JA

cp, ...

ai«i,

Ol«i

atai,

atcti

awi.

anxi,

aux»

D„n,.db,COOgle

seront nuls; il n'y a que les déterminants où les lignes renferment des lettres différentes qui ne s'annnlent pas; leur nombre sera ëgal i, celui des permutations d'un produit de trois lettres. L'un d'eux sera, par exemple,

aia,

ai bi

et les autres renfermeront aussi comme facteur A multipliant un des termes du déterminant B déTeloppé. Donc finalement C = AB.

On pourrait aussi multiplier les lignes horizontales du premier par les lignes verticales du second ou les lignes verticales du premier par les lignes horizontales et verticales du second ; on obtient ainsi quatre déttrmùiants-produitê équivalents.

k) Etant donné un déterminant A de l'ordre n, si on forme un autre déterminant à' dont Us éléments sont les premiers mineurs du premier, on a la relation : A' ^ A"''.

Soit, par exemple, le déterminant du troisième ordre 6i bt

dont nous désignerons les mineurs par A|, B|, C|, Ai etc. de telle sorte que l'on ait :

Multiplions ces déterminants conformément ii la règle précédente; on aura

A.A'=^ A,a,-t-B(6, + C,c„ A,a. + Bi6,4-C,c„ A,[i,-|-Bi6ï + C,c, |. A,a, + B,6, + Ce, Atfli + Bib, + C,Ci, A,ai + B,6, + C^;. i A,a, + B;6, + Ce, Aïo, -\- Bj/», + Ce, AsOj + B,6i + Ccj | Or, d'après les propriétés des mineurs, les sommes qui se trouvent sur la diagonale représentent le déterminant A et toutes les autres sont nulles; par suite, il vient :