AA
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donc : A' = A*. Cette dëmoDstratiou peut s'appliquer à un déterminant d'ordre quelconque, et, pour un déterminant de l'ordre n, on aura : A'= A-*.
Le déterminant A' s'appelle déterminant adjoint ou réciproque de A.
AppUcations.
a) Vérifier lei égalités «oÏTanus :
2,-1,3 =oi
L I -4- I a, fti l ^ "lii — Oifc, + btx ; b" — œ (ne -I- 6« + df) -j- orfe + hef;
I „.-„., a-», o I =(o-c){fc-«)(o-i).
h) RésoDdre le gjatime suivant de n équations du premier degré i n înaounues
o,» -t- A.y ^- c,i -I- — . 1,0 ^ Va. Soit A le détermiDant de Tordre n des coefficients des inconnues; on aura
A = «lAi + Otkt -V a|A: M- .■■■ a,Aa.
Les quantités At, Aa,.... A. sont des déterminants de l'ordre n — i qui ne reoferment pu la lettre a. Si, dus i'éqnation précédente, on remplace la lettre a par tonte
tDtre lettre 6, e le lecond loembre eat doI ; car, ù *n lien de n
^orit, par exemple, A|, ii,... b,, l'eipressien
repràenle le d^termmtnl
qui est nul, puisque deux lignes sont ëgsles. II en sertit do même pour toute autre subslitaLioD. Cela étaol, multiplions respectivement les équ«(ioas donoées par A,, A,, At, ... A. et ajDu[on»-le3 membre â membre ; les coefiîeients des inconnue) y, s... étant nuls, il viendra
A«=:tiAi + >iAi -I- -■■ v.A. ; d'où on tire
viA.+vtA.H t.A,
Pour trouver l'inconnae y, il faut remarquer que le dëlerminent & est aussi égal à
et si on ajoute les équatioDS, après les avoir respectivement multipliées par Bt, B|,., E,,
4V = «<B.-«-.,Bi + .". >..B., car, les coeSîcienla des aulres inconnues sont égaux A léro ; on en dédnit
On trouverait d'une manière analogue la valeur de toute autre inconnue. Rtmarque. Dans le cas particulier où les seconds membres des éi[uations données lont nuls excepté celui de la première, on a
et les valeurs des inconnues x, y, »,... sont pruportîonnelles & A|, Bi .,..€■.
Lorsque tous les seconds membres sont nuls, l'éliminitioD successive de (n — i) inconnues donna
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\» équations
a^ + baV -*-"•• W =0
doivent étn ulùflules par du vileu» de m,]/,i.... HKnaUs de zéro, il fàot qne ronut
Lonque cette eondilioo est remplie, les ëquatîoDS sont compitiblei et Jes valeurs de at, y, x.... mdI praparliininelles eut dëlenninanls Ai, B,, Ci.... S,. Ed effet, & étant noi, on t
«,A, ■*■ 6,B. + c,C. -I- .- .,S, = o; de plus, si on remplace ai, Ai.... c,, paroi, à, .... (t;a(, 6i, ....«i, etc., on aura aussi
a,A, -t- 6,8, + r,C, H »»Si = O
ii.A,-(- 6^,-1- *,S,=0
car le> premiers membres de ces équations repréecolent des déterminanla où deux lignes parallèles ont les mêmes coefficients. Mais les égalités précédentes montrent que Ai, Bi, Ci, ... Si, salisFont aux ëquatioas données j il est évident que les valeurs lA,, 1R„ XC,... MtisIéroDt également aux mêmes équations quel que soit 1. On a donc aj=iA„ y = lB„ a = JC„.... ti = lS,. Ainsi, les équations proposées déterminent les rapports et non les valeurs même* de m,p,i....
e) Trouver la condition pour que les n équations dn premier degré
o»n- Aiv -♦- -■■-♦-«, = 0.
o,» -*- 6rf + ••■■ -*-», = 0, entrelet()« — i) inconnues m, jr,z.... soient compatibles. Il &nt que l'on ait
En effet, les équations données seront compatibles, si II relation obtenue en les inconnues est satisfaite. Or, si on multiplie ces équations respectivement par Si, .. .. S, et si on les ajonte membre i membre, il viendra
'iSi -t- « A -*- «A -^ ■— fcS, = o oabicD A^^Oj car les coefficients des inconnues après l'addition soninuls.
d) Montrer qu« les valeurs dei n iDcannues », y, 2 .... o qui MliifoDt i nu sysUme de (n — i) équitioDs du premier degré de li forme
MDt proportioDnelle* aux d^tcmunauts Ai, fii, C|, •... S|. Ajontoni i ces (n — i) équatioa* l'ëgalitë suivante :
Dous obteooDS ■:
pour lequel ou a
a lystïme de n équations 01
les seconds membres si
par conséquent, en vertu d'une remarque faite précédemment, on peut écrire
Ainsi, pour les équations
0,*+ friy + Ci3=o, ■fV -4- 6# -I- ci« = o.
De même, étant doniMes les équations
oi» + 4<y -I- ««i-H ifcf = O,
a*. Cl, (d
., <Jt
6„ «^ rf,
it, e„ <f.
#) Si on désigne par a„ ^„ y„ O) etc. les premiers A' [propriété (i)], démontrer les relationa
du déterminant réciproque Bi û"~', >■ = Si a»"' etc.
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Il sDtSt de fiûre la démontlratioii dans la eu de n = 3 on l'on aora :
a, = a,&, ^, = bi& etc.
Si on rësood les Équations
ai> + 6^^ + «il ^ ï, iV*-btg-t-'^' = fl, âge -f- 6ty -^ <sz = ç, par rapport l », y, i, od IrouTe
iy = B,{ ■+■ B.» + B,ç,
az = C,{ + r;, + Cî; cela Étant, si ai,^„/|.etc. sont les premiers mineurs de &', ti réaolatiDn de ce second système p*r rapport I C, q, ç donne
&'i = «,&» + ^i&jf ■+■ 7iàz,
En cranparant les valeurs de i, q, Ç tirées de ces relations avec les premières et remplaçant A' par A', on trouve ai =: Oïd, etc.
§ i(. FONCTIONS ALGtoRIQl'BS ENTIERES ET BOMOGËNES.
1>. Toute dépendance entre deux grandeurs variables s'exprime par le mot fonction. Pour indiquer qu'une grandeur y dépend d'une autre quantité variable x, on emploie les notations
S = f(x)> y = F(*). y = ç(a:), etc.
La variable x à laquelle on attribue à volonté difFérentes valeurs s'appelle variable indépendante; l'autre y est la fonction. Une fonction est dite algébrique lorsque son expression ne renferme que des opérations algébriques à effectuer. Considérons d'abord la fonction algébrique entière définie par
F(i) = A,x- + Aa~-> + Aii— * -4 H A^, x + A.
En faisant varier x entre — 00 et -^ œ, la fonction prendra toutes les valeurs réelles dont elle est susceptible. Afin de mettre en évidence le caractère de cette fonction, cberchons ce qu'elle devient, si l'on donne à X un accroissement h positif ou négatif. En remplaçant x par x + A, il vient
F(x4-A) = A»(ic + A)- + A,(x + A)—'+A,(x + A)— »H
Développons chaque terme par la formule du binâme et ordonnons ensuite par rapport ii h; on trouve
(A,,ar + A,ic— • + A,a;— »+ +A-)
+ (mA,,ir-"'+(w — i)A,x— '+(m-2)A,x— ■+ 4-A.,)A
+ [m(m-i)A,3c— '+(m-iKfn— 2)A,ï— ■+ +2A__,]^-^
+ [»B(m-i)(m-2)Aox-«+ +6A^]^-^—
-i-mlm — i) (m — 2) ... 3 . 2 . i . As
Le polynâme indépendant de h est la fonction primitive ¥{x); le polynàme suivant s'obtient en multipliant chaque terme de F(x) par l'exposant de X qu'il renferme et en diminuant ensuite cet exposant d'une unité; le troisième polynâme se déduit du précédent par le jnéme procédé et ainsi de suite jusqu'à la fin. Pour abréger, nous désignerons par F(x), P'(a'), P"(x), ¥"'(x) "• F""'(x) les polynâmes du second membre; nous obtenons ainsi la formule
On en tire
F{ï + A) F(x) = kF'{x) + -^ F" (a:) + ■ . H- ^ j^"^ F'-'(x).
La différence du premier membre représente l'accroissement de 11 fonction, quand on passe de la valeur x à la valeur x-^-k. Supposons que A soit très petit; les termes du second membre renfermant h en facteur seront aussi très petits et leur somme tendra vers zéro en même temps que h. Donc, lorsqu'on considère une valeur quelconque de x ainsi que la valeur voisine x-^h, l'accroissement qu'éprouve la fonction dans l'intervalle doit être considéré comme une quantité de même ordre de grandeur que l'accroissement h de la variable ; si ce dernier diminue pour arriver à léro, l'accroissement de la foncUon diminue aussi et devient nul avec A; on dit alors que la fonction est continue dans le voisinage de cette valeur de x. La fonction entière jouit de la propriété d'être continue pour toutes les valeurs de la variable indépendante.
— xxxm — De la formule précédente, on tire
de telle wrte qu'en faisant tendre h vers zéro, on obtient, à la limite, c'est-^-dire pour k^o,
■■-[''"+';-'wj-Fw.
I« polynAme F' (x) est donc la Imite ver» laquelle converge U rapport de taeeroimment de la fonction à l'accroissement de la variable indépendante torupu ce dernier tend vers zéro. On l'appelle la dérivée de la foni^on primitiTe P(x). Comme nous l'avons dit précédemment, elle se déduit de F (x| en multipliant les différents termes par l'eiposant de x qu'ils renferment et en diminuant cet exposant d'une unité; on trouve ainsi : ,
F' (x) = wtAftX— ' + (m — i) AiX--* -1 1- aA.,a; + A,,.
La même rè|;le appliquée à F'(x) donne un polynôme du degré m — 2 qu'on appelle la dérivée seconde de F (x); c'est : F"(x) = m(m— i)A.x— »+(m— i)(m-2)A,i— '+-. +aA^,.
En continuant ainsi on formera la dérivée troisième, quatrième etc. qui sont les polyndmes F"'(x), F"(x) etc. de la formule («). Dans ces diverses fonctions l'exposant diminue chaque fois d'une unité ainsi que le nombre de termes. La dernière dénvée ou U dérivée de l'ordre m est ee que devient le premier terme de F (x) après l'application m fois répétée de la règle, c'est-à-dire
Vue fonction algébrique peut se présenter sous la forme d'un produit on d'une puissance; pour fixer les idées, supposons par exemple, que l'on ait :
F (x) = («X» + b)(cx + d), F {x) = (ox + 6)-.
En effectuant les opérations, on les ramènerait a la forme entière considérée d'où l'on déduirait la dérivée par la règle précédente. Mais on peut aussi chercher cette dérivée en partant de sa définition. Pour la première
F(«) = (ax» + t){« + d),
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— xxxnr — il vient, en changeant x en x-f-A
F(x + A) = (ox» -|- 2oAx + oA' + 6) (ci + cA + d) = (ox»+6}(cx+d)-l-(ai'+6)cA+{cx4-d)(2aAx+aA'}+cA(2aAx+aA»); par suit£,
F(x+A)— F(x)=(ax'+6)eA+{cx+d}(2oAx-foA»)+cA(2aAx4-oA*). Si on divise par A, et si on passe h la limite, on trouve
F' (x) = (ox* + 6)c + (ex 4- d)2ox.
Or, c est la dérivée du second facteur et 2ox celle du premier; donc,
la dérivée du produit proposé s'obtient en faisant la somme des produits
de chaque facteur par la dérivée de l'autre. Cette règle est vraie pour le
produit de deux fonctions entières quelconques.
Si l'on a :
F(x) = (ax-f 6)on en déduit
F (x + A) = (ox + 6 + oA)- = {ax + b)' + »naA(ox 4- 1)""* + "'^"~'^a*A*(ax + 6)-'+d'où
F(i4 A)-F(x) = fMaA(ax + 6)— "+^^^^^^(i*A'(ax + 6)— '+■•- Divisons par A et passons b la limite ; il vient F'(x) = *na(ax + fc)-'.
Remarquons que a est la dérivée de ax-\-b; par suite, la dérivée de la puissance donnée s'obtient en multipliant par l'exposant ainsi que par la dérivée du polynôme de base et en diminuant ensuite l'exposant d'une unité. Cette règle s'applique h un polynôme quelconque élevé k une certaine puissance.
Enfin, cherchons encore la dérivée de la fonction
D'après les deux règles précédentes, on a F'(x)=(x-a)-f'(x) + n(x-a)-'ip(x)=(x— a)'-'[(x-o)ç'(x)+n9(x)]
de telle sorte que {x — a)"-' est facteur dans la dérivée, si (x — o)" est facteur dans F(x). Cette remarque nous sera utile plus tard.
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