,, tt, situés sur la droite des points, p^ , Pj de lu conique et harmoniquement conjugués avec p, et p^; en vertu de la seconde, le système des points TTijTTj doit être conjugué au quadrilatère p^pip^ps, de sorte que les côtés opposés de ce quadrilatère sont rencontrés par la droite p^p^ en des points conjugués à tt, et tt, ; donc ks points p,, p^, et les traces de deux couples de côtés opposés avec la droite p.p^ font trois couples de points ;nnjugucs avec n, et ira, c'est-à-dire six points en invo-
liarutoniqi lotion.
Théorème connÉLATir. Quand un quadrilatère est circonscrit à unt conique, les tangentes à la courbe issues d'un point quelconque, et lei deux couples de droites qui joignent ce point aux sommets du quadrilatère forment un faisceau en invo(u<ion.
Car si P, = 0...., Po = 0, sont les équations de six tangentes, ia première des équations précddenles représente deux droites it,, tï^ ([iii passent par le point d'inlerseclion des tangentes Pj et P^, et qui sont harmoniquement conjuguées par rapport à ces tangentes. Mais, en vertu de la seconde, les droites tt,, tt^ sont conjuguées par rapport au quadrilatère formé par les tangentes P3, Pj, Pb, Po, de sorte que les sommets opposés de ce <iuadrilatère sont deux à deux conjugués par rapport k ces droites ; donc les droites qui joigaent le poirii(P,Pj} avec deux couples de sommets opposés forment avec les tangentes P,, P^ un faisceau en involution.
Le théorème de Desargucs permet aussi de construire le sixième point d'une conique définie par cinq points pi, ps, p*, ps, ps ; on mène, par le point p,, une transversale qui rencontre deux couples de côtés opposés du quadrilatère pip^pap» en quatre points tt,, nt, 7r>, ttc; si on construit le point pa qui forme avec p, tcs, tti, tts, ne une involution, ce poînl p^ appartiendra à la conique assujettie a passer par les points donnés.
Nous ne pouvons ici insister plus longtemps sur l'utilité de la relation
fondamentale 2 >,P^' = 0; nous renvoyons le leelcur à l'ouvrage de M, Serret d'où nous avons tiré les démonstrations précédentes.
