Dans la fonetioD entière Ji une variable

F(x) = (ux- + aixr-' ■+■ aiir-* H \- o,,

remplaçons x par — et multipiioas ensuite par y"; le second membre deTiendra

atJr-\'a,x'^'y + aiX~-*y*-\-.--^am,tf.

Poor abréger, nous représenterons oette fonction A deux variables par F(x, y). Elle présente cette particularité que la somme des exposants des variables est constante et égale à m dans chaque terme. On dit, dans ce cas, que la fonction est homogène du degré m par rapport à x ety; elle est telle qu'en changeant x et y en hc, Xy, on a : F(A3:,iy) = i-F{x,y).

Pour une fonction à deux variables, i) faut.dislJDguer les dérivées suivant qu'elles sont prises par rapport à l'une ou par rapport & l'autre; nous représenterons par F^, F^ les dérivées de F prises par rapport ji x et à y. Chacune d'elles est une fonction de x et de y et aura deux dérivées que nous représenterons par F^, F^ pour la première, et par P^^, F^ pour la seconde; ce qui donne quatre dérivées secondes pour F(x,(/); mais F^ et F^', ont la même valeur, car les opérations à elTectuer soûl identiques, l'ordre seul diffère. On continue ainsi pour former les dérivées troisièmes, quatrièmes, etc. Soit, par exemple, la fonctioo homogène du troisième degré

On a d'abord

F^ = 3a»x* + 2aixy-|-aty*, P^ = 0ix' + 2aixy ■+■ ^Oiy*- Bn prenant la dérivée de F^ par rapport & x et y, il vient : F^ = 6a«x + 20iy, F^ = 20tX + aoiy; on a de même poor les dérivées de F^,

F^^ = aajx -f- aoiy, F^^ := aotx -|- 6aiy. Enfin, en prenant une dernière fois les dérivées par rapport i x et y, on trouve encore F^ = 6a», Fïïj = 20i, F^, = 20i, Fi','r= 201, FJ^, = 603, FJi, = 20t,

Fi'ry = 20t, FJ'J, = 21)4.

Od peut vérifier que : F;^ = f^,'„ F'^;;, = F'^, = VjU, etc.

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Afin de simplifier l'écriture, on remplace généralement F^ par V"i, P^ par F^i, et ainsi de Buit«.

Nous feroQ» encore remarquer qu'il est souvent avantageux d'introduire dans une fonction homogène les coefficients numériques de la formule do bîaâme; on a ainsi

F(*.y)=««»"-H»«t«""'yH — ■ — ■j—otx^Y'i — h»»*--i»!r '+o-y"-

Pour la former, il suffit de développer (x 4- y)" et d'écrire ensuite les coefficients a«, at, ai, etc. dans les difi'éreDts termes.

De même, une fonction bomogène k trois variables s'obtiendra en développant {x -|-y + x)", et en ajoutant ensuite un coefficient à chaque terme. En posant z = i , il en résulterait une fonction à deux variables x et y non homogène. On arriverait de la même manière Ji l'expression d'une fonction homogène à un nombre quelconque de variables.

CherchonB maintenant ce que devient une fonction F(x, j/) k deux variables, homogène ou non homogène, lorsqu'on donne à x un accroissement A et à (/ un accroisseinent k. Remplaçons d'abord x par x + h; d'après une formule précédente on aura

F(x+A,y)=F(x,y)4-AFi(x,yH--^Fi{i,y)+... + -^^F<;;(x,y).

Cette égalité est vraie quel que soit y ; en changeant y eay-\-k, elle devient :

I(x+h,y+k)=V(x,y+k) + AF;(x, y+A)+ il-F;Vx.y+fc)4- - +

Or, la même formule permet de développer les diverses fonctions du second membre; comme c'est la variable y qni eat changée en y + jt, il foudra prendre les dérivées par rapport à cette variable; il vient ainsi, en remplaçant Fi(x, y), F,(x, y) par Fi, P,,

p{*.y+*)=F(x.y)+*F;+-^F;;+-+— il— ^-'

f;(3:, y + *) = f;+ af;; + --^ f;;,+ ... -i-

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— xxxvn — Par la substitutjon de ces diverses valeurs, on trouve finalement (p) F(H-A,!H-*)=F(a:,î/H-{AF;-UF;) + 7^(A"F>|-2WF:;+A*F;;H - On emploie une aotation symbolique pour simplifier récriture de cette longue formule; ainsi la seconde parenthèse se désigne par

{Af:+*f;)».

En développant, ce carré devient :

il reste à remplacer F^F; par F"„ F/^ par f'J^, V^F^ par F^',. En général, l'ensemble des termes qui renrerment A et £ au degré p est représenté par

(AF^+ftP;)''; après le développement de cette puissance, il faut faire les substitutions que nous venons d'indiquer.

La marche suivie pour arriver h l'identité (|3) montre comment on doit procéder pour une fonction h trois variables et ainsi de suite ; un développement analogue à (|3] existe pour une fonction d'un nombre quelconque de variables. Ces diverses expressions sont connues sous le nom de formules de Taylor pour les fonctions algébriques entières.

Supposons que F(x,y) soit une fonction homogène et posons h^ax, k = ay ; par la subsUtution directe, on a

D'un autre côté, la formule précédente donne F{x+«i,y+ay)=F{x,yH-a(3:F:+yF;)-l-^(:r'F^+2jn,F^+y'F;;)+...

En égalant les coellicients des mêmes puissances de a dans ces deux développements, on obtient une série de relations propres aux fonctions homogènes; la plus importante est

xV',-{-y¥'^ = mF{x,y) provenant de l'égalité des coefficients de la première puissance de a ; elle exprime qu'en multipliant les variables par les dérivées correspondantes, la somme des résultats reproduit m fois la foncUon elle-même, m étant le degré d'homogénéité.

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§ 6. ÉQtATlOH ALGËBRIQUE DD DSGRÉ t».

Iff. L'ëquBtion générale du degré m à une inconnue s'obtient en égalant A zéro la fonetion algébrique entière du degré m; c'e^tt donc :

Aojr -f A,!--' + A,ar-* t-A--t* + A» = 0'

On dit qu'un nombre a est racine, lorsqu'on remplaçant x par a, le premier membre s'annule ; par suite, on a pour la condition générale d'une racine a

F(a) = Aoa- + A,a~-' H f- A«ia + A = o.

Cest aussi la condition pour que F(x) soit divisible par z — a; car, en effectuant cette division, on trouve pour le reste F (a). Le quotient sera un polynAme du degré m — i que nous désignerons par X__i ; on n ainsi

Soit b une racine de l'équation X«^i >= o; on aura également X., = (a:-6)X-„ puisque le premier membre est divisible par x — 6; X„i qui représente le quotient est un polynâme du degré m — 2. En substituant, il vient F(x) = {a: — o){x — 6)X»,.

Si e est une racine de X«i = o, on arrive de la même manière à l'expression

F (jî) = (x — a) (x - fc) (îc — c) X«„ Xm-s étant le quotient de X«t par x — c, et ainsi de suite. A chaque division l'exposant m diminue d'une unité; après nt — 2 opérations semblables, le premier membre de l'équation sera ramené à la forme F{x)=(x — a)(x — 6)(x~c)...(i — fc}(A»x* + Px + Q). Le coefficient An se conserve dans tous les quotients successifs; donc si & et / sont les racines de A«z* -|- Px -}- Q =" o, il viendra finalement («) F{x) = (x-a){x-b)(x~c)...(x-h){x~k)ix~l)A,. F fx) ou le produit du second membre s'annule pour x = a, x = b, etc.,x = ^ Ces m quantités sont donc des racines de l'équation P(x)=^o; tout autre nombre substitué â z ne pouvant annuler le produit, l'équation n'aura pas d'autres racines que a, b, c ... l. Ainsi,- en admettant que toute équation possède au moins une racine, l'équation algébrique du

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degré m en aura nécesEairement un nombre égal à m et pas davantage; ces racines peuvcDt être réelles ou imaginaires; car le raisouDemeat qui précède est indépendant de la nature des nombres a, b, e etc.

Posons Ag ^ I dans l'équation (a), et développons le produit du second membre; après avoir remplacé F (x) par sa valeur, l'égalité des coefficients des mêmes puÎRsances conduit aux relations suivantes :

a + 6 j c| Hi = A,

ab-^ac-\-hc-\ =^ + A»

a6e + a6d + 6cdH A,

Donc, 1° La somme des racines est égale au coefficient du seeond terme de l'équation en signe contraire; 3* La somme des produits deux à deux est égal au coefficient du troisième terme; et ainsi de suite; enfin, le produit des racines est égal à plus ou moins le coefficient do dernier terme.

Lorsque le coefficient Ao n'est pas l'unité, ces relations ont encore lieu en divisant les seconds membres par ce coefficient.

Il résulte de ces égalités que, multiplier chaque racine par X, revient ii multiplier les coefficients A|, A*, Ai ... A par 1, A>, V ... l~, de sorte que l'équation suivante :

A,i- + A,)jc--' + A,i»x--» + -.. + A„X- = o aura pour racines aï, bA, e}., . . . /A .

Si on pose a =^ 6 dans l'cquation [a), le second membre renferme (x — a)' ou deux facteurs égaux h x — a ; on dit alors que le nombre a est une racine double; si l'on a : a = 6 ^ c, F (x) renferme (x — a)' ou trois facteurs égaux, et a s'appelle une racine triple; en général, si p racines sont égales, F (x) renferme (x — ày ela est une racine multiple du degré ;> de multiplicité. Une telle racine jouit de la propriété d'annuler F (z) et ses (p — i) premières dérivées; car nous avons vu que la dérivée d'une fonction qui renferme un facteur (x — a)'' le renferme aussi k la puissance p — i ; la dérivée de la dérivée ou V"(x) le renfermera à la puissance p — 2 ; chaque fois que l'ordre de la dérivée s'élève d'une unité, l'exposant du facteur commun diminue d'une unité; dans la dérivée de

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Tordre />, le fadeur x — a aura pour exposant p — p ou zëro, et u trace disparaît; mais toutes les dérivées d'ordre inférieur possèdent le facteur X — a et s'annulent pour x = a.

!•. Dans la théorie des fmctions a^brique», il y a avantage de con»dérer l'équation homogène

A»ii-' + A,a:--'y4-A,x--yH \-&^y = o.

Potur la résoudre, on divise toute l'équation par y~; on obtient ainsi une équation ordinaire du degré m dont l'inconnue est le rapport—; elle donnera m valeurs réelles ou imaginaires a, b, c... l pour ce rapport. Lorsqu'on dit, pour abréger, que les valeurs (xi, yi) satisfont !i l'équation, on exprime simplement que le rapport — est égal à l'un des nombres a, b, c, ... l. Au lieu de x„ yi, on pourrait aussi bien prendre pxt, fy<, p étant quelconque, puisque le rapport reste le même. Soient, dans ce sens, (xi, yi), (x,, yi) ... (x., y.) les racines de l'équation; d'après une formule précédente, on aura

A.x- + A,x-^yH !-A.y" = — -^(3^.— yxO{xy, -yx.) ...(xy. — i

Hais, on a aussi pour le produit des racines

X|XiXi ... Xm A..

y,y,y,...y-"" A.' et on peut prendre Ao^y<yi-..yi., A. = x,Xi ... x«; il vient alors pour la décomposition dn premier membre de l'équation en facteurs du premier degré

A.x- + A,x— 'yH t-A-y- = (xy,— yx,)(xyi — yxi)...(xy«— yx.).

Lorsqu'on remplace dans l'équation homogène, y par Xy, les coefficients Ao, Al, Al ... A., sont multipliés par une puissance de X égale à leur indice; par suite, toutes les racines seront multipliées par T.; l'équation

A,x- + XAiX-'-'y + A»A,i--*y» H 1" ^"A-ï" = <>

aura donc pour racines (^i, yi), (Ax*, yi), ... {hcm, y.).

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s 7. RtSULTAHT BT DISCHIMINAnT.