CoDsidërons le système de deux équations

la preiniâre du de^rént, la seconde du degré n. SoieDtfxi.^i), (xt, jri)... (ar«, y,) les racines de la première, et (%„ ri,), (5,, )7.)... (î,, n.) les racines delà secoade. Substituons le premier système dans V{x,y) et multiplions tous les résultats correspondants j il viendra (l) if>,^: + '',x',"y, + ... -\-b^)(b,x^ + b,xr>y^-\ 1-A.j;)...

Effectuons une multiplication semblable sur les résultau de la substitution des racines de la seconde équation dans f{x, y); on aura

(!') K5T + a,£r'l.H h 'ï-lT)(«»5T + a,^p>j,H ho-lD ...

KC + a.^r'>J-H ha-O.

Eu général, une racine de la première équatJon ne satisfera pas k la deuxième, pas plue qu'une racine de celle-ci ne satisfera à la première. Pour qu'il y ait une solution commune, une condition doit être reipplie par les coefficients des deux équations; on l'obtiendrait eu éliminant x entre celles-ci; le premier membre de l'équation ainsi obtenue s'appelle Véliminant ou le résultant des équations proposées.

Nous pouvons aussi prendre pour définir le résultant l'une ou l'autre desexpressions(i)et (i'); car, si une racine de f(x,y)=o est commune il l'autre, l'un des facteurs de (i) s'annulera, et, réciproquement, si le produit (i) s'annule, l'un des facteurs est égal à zéro et il y aura une racine commune. Dn raisonnement semblable s'applique au produit (i'). Si on désigne par R le résultant, nous pouvons poser :

(2')R={a.Èr+«.5r'*î,+ -+o-i7)-(".5:+û,çr'>î.+-+«->5:)-

II nous importe peu, pour notre but, de savoir comment on pourrait, dans ces deux expressions, remplacer les fonctions des racines parles coefficients des équations. Nous allons nous servir de cette première définition pour démontrer quelques propriétés générales et caractéristiques do résultant.

D,gnz.dbvC00gle

Chaque facteur de (2) est homogène et du degré i par rapport aux coefficients b : R sera une fonction homogène du degré m par rapport à ces coefGcients, puisqu'il renferme m facteurs, autant que de racines de la première équation; l'expression {2') montre aussi que R sera une fonction homogène du degré n par rapport aux coefficients a. La présence des racines n'infirme pas cette conclusion, parce que les racines (xi,yi) etc. de f{x, y) = o ne dépendent que des coefficients a de cetLe équation, de même que(^i,'!<)^^- ne <iépendent que des coefficients 6 deF(z,y)^o.

Remplaçons maintenant dans les équations proposées y par h/, et soient

f, = 0.3C- + a,Xx--*y + a,A'x--'y» -| \- a X-y- = o,

F, = 6,1- + btXx—y + btl'r'-y + ■■ + bjry = o les équations transformées. Nous savons que ce changement a pour effet de multiplier les racines par A ; donc les racines de ft^^ o seront : (k,xi, jfi), (X,Xi, yi)..., et celles de Ft = o, {hii, Vi), (i-iU, >]>).■•■ Si on désigne par R' le résultant des équations transformées, on a :

R' = {btl'iC, + fc.J'a^-'y, + — 6,l"y;) (6,^-jc; H h M'y!0--

On Toit que chaque parenthèse renferme ^' en facteur multipliant le facteur correspondant de R ; comme il y a m facteurs, on a la relation

Hais, si un terme Or&i de R, où la somme des indices des coefficients a et 6 est r et «, devient, par la transformation, ari.'b,i.' t= arb,}r+; il fout que r'{-s = mn en vertu de la relation précédente.

Donc, le résultant de deux équations des degrés met n est uhe fonction homogène des coefficienU de ces équalions ; il est dv degré n par r<^rport aux coeffiaenlê de la première et du degré m par rapport aux coefficients de la seconde ; enfin Us coefficients ayant un indice égal à la puissance de la variable suivant laquelle les équations sont ordonnées, la tomme des indires dans chaque terme est constante et égiUe au produit des degrés des équations.

Cette somme des indices dans chaque terme s'appelle le poiHs du résultant.

Admettons, maintenant, que les coefficients des équations proposées soient des fonctions d'une inconnue 2 d'un degré égal à leur indice, et posons y Bi I : nous aurons un système de deux équations non homo-

D,gnz.dbvC00gle

gèaes à deux iitconnues. Par l'ëlimination de x, on arrivera à une équation en z dont Me degré sera mn, poids du résultant; elle admettra mn valeurs pour z et, par suite, autant de valeurs pour x. Donc, deux équationt non homogèiut à deux inconnuet admettent mn solutions communes.

AËn d'arriver à une loi générale, considérons encore le système de trois équations homogènes k trois variables (0 M(x,y,ï) = o, (3) N(x,y,ï) = o, (3) P(i.y,«)=o des degrés m, n, p. Nous les supposerons ordonnées suivant les puissances croissantes de z avec des coefficieats affectés d'un indice égal Ji la puissance de z dans chaque terme. Les deux premières résolues par rapport h x :z, y '■ z admettent mn solutions communes. Soient (xiy<Si), (zt^iZi) ■ ■ ■ . (x„y.,^..) ces valeurs. Substituons-les dans la troisième et faisons le produit des résultats ; il viendra l'expression

qui devra s'annuler, si les trois équations ont une solution commune ; ce sera le résultant de ces équations. Chaque facteur renferme les coefBciraits de P au premier degré et comme il y en a mn, le résultant sera une fonction homogène du degré mn par rapport aux coefficients de la troisième équation. On peut aussi obtenir R en substituant dans (2) les mp solutions communes du système (i) et (3) ou encore, en substituant dans (i), les np solutions communes du système (2) et (3); par là, on voit que le résultant sera du degré mp par rapport aux coeCBcients de (2) et du degré np par rapport aux cccflicients de (i). Enfin, par le changement de z en Xx, les deux premières équations transformées auront pour racines (Xj;,, Ay,, Zi), (Ax), Xi/i, zi) etc., comme 00 peut le vérifier au moyen de l'exemple suivant :

x* 4- y* — 3^'^ + 2xz' -j- z' ^ o ; en changeant z en Xz, la transformée sera

i' 4-y* — s^x'z + 2À'xz' + i*z* = o. Si on substitue dans le premier membre /Xi, Ay^, Zi, on trouve pour résultat

^* (^î + yî — 3^Î2" + «i^î + «î) qui est nul en supposant Xi, yi, Z| racines de l'équation primitive. Par

D,gnz.dbvC00gle

la substitutioD des valeurs ()xi,Ayt, zi) etc. dans la trangTormée de P(x,y,z) = o,^ sera focteur dans chaque résultat et comme il j^ ea a mn, ou a la relatioD

R' = i-"CR,

R' étant leréeultaot des trois équations transformées. Or un terme a, bj;.. de R devient par la transformation Ori'b,}.'. . . et, par suite, on doit avoir : r-^t-\- ■■^=mnp. Li somme des indices des coefficients dans chaque terme est constante et égale au produit des degrés des trois équations.

Supposons maintenant que, dans les équations proposées, les coefficients soient des fonctions d'une nouvelle variable I d'un degré égal k leur indice, et posons z = i ; on aura un système de trois équations non homogènes k trois inconnues. L'élimination de x et de y conduira à une équation en I dont le degré sera égal au poids mnp du résultant des équations primitives ; on en déduira pour l, et, par suite, pour x et y, mnp solutions communes.

En continuant le même modo de raisonnement, on arrive à ce beau théorème général :

Le réiultanl de k êqualwtig homogène» à k variables est une fonction homogène des coefficients de ces équations dont le degré par rapport atuc coefficients de chacune belles est égal au produit des degrés de toutes les autres; les équations étant ordonnées par rapport d une varù^le avec des coefficients portant un indice égal d la puissance correspondante de celle variable, la somme des indices dans chague terme du résultant est constante et égale au produit des degrés de toutes Us équations.

Enfin, un système de k équations non homogènes à k inconnues admet un nombre de solutions communes égal au produit des degrés de ces éqwaions.

IS. Discriminant. Etant donnée une fonction homogène h k variables, formons toutes les dérivé^is par rapport à chacune d'elles pour les égaler k îéro : l'éliminant des équations ainsi obtenues se nomme le discn'minant de la fonction.

Quand la fonction proposée est du second degré, les dérivées formeront un système d'équations linéaires et le discriminant sera simplement leur déterminant. Soit, par exemple,

/■== 0*1' + 2aiin/ + o»y».

D,gnz.dbvC00gle

On a :

/: = a (001+ oiy) = 0, /; = 2 {aa + a,y) = o. En appelant S le diseriniinant de f, ce sera :