CHAPITRE XIV
PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES CONIQUES
Méthofles de la transformation fles figures : théorie des polaires râciproqnes ; fgnres homogrruphiqaes et liaino logiques ; transformation par rayons vectears réciproqaes.
iniiiiAinii. — Comlruclion de (teiKC figures ciirrêlati'ves avec une coniijue ciuxUiairB. Equation de la polaire rèeiproqiie d'une courbe pnr rapport au cercle x' -t- y' — '■' = 0. Applicalians , Formules qui définitueiit ta Iraifformation homographique et homologique. UlUîti de ces Iram formation» pour généraliicr un théorème. Priaeipes de la Iran' formation par raijons veelews réciproques.
SOI. Ktant donnije une figiu'c dans un plan, on p en déduise, au moyen de cerlaincs règles, une seconde figure dont la nuture dépend du mode de tiansrormafioii que l'on a employé pour passer de la première à la seconde. Dans tniis les cas, il est visible qu'une propriété de la figure donnée va se transformer en une propriété correspondante dans la figure dérivée. Ainsi, par eiiemple, si un cercle devient, après In transformntion, une section conique, plusieurs propriétés du cercle pourront s'appliquer aux courbes du second ordre. II est donc possible de celte manière, soit de généraliser un théorème ou de faciliter sa démonstration, soit d'augmenter le nombre des propriétés d'une ligne. Nous allons indiquer brièvement, dans ce chapitre, quelques modes de transformation très-remarquables employés par Chasles et Poneelel, les denx grands maîtres de la géométrie moderne.
I i. TiiiioiirE D!;s polacuks miCd'RfigL'ES.
30Î. Deux figures sont dites corrélalivex, lorsqu'à un point de lu prcmiôre correspond une droite dans h seconde, et à toute droite de li\ première, un point dans la seconde.
Les pi-incîpes de la théorie des pdics et des polaires dans les cnurbes du second ordre, permettent de construire une figure correlnlîvc d'une ligure donnée.
Considérons d'nbùrd une figure coinposéo de droites et de points. Après avoir tracé dnns le plan une conique auxiliaire S, on détermine les polaires des points et les pôles des droites par rapport à cette courbe : ces pôles et ces polaires l'orment une nouvelle figure, tellequc les points et les droites dont elle se compose correspondent respectivement aux droites et aux points de la première. En vertu de la propriété de In polnire d'un point relativement fi une conique, à un système de points en ligne droite dans la figure donnée, correspond dans l'autre un système de droites passant par un même point, tandis qu'un système de droites, passant par un même point dans la première, donnera lieu à un sj'slème de points en [ligne droile dans la figure corrélative ; de plus, ces figures seront réciproques, c'est-à-dire qu'en appliquant le même procédé à la seconde figure on retrouverait la première.
Supposons que la figure dojinéc renferme une courbe quelconque C, et imaginons une droile qui se meut dans le plan en restant tangente à celte courbe, le pôle de cette droite va décrire, dans la seconde figure, une co rbe o e pond n e C qui sera le lieu géométrique des pôles des tauge à la p en e e Réciproquement, la courbe primitive C est aussi le I e d pôle d s angentes à la courbe C. En effet, le point d'inlersecou de deu anj,c e à C a pour polaire la droile qui joint les pôles de ce n},ente e p conséquent, une sécante de la courbe C ; mais, si I ne 1 s an^ n s se rapproche indéfiniment de l'autre, leur point con u I In e c t le point de contact des tangentes qui coïncident, al q e I éc e correspondante devient tangente à la courbe C. Doue, une tangente quelconque de C a son pôle sur la ligne C, et celle-ci peut se déduire de l'autre de la même manière : de là le nom de polaires réciproques donné aux courbes G et C, Les deux figures qui renrermenl ces lignes sont appelées figures polaires rÉci/jro(/iivs.
303. Une courbe du degré m a pour polaire réciproque une courbe de ta m"""' classe, c'est-à-dire une coîirbe à laquelle on peut mener m langenles par un point donné.
Car, une droite menée dans la première figure peut rencontrer une courbe C du degré )n en m points ; à ces points en ligne droite correspondent, dans k figure corrélative, un même nombre de tangentes à la coui'bc C issues d'un même point.
II résulte de ce théorème qu'une coupbe du second ordre a pour polaire réciproque une courbe du même degré. Celte circonstance permet de doubler le nombre des propriétés descriptives des coniques ; car en cherchant la figure réciproque de celle où se vérifie une propriété d'une conique, on aura une nouvelle figure qui i-enTermepa une propriété correspondante et différente de la première. Pour énoncer la propriété réciproque, il faut tenir compte des changements apportés par la transformation. Comme un polygone inscrit dans une conique donnée se change, dans la figure réciproque, en un polygone circonscrit à la conique transformée, il en résulte que toute propriété relative à un polygone inscrit dans une conique se transforme en une propriété relative à un polygone circonscrit. Ainsi, par exemple, on sait que, dans un hexagone inscrit fi une conique, les points de concours des cotés opposés sont en ligue droite. Dans la figure transformée, l'hexagone est circonscrit ;'i la conique; déplus, les points d'intersection des côtés opposés ont évidemment pour polaires, par rapport à la conique auxiliaire, les droites qui passent par les sommets opposés de l'hexagone circonscrit. On a donc pour le théorème réciproque ou corrélatif: un hexagone étant cîrconsci'it à une conique, les diagonales passent par un même point. En général, pour énoncer le théorème corrélatif, il suffit de remplacer o droite par point, » i point par droite, • « inscrit par circonscrit, » « lieu par enveloppe, « etc.
304. La conique employée pour la transformation est quelconque, et, pour simplifier, on peut prendre un cercle. Soit (/'^. 109) le centre d'un cercle de rayon r; supposons qu'il s'agisse de construire la courbe réciproque d'une courbe donnée C par rapport à ce cercle. On sait que la droite qui joint le centre à un point ( est perpendiculaire à la polaire T de ce point; de plus, si s est le point de rencontre de Ol avec T, on a la relation
(y) m-sO = r\
yGoosle
Cclit dlaiit, abaissons du point dos porijcndi à la courbe C et pi-enons les longueurs (0, ('0 ,.., telles que l'on ait
(0 -sO =}■% t'O ■ s'O =i'^..., les points l, (',.,,. appitrtiendront à la coui'be réciproque. Celte construction est indépendante de la eirconfcretice du cercle auxiliaire ; elle suppose seulement iin point fixe et la relation [a) dans laquelle r est uue constante quelconque.
305. Trouiier t'équalioii de la polaire récîproriue d'une courbe donnée par rapport an cercle x^ -+■ y* — j'^ = 0.
Soit F(j;,?/) = 0, l'équation de la courbe donnée, e( (sr,, y, ) l'un de SCS points dont la polaire par rapport au cercle .liiKiliaire aura pour équation
xKi -i- yi/i — r^ = 0.
Mais, si u et v sont les coordonnées d'une tangente à la courbe réciproque, on peut prendre jiour l'équation de cette tangente ux + vy — i :=0.
En comparant, il vient lus relaiious
par suite, a;[ = c^K, yi = r^y, et l'équation de la polaire réciproque sera F {r^H,r^v) =0. Si la ligne proposée était définie par 9 (m, v)--=Q,
la courbe
ciproipic
le serait par "P ( -5 ' ,j ) = '^^ Rans le eas particulier où le rayon du cercle auxiliaire est l'unité, on a cette règle : Une courbe étant représentée par F (x-, y) =^ ou 9 (m, v) = 0, l'équation de la polaire réeipoque sera F {u, u) = ou tp {x, y) = 0.
Considérons, par exemple, la conique représentée par l'une des équations
Aif + Wxy -H Cx^ + 2D// -H 2Fa: -1- F = 0,
{D^ — AF) u^ -v 2 (UF — DE) u» -+- (E^ — CF) u^ — 2 (AE — BD) u
— 'i (Cn — lil!) Il -+- lî= — AC =
yGoosle
La polaire récipcoiiiic scia une ciini<iiie définie |iiir les o([uaiions correspondantes
r" (A»^ -H 2Bwu -+- Ct;^) -+- {-2\iu -+- 2Ey) /■' + F = 0,
(D« — AF ) x= -+■ 2 (liF - DF) xy -t- (E* — CF) ij' — r' [2 (AF ~ I3D) x +
2 (CD - lifi) 1/] -+- r' (B^ — AC) = 0.
Comme cas parliciilici', considérons une ellipse rcprùscnuie pai' l'iJcjuiUion
cl cherchons sa polaire riSciproque par rapport à un poiiil 0, situe sur le grand axe, à nnc dislanee a du centre de l'ellipse. Si on transporte Torigine des a.ves coordonnés au point 0, l'équiition de l'eliipsc devient
E = — , ]'':=— — 1 ; en appliquant la dernière équation, on trouve que la poliiiie irciproquc de l'ellipse donnée est l'cprésenlée pwr
La polaire réciproque est une ellipse, une hyperbole ou une parabole suivant que a <C <*) * ^ "j " '^ ") e'cst-à-dire suivant qne le point csl à l'intérieur, à l'estérieur ou sur la courbe donnée. Il est facile de montrer qu'il en doit être oinsi : car, si le centre du cercle auxiliaire est en dehors de l'ellipse, on peut mener par ce point deux tangentes réelles ù la courbe, et comme les droites qui passent par le centre du cercle ont leurspôlcs situés à l'infini, la courbe réciproque aura deux points à l'infini et sera une hyperbole; quand le point est sur l'ellipse, il n'y a plus qu'une tangente qui passe par ce point, et la polaire réciproque n'ayant qu'un point à l'infini sera une parabole; enfin, si l'origine est à l'intérieur de l'eliipsc, aucune tangente réelle à cette courbe ne passe par ce point, et la polaire réciproque sera une ellipse, puisqu'elle ne peut avoir aucun point sittié à l'infini.
torsque le point csl au fiiyer de rellipsp, œ' = a' -~ 6' et les coefficients de x^ et de y^ étant (-gaus. dans l'étiiiation (4), la polaire réciproque est lin cercle.
Enfin, si k = 0, IVqiinlion (4) se réduit à
i- -H 7-: =-777 ' ou b^ii'^ -t- a'x- === !■»: la courbe réciproque est une ellipse coucentrii]uc a la proposée.
306. La polaire réciproque (l'une circonférence, par rapport à un cercle de centre 0, est une section conique ayant pour foyer le point et pour directrice la polaire du centre de cette circonférence.
En effet, menons la droite des centres et pjenons celle droite pour axe des X. Si l'origine est au point 0, le cercle donné est représenté en coordonnées rectangulaires par une équation Je la forme
(■■ + «)' + >(■- H' -0, a éliinl la distance des centres et B le rayon du cercle; par suite, l'équation do la polaire réciproque sera
(Ri „ï)a.s ^ Hhf — Sc'ax — !■* == 0, ou bien,
H^ (x^ ^ tf) — (oLX + ry- = 0.
Celte équation exprime que le rapport des distances d'un point de la courbe à l'origine et .^ la droite ax -t- r^ = esl constant, et, par conséquent, elle représente une conique qui a pour foyer le point et pour directrice la droite ax -i-r^^O ou la polaire du point ( — a, 0) par rapport au cercle auxiliaire; ce qui démontre le théorème.
30Î. Puisque le cercle peut se transformer en une section conique, les propriétés descriptives du cercle s'appliquent aux courbes du second ordre. De plus, comme l'angle de deux droites est égal h celui des rayons qui joignent le centre do cercle auxiliaire aux pôles de ces droites, toute relation métrique entre les angles des droites d une figuie qui lenfcime un cercle, se changera en une relation pareille entre ks \ni,lts autour du point foyei de la section conique Nous allons donnei ici quelques exemples du passage d une ppopritte métrique du cercle a la piopriete correspondante de la conique, en priant le lecteur de suivre avec alten-
Dans un i;er«le, les rayons mènes uui extrémités d'une corde font dos angles égaux ovee celle droite.
Ucns un cerele, Is i pandiculHÎrp au rayon
ngentu est pericné au point de
lion les chnngcmcnts qui résultent de In tfansformnlion du cercle en une conique dont le foyer est le centre du cerele auxiliaire, et dont la directrice est la polaire du centre du cercle donné.
Dans un cercle,1es tangentes sont égale- Dans une conique, la droite qui joint la
a tordo des coiilucts. foyer au poiut d'intersection de deux tan-
gentes est bissectrice de l'angle des rayons vecteurs des points do contact.
Dans une conique, la droite qui joint te foyer au point d'intersection de deux tangentes est bissectrice de l'angle des droites qui vont du foyer aux points d'intersection des tangentes et de la directrice.
Dans une conique, le rayon vecteur du point de contact d'une tangente, est pei'pendiculaire à la droite qui joint te foyer au point d'intei'seetion de la tangente et de la directrice.
Dans une conique, la droite qui joint le foyer au point d'iiltersoctiou d'une sécante avec la directrice divise en deux parties égales l'angle des rayons vecteurs des points de rencontre de la sécante et de la courbe.
Les tangentes a la parabole perpendiculaires entre elles se coupent sur la direc-
Dans une conique, si on inèno deux tangentes d'un point de la directrice, la eOL-de des contacts passa par le foyer.
Une corde vue du foyer d'une conique sous un angle constant enveloppe une section conique ayant méinc foyer et luênie directrice que la première.
Dans uu cercle, la droite qui joint le centre au point de concoui's dus langeâtes est bissectrice de l'angle de ces droites.
La corde qui soustend u inscrit dans un cercle passe j
Dans UD cercle, les tangentes nienécs aux extrémités d'un diamètre sont poral-
Le lieu du sommet d'i circonscrit à ua cercle i c en trique au premier.
Si
h tourner a
tAGBse meut dans plan, les cétés AC ctfiC étant assujettis r des deux points lixcs A C décrit un cercle.
point fixe O, la di
te qui joint les points côtés avec deux droi- ■loppe une section conique.
30S. Dans la transformation avec un cercle auxiliaire, Je rapport anharmonîqiie de quatre points on ligne droite de la première figure est égal au rapport anharmonique du faisceau des quatre droites correspondiintcs dans la figure dérivée ; car les droites qui joignent le centre aux quatre points sont respectivement perpendiculaires aux droites du faisceau. Il en résulle qu'on peut étendre les propriétés liarnjoniques du cercle aux sections coniques.
Dans une conique, les taugeclcs menées li'un point de la tlireetrice forment avec celle-ci et la droite qui joint le foyer à «0 point un faisceau de quatre droites liarmo niques.
Lra sécantes communps de deux coniques qui ont un Toyer commun vont coucouHr au poinl d'inlerscction des direc- IriCf'S, et forment avec celles-ci un faisceau de quatre droites harmoniques.
Une tangente variable est rencontrée par qualro tjingcntes fixes d'une conique en quatre points dont le rapport auliaruionique est constant.
Dans un cercle les extrémités d'un diamètre sont deux points harmouiquemenl coujugocs pur rapport au centre et au point à l'inlini de ce diamètre.
:s points de
lu ligne des centres niqucnient.
es tangentes les se trouvent sur la divisent harmo-
Si on joint un quatre points lises de celte cour rapport anharmonique du faiseea obtenu est constant, quelle que position du point M sur le cercle.
Ces quelques exemples suffisent pour montrer l'utilité et l'avantage de la théorie des polaires réciproques comme métliode d'invention. Elle s'applique aussi aux courbes d'un degré supérieur; le lecteur qui voudrait étendre ses connaissances sur cette partie peut consulter les ouvrages suivants :
Traité dei propriétés projecUvea des figures par PoMctiBT. C'est ce géomètre qui est l'auteur de lu théorie des polaires réciproques ; il l'expose d'une manière générale tome II, page S7, pour les courbes et les surfaces.
Transfcrotatioii des propriétés mèlriqnea des figures à l'aide de la Uiéurie des polaire* réciproques par A. MAiiKnEiu. Paris, 1^97.
mémoire sur la transfonitalion parnboligue des relations métriques des figures par CussLEs. Ji'auleur prend pour courbe auxiluiie une parabole et s'appuie sur le [liéoièrae suivant: Les polaires de deux points qutleonques piises par rapport ti une parabole, interceptent sur l'axe un segment qui est ugal en longueur à la projection orthogonale sur cet axe de la droite qui joint les deux points
Mémoire de géométrie sur te principe de dnahlé pai CiitSLES, tome XI des m couronnés de l' Académie de Belgique. L'auteui expose la théorie générale des lig corrélatives, et en déduit, comme cas particulierj la théorie des polaires réciproque
^ ^Z. FifiURES IIOMOGRAPHIQUES.
309. Si, après nvoir formi: la figure corrélative d'une figure donnée, on liri a|)plique le même mode de Ira nsforma lion à l'aide d'une nouvelle conique, on obtienl une iroîsième figure composée de poinis et de droites qui correspondent aux points et aux droites de la figure donnde; à des poinis en ligne droite, à des droites concournnles dans la première ligure, correspondent des poinis en ligne droite et des droites passant par un même point dans la troisième : en un mot, ces deux figures jouissent des mêmes propriétés descriptives; on les appelle fiijures homographiqties.
310. Il esl facile de construire une figure linmograpliique d'une figure donnée. Considérons une figure rapportée à deux axes OX, 0¥. Soit M (X, Y) un point de cette figure, et m {x, y) un autre point du plan qui doit correspondre au premier dans la figure homograpluquc. Posons
' ' «iX -I- b..y -i- Cl iiiV -i- Ihy -+- d
a, h, c, a,.... sont des cocRirienls constants.
Une droite de la figure donnée repn-seiitre par (D) pS. -t. 7Y -M- = 0,
aura pour droite correspondante dans la seconde celle de l'équation ((î) p{ax -^hij -+- c} -t- [/ («i»; + 6,j/ H- C|) -i- r [a^x ■+■ bsy ■+■ Cs) ;= 0.
Il est évident que aï trois points de la première figure (Xi, Yj), (X3, Yj), (Xs, Y3) sont sur une même droite D, les points correspondants dans la seconde {x\,yi), {xt, i/a), (xj, t/s) seront aussi sur une même droite d. De plus, si trois droites
^X -H (fi + r = //X -i- q'X + r' == 0, p"X. + ^"Y -+- *■" =de la figure donnée passent par un même point, on peut trouver trois constantes k, k', k" de manière Ji avoir l'idenlité
k {pX -t- çY -I- r) + k" (p'X -H ^'Y -1- »■') + k" {fX -+- (/"Y + r") = 0, et, en remplaçant X, Y par leurs valeurs tirées des relations (H), cette identité exprime que les droites correspondantes dans la figure dérivée passent aussi par un même point. Il en résulte que lonle figure constj'uile
à l'aide des formules (I[) est liomographiquc avec in pi-oposée : sa position et sa forme dépendent des valeurs que l'on attribue aux constantes a, b... Réciproquement, quand deux iigiires sont homograpliiques, il existe, entre les coordonnées X, Y d'un pninf de l'une et les coordonnées a:, y du point homoloi^ue dans l'autre, des ptlnlions de la forme (H); car, pour qu'à une droite de l'une des figures corresponde une droite dans l'autre, il faut nécessairement que les deux termes de chaque fraction soient des polynômes du premier degré en x tX y et que le dénominateur soit le même.
ail. Les formules (II) qui définissent l'homograpliie d'une manière générale renferment huit constantes, après avoir divisé les deux termes de chaque fraction par Cj, cl à quatre points quelconques de l'une des ligures, on peut faire correspondre quali-c points quelconques de l'autre; car, en substituant les coordonnées de ces points, on aura huit équations porrr déterminer les constantes arbitraires.
Les points situés à l'infini dans la première figure ont, pour homologues dans la seconde, les points delà driiite représentée par l'équation (I) ùiX -+- biy -1- c* = 0,
de sorte que les droites de la figure dérivée qui correspondent aux droites
parallèles de la figure donnée vont se rencontrer sur la droite (I).
Enfin, il est utile de vérifier, si deux figures homographiques peuvent avoir des points qui se correspondent à eux-mêmes.
Pour qu'il en soit ainsi, on doit avoir X = ce, y = i/ et les équations (|[) deviennent
X (oaX -+- b^y -H Cl) = fi-e -h 6;/ -t- c i/{asK-i- 6sï/ -1- e,) = o,3: + b,y -\- o,.
Ces équations sont du second degré et représentent deux hyperboles qui ont chacune une asymptote parallèle à la droite (I)osr-(-6ii/-t-Cs=0; car il est visible que la droite 1 ne rencontre chaque courbe qu'en un point.
Il en résulte que les deux hyperboles ne peuvent se rencontrer qu'en trois points situés à une distance finie, et il n'existe que (rois points qui coïncident avec leurs homologues dans les deux figures : ces trois points s'appellent points doubles.
~ 594 - 31I3. Considérons deux figures homogruphiqucs; soient A = 0, B = 0, C =
les équations do trois points de la première ligure, et
celles des points coi'respondanls de la seconde. En rapportant les figures respectivement aux triangles ABC et apy, les formules de la transformation homograpliique en coordonnées tangentîclies seront
/f.. ABC
puisque les points a = 0, |3 = 0, ^=^0 doivent correspondre respectivement aux points A = 0, B = 0, C = 0, Les deux constantes m et n se déterminent en faisant correspondre deux autres points dans les figures. Si les équations précédentes représentent des droites correspondantes, les formules (h) seront celles de la transformation homographique en coordonnées triangulaires. Les coefficients m et n permettent de faire correspondre une quatrième droite de la seconde figure à une quatrième droite de la première.
313. Dans deux figures hnmograjihiquËS , le rapport ankarmOHi(fue de quatre points en ligne droite est égal à celui des quatre points correspondants.
Soient
A = 0, l!-=0, A — fcB = 0, A~A''B=0
les équations de quatre points en ligne droite de la première figure. Les points correspondants, dans la seconde, sont représentés par
« = 0, p = 0, m« — «^3 = 0, ma — «t'^ = 0.
Les rapports auli.irinoniqiies de ces deux systèmes de points sont
ces rapports sont donc égaux.
314. Dans deux figures hoiiiographiquex, le rapport aiiharmonique
de quatre droites issues d'un même point est égal à celui des quatre droites correspondantes.
Même raisonnement que dans le numéro précédent, en supposant que les équations représenlent des droites.
315. Il résulte des formules (H) et [h) que la triinsformation homographique ne change pas le degré d'une ligne; la courbe homographique d'un cercle sera, en général, une section conique. Toutes les propriétés descriptives du cercle et les propriétés métriques qui ne dépendent que des rapports anharmoniques s'étendent aux sections coniques. L'homographie sert a généraliser les propriétés de l'étendue, en passant d'un cas parliculier d'une proposition à la proposition générale.
Exemples.
En. t. Menons dati$ un cercle diUcrents diamètres; le point liarnioniijue conjugué du centre, par rapport aux cxirémiliïs de chacun d'eux, se liouvc à l'infini. Si on applique la transformation homographique, le cercle se change en une section conique ; aux diamètres correspondent desseeanlcs qui passent par un point fixe, et le point conjuguii harmonique de ce dernier, par rapport aux points où chaque sécante rencontre la Gourlie, doit se trouver sur une droite I qui correspond à l'iafmi de la première figure. De là ce théorème ; Si, par tmpoial ^e, o« mine des iècanles à une ionique, le liai du cotijvgué harmoaitjyÀe da point fUce, par rapport uwc points d'inlerseclion de chaqua aécanle aoec la courbe, eel une ligne divile.
Ex. ». Inscrivoiis, dans un cercle, un hexagone tel quc les cotés opposés 1 et ^, 2 et S soient respectivement parallèles; tes deux autres cotes opposés S cl 6 seront aussi parallèles, de sorte que les points de concours des côtés opposés se trouvent à l'infini. Par la transforma lion homographique, on aura un hexagone quelconque insci'it dans une conique et dont les côtés opposés se rencontrent sur une droite I qui correspond à l'infini de la première figure; ce qui démontre le théorème de Pascal.
Ex. 8. Un triangle variable élanl intcril dam une conique, ai deux de ses eâlôa postent par denx point» fiires, le Croisième enveloppe tme sealion eonigiie doublement tangente à la proposée suivant ta ligne des points fixes.
Pour deniontier ce theureme, cousidcrons un triangle inscrit dans un cercle dont deux cote^ sa meuvent parallèlLment ideui lignes fixes, le troisième c6tc conserve évidemment la même longucm et par 'uitc, il enveloppe un cercle concentrique au premier.
Par la [ransfotmition hcmogiiph quL on aan un triangle inscrit dans une conique dont deux cotes louintiit uutoui de deux points fixes, situes sur la droite qui correspond à I inhni de h picmeie iLguie, et le troisième cété enveloppera une section
t être considcrés c
avant un douille ce
Coui(|iie qui louchera lu premièi dnuï cercles concenti'iques doive l'inlini.
Le théorème corrélatif du précëdcut peut s'énoncer ains[ ;
Un triangle étant circonierit a JOie conique, gi deux de set lommels gliisml sur deux lignes fixes, te troisième sommet décrit une eoniqm doabO tuent tangente à la proposée SHionnt la poUiira du point d'intersection des droites fixes.
Ex. A. Soient deux augles coustanlsaet^ qui lournent a et Br de manière à ce que les calés MA et MA' se coupent sui tersectïoM a des deux autres cOtés dcerira un cercle qui passe
5lSIM'-f-A'8iimi.is
En elTet, l'angle KaW e:
il est Taeile de voii' que l'ai'
réduit i c
kux droite», l'une d
laquelle se
d'une coni
Si dmx
coupent deuï cités ique:
angles constants AllU
W de telle
' sorte gm deux eûtes
deuxautr,
t cités décrit une seeli
Cetle co
nstruetioR a été doni
our de leurs sommets III m cercle ; le point d'iiir les pointa M et M', 'arc MM' est constant, et
ionslanl, lorsque les côtés MA' et M'B tournent des points M el M' ; car, d'après la nature du côtés tournent h la Tais d'un même iingle. Donc, l'augle MnM' étant constant, le sommet >« décrit une circonférence qui passe par les points Met M'. Par la transfoi'inalion homographique, on arrive au théorème suiraiit: Si den-c angles constnnts a el ^ tournent autour de leurs sommets M et M' de manièi'e gue le point d'intersection de deuxeàtés se meuve sur une conique pasuanl par les points M cl M', (e point d'intersection des autres côtés décrira atissi une section conique passant par ces mêmes sommets.
Dans le cas particulier où la première conique se 'elles étant MM' et l'autre une droite quelconque sur des angles mobiles, on arrive à la construction suivante
' =; a, AH'B = fi lournent autour de leurs sommets M et se coupent sur une droite fixe, te point d'intersection des on conique gui passe par les sommets des angles mobiles, ée par Newton.
^ O. FIGURES HO«ÛLOC1Q[JES.
316. Deux figures sont appelées komologiques, lorsque les points correspondants se trouvent sur des droites qui eoneoupont en itn môme point, tandis que les droites correspondantes se coupent sur une mcme droite.
PoNCEr.ET a exposé le premier la théorie des figures homologiqiies; il a donné le nom d'homologues aux points et aux droites qui se correspondent dans les deux figures. Le point où concourent les droites qui renfer-
ment deux poinis homologues est le cvntrp. d'homolugie, e( la droite fixe où se rencoiilrent les droites homologues, Vaxe d'hornologie des deux figures.
Considérons une figure quelconque rapportée h deux axes OX, OY; soient X, Y les coordonnées de l'un de ses points, et xo, yo celles d'un point fixe du plan. Si on représente par x, y les coordonnées dn point homologue du premier, toute figure construite ou moyen des formules
a; ~- a'o y — y^ Ix + my ■+■ n sera homologique avec la proposée. En effet, on en déduit
X — a;,, X — x„ et deux poinis homologues quelconques (X, Y), (x , y) sont en ligne droite avec le point {Xq, y„). De plus, à toute droite de la figure donnée représentée par
/)X -4- (J'Y + r == 0, ou p(X — Xo) -+- ï(Y— f/o) -+■ pxo -+- (/i/o -t- r = 0, eori'espoiid une droite ayant pour équation
;) {x ~ Xo) -1- q{y—yo) -I- (p^o -h qy„ -+- r) [Ix -c my + n) = 0, et il est visible que le point d'intersection de ces droites se trouve sur la droite fixe
(P) Ix -i-my -^ u~- i =Q.
La seconde figure est donc homologique avec la proposée ; le point [x^, jj) est le centre, et la droite {P) l'axe d'homologic.
Béuip roque ment, étant données deux figures homologiqucs, les coordonnées de deux poinis homologues (X, Y), (x, y) sont liées par des relations de la forme (K), En effet, puisque ces points se trouvent en ligne droite avec le centre d'homologie (j„, y^) on doit avoir
X — Xo" x — x,' X — Xo y-y,'
et, connue à une droite de l'une des ligures correspond une droile dans la seconde, chacun de ces rapports doit être égal à une fraction dont le numérateur est une constante ou l'unité, et le dénominateur une fonction
du premier degré en x et y.
— 598 ~ Lorsque le centre d'homologie coïncide iivce l'oiii^iiie des coordo mîtes, les formules (K) deviennent
X y ix + my -^ n
31T. Les ligures liomologiques rentrent dans Ifi cfitcgon'e des lîjçiircs homogra pli iq lies, cai" les formules (le) dérivenl des formules (II) (N° 310) en posiint « = 6, = 1 , 5 = c = a, = c, = 0, as^=l, da = m, Cs = n ; mais elles renferment une infinité de points doubles déterminés pmles équations
X {tx -t- my -t- n) ^= x, y {Ix ■+■ my -\- n) = y, ou
cc{lx -\- my -^^ n— \)^=0, y {Ix -t- my -^ n — 1) =
obtenues en posant X = a:, Y = y. Il en résulte que le centre d'Iiomologie (a;=y^O), el les points de l'axe d'Iiomologie Ix -t- my -h « — 1 =0 sont des points qui se correspondent h. cux-inâmcs dans les deux figui-es; par suite, toutes les droites qui passent par le centre sont dos droites doubles.
31S. Soient
deux droites qui passent par le centre d'Iiomologie de dciix figures, et
A — tu -= une droite quelconque issue du même piiint; la droite homograpliiquc coi-respondiinlc sera (N" 312)
Mais, dans deu f j, ire h nologiques, cette droite doit coïncider avec la première qui pisse [ ar le ce tpc d'homologic ; donc m = » ; les formules de 1r transfo ma o I mologique en coordonniîes triangulaires ne renfermeront | n seul \ ar notre et seront de la forme V R C a [3 my C = 0, étant l'équation de l'axe d'homologic ; A, B, C et a, (3, ■/ sont les coordonnées de deux points homologues des ligures rapportées à un même triangle de référence ABC = 0.
On voil inimédiafemciiL que deux droîlfis homologues
AA -t- ^B + vC = et /a + izp -H vmy = se coupent sur l'axe.
319. On pcuf étendri! aux figures homologiques les propriétés des figures homographiques. Ainsi, le rapport an harmonique de qEiatre points en ligne droite ou de quatre droites qui passent par un même point de
la première figure est ^gal à celui des quatre points ou des quatre droites homologues. La transformation homologique ne change pas le degré d'une courbe, cl, en général, un cercle se change en une section conique. On peut ainsi, comme par l'homographie, généraliser une propriété d'une (ïgurc et déduire plusieurs propriétés des sections coniques de celles du eercJe.
Exemples.
Ex. 1 , lieux coniques dans un plnii sont toujours honiologiqttes.
Considérons deux coniquts qui se eoupcut en quatre pointa réels, et menons les tangentes communes A et B. Soient C et D les sécantes communes cunjuguées qui passent par le point d'interseclioLi des cordes de contact des tangentes communes. Rapportons les deux courbes au triaDgle AUC ; les cquallous des cordes de eoiitacl seront delà foi'jne
JA -H /:lB -t- vC = 0, )A -t- ,«B -»- v'C =
puisque la seconde passe par le point d'inlcrsection du eùtc C avuc la première Cela
étant, les deux coniques sont représentées par les équations
AB — (JA -H /xB -(- ïC]' = 0,
AB — (lA -t- >iB -4- v'C)' == 0,
et, comme on peut passer de la première à la seconde avec les lelatioiis
"~^~Vï' les deux coniques sont homologiques. Le point de concours S des tangentes communes est le centre, et la sécante commune C l'axe d'horaologie. On arriverait évidemment au même résultai, en prenant pour te troisième cSié du triangle de réféicace l'autre sécante commune Dj donc les sécantes conjuguées C et D sont deux axes d'hoinologie qui correspondentauci^ntre S. On verrait,de la même manière, quo le point de concours S' des deux autres tangentes communes est aussi un centre d'homologie dont les axes sont encore les mêmes sécantes communes C et D. Les autres points d'iul dos tangentes communes sont également lies centres d'homologie ayant pour a autres sécantes communes conjuguées.
Puisque deax coniques situées d'une mamêrc quelconque dans Uii pLnii ont toujours deux sécanles conjinuncs et deux ombilics réels, il existera donc toujoui's deux centres d'honiologiu et deux axes qui leur correspondent.
Ex. S. Si dean) comijnes se toucheal, le point de conlael est nn centre d'/wmologie des deux courbes.
En effet, si deux points d'intersection de deux coniques sf confondent, ti-s deux tangentes communes coïncident, et leui' point d'intersection, à la limite, est le point de con> tact des courbes. L'nxc d'homologia sera, dans ce cas, la droite qui passe par les deux autres points d'intersection des coniques.
Corollaire. Si deux cnniqucs ont un double contact aux points s et s', les tangentes en ces points se coupent en un point S qui sera uu centre d'homologie dont l'axe correspondant est la corde des contacts. Les points a et s' sont aussi des centres d'homologie dont les axes sont les tangentes qui aboutissent au point S.
Ex. 3. Si auloiir d'un point d'une coniqae on fuit tourner un angle de grandeur constante, la corde intereeplée rfans la courbe enveloppe une section eoniq^ qni a un dmdile contact avec la proposée.
Imaginons un cercle qui toucbe la conique donnée au sommet de t'angle ; le point de contact étant un centre d'homologie, la corde interceptée dans le cercle est homologue à celle qui est Interceptiie dans la conique î mais la première enveloppe un cercle concentrique; donc la seconde enveloppera une conique qui aura un double contact avec la proposée, puisque deux cercles concentriques ont un double contact sui unediojte à l-inlinl.
Dans le cas particulier où l'angle est droit, la corde interceptée dans le cctcle est une droite qui passe constamment par le centre du cercle ; or, le cercle et la concque ont même normale au point de contact, et celle-ci est dirigée suivant le dtamelre du cercle qui passe par le sommet de l'angle; de là ce théorème : Un angU dfoil, gui lovrne autour d'un point d'une conique, intercepte sur celte courbe une eoi de qui passe pni unpoinl fixe de la nonitale au somniet de l'angle.
Ex, 4. Deux '^niques qui ont un foyer commun sont /lomologiquea ,
Quand l'origine des coordonnées est SU Foyrr, une conique csl représenléc par une équation de la forme
X= -t- Y' - (vX -h |3Y -+- -/)' = 0.
on [rniive nnc: équation de la même forme, qui sera celle d'une nou\<!llr criiiji^Lic uyaiit pour fo^er l'origine. Le fojcr commun est donc un centre d'Iioraologie dos deux
Il résulte, de ce théorème, qu'un cercle de rayon quelconque décrit dulojerd'unu conique, comme centre, sera bomologique à cette conique; car, dans un cercle, les foyers sont confondus au centre.
On pourrait démontrer les propriétés focales d'une conique en partajil de ce théorème.
Ex. s. La simililiide de ihux figures est nn cas parlicidier de t'Iiomulogie.
l^ ui = 0, duiis les formules (i),
Dans ce cas, les droites homologues sonlparslièles, et l'axe d'Iiomologie esta l'infini ; deux polygones doilt les sommets sont sur des droites qui passent par un même point ayant leurs câtés parallèles seront semblables; car il est évident que les angles sont égaux chacun à chacun et que leurs câtés sont proportionnels.
Puisque deux couiques semblables sont homo logiques, les centres de similitude de ces courbes seront des points de concours des tangentes communes, et deux coniques homothétiques auront une sécante commune è l'înllai, qui D'est autre chose que l'axe oii vont concourir les droites homologues parallèles.
RemarqHe. Ouvrages à consulter sur l'Iiomographic et l'iiomologie :
Chasles. Aperçu historique mr l'origine el le déviiloppemenl des mélhodes en Géométrie. On trouve dans cet ouvrage un mémoire sur deux principes généraux de la science : le dvalilé et fliamogruphit.
PoNCELEi. Traité des propriétés projective» des figures. L'auteur y développe longuement sa théorie des ligures homologiques, et montre tous les avantages qui en découlent pour l'étude des figures.
g 4. TRANSFOIWUTJOS PAR R.WONS VECTEURS RÉCIPROQUES.
330. SupposQns que l'on ail une courbe S et un point fixe 0; raenuns, par ce point, le rayon OM qui .iboutil en un point M de la courbe donnée, et prenons, sur cette ligne, une longueur Om telle que l'on ait
Om-OM =k^, k étant une constante. En répétant celle constniclion sur les différents rayons menés à S, le lieu du point m sera une courbe dérivée de la première, à laquelle on a donné le nom de courbe inverse de la proposée. Le procédé employé pour construire une flgui'e inverse s'appelle transformation par rayons vecteurs réciproques; le point est le pôle, el la constante k le module de la transformation.
Afin d'établir les formules de transformation, supposons, en premier lieu, que la courbe proposée soit définie en coordonnées polaires par l'équation
le point fixe étani le pôic. Désignons par r fc rayon vecleur do la courbe Inverse; on aura, par définition,
— 4(12 — r suite, la courbe invt'rsc anrfi pour ûiiimlioii
Soil, en second lien, ç (x, y) = réqiintioa do la courbe |>roposce rapportée h un sj'slcmc d'axes rcclangulaircs issus <Iu point 0. Appelons 5, ï] les cooi-donnécs du point m qui eoreespond au point M (x, y) de la eourbc donnée : on aurn les égiilités
On
en déduit
mais .
|.i„. snilo,
fnrmu
lies de tpansfornialion.
î,^ -+- Vj'
kH
Ile
n résulfc qui
; la comlic iuvc
Tse (io ]
a proposée i
l'équa
lion
391 . Comme application des formules précédentes, eherclions d'abord la courbe inverse d'une droite ayant pour équation A»; -1- lîx + C =- 0.
Par la substitution des valeurs de x et de y, il vient
par eonscqucnt, l'inverse d'une droite enl un cercle qui passe par le pôle. Si on fait une substitution analogue dans l'équation a:' -h ^* -h Hax •+- 26t/ h- c = 0, on trouve pour l'équation transformée
c (?' -+- ïl=) + 2P (al + b-^) -H /(* = ; elle s'abaisse au premier degré si c = 0, Donc, l'inverse d'une circonfé-
— Mo —
renceest une circonférence; dans le cas où elle passe par le pôle, l'inverse se réduit à une droite.
aSS. La polaire réciproque d'une ligne plane S, par rapport à un point 0, est l'inverse de (a podaire de ce point.
En effet, soit
F {u,v) = l'équation de la ligne S ; la podi^irc de S, par rapport à i'originc, sera
ceprésenlée par
En vertu des formules de transformolîon, l'inverse de la courbe (P) aura pour équation
c'est précisément l'équation de la polaire ri^ciproque de S, par rapport ii un cercle de i-ayon k.
3S3. Les propositions qui précèdent se démonti'ent facilement par la géométrie clé m en ta ire ainsi que les deux propriétés suivantes :
Les tangentes aux points m et M qui se correspondent dans une courbe et son inverse sont également inclinées sur te rayon OM ;
L'angle de deux lignes quelconques qui se coupent est égala l'aîigle des deuxlignes inverses,
La transformation par rayons vecteurs réciproques c m n mp tante que la transformation par polaires réciproques [ \ i
est quelquefois très utile pour simplifier les démonstrali d [1 li a été employée avec succès, comme métliotte d'ini g n p u obtenir des propriétés nouvelles d'une ligne qui varien n I Ii
que l'on fait du pôle de transformation. Nous ne ] davantage sur ce sujet, et nous terminerons en propos; 1 d
démontrer les propriétés suivantes :
i ° Deux cercles, situés d'une manière quelconque dans un plan, peuvent toujours être regardés comme inverses l'un de l'autre;
2° Les tangentes a^ix points correspondants de deux cercles inverses se coupent sur l'axe radical des deux cercles ;
5" Deux figures inverses F,, Fj d'une même figure F, correspondant à deux valeurs différentes du modtde, sont komothétiques ;
4" L'inverse de la podaîre du centre d'une conique est une conique ;
B° L'inverse d'une conique ayant pour foyer le pôle, est une conckoMe circulaire ;
6° L'inverse d'une parabole ayant pour sommet le pôle est mit: cissoïde;
7" L'inverse d'une hyperbole équilalère est une lemniscate.
