I a« ai j ^ BnUt — (t

I ai Oi I Soït encore

/■= ai(X' + o*^y' + Ouï' + aaitïy + 2attxx + aoi^z. Les équations dérÎTëes étant anx+Ony+ai,x=o, aiiX+ai^-{-aHZ=o, attX-\-any-^atit^o, on a, pour le discriminant de f,

On Ofi ail

OtI «M 0)1 du Ou Oïl

= OnO«Ow-i- îOuûiiOii — aiiaà, — 'i)*"') — Onaîf

Si la fonction proposée est du degré m et i i variables, on obtient par la dérivation un système de k équations du degré m — t ; d'apris la règle qui précède, leur éliminant sera une fonction homogène des coefficients de chacune d'elles du degré (m — i)*~' ; mais ici, chaque équation renferme les mêmes coefficients, â savoir ceux de la fonction donnée; il faut donc encore multiplier la quantité précédente par A, et A (m — i)*~* aéra le degré du discriminant par rapport aux coefficients de la fonction.

Nous ferons aussi remarquer que, si le discriminant du premier membre de l'équation

f=aoX~-{-aiX'-'y-\ |-o.y" = o

est égal il zéro; il doit y avoir deux racines égales. En effet, dans cette hypothèse, les équations

ont une racine commune; soit a cette racine; le focteur x — ot/ doit se trouver i la fois dans /^ et /^ au premier degré; par suite, la fonction f doit renfermer le même facteur su carré et a est une racine double de l'équation.

D,gnz.dbvC00gle

5 8. INVARIANTS BT COVARIAHTS.

19. On doDoe le nom de forme à toute fimction algébrique homogène considérée en elle-même, abstraction faite de l'i^quation qui en résulte en l'égalant à zéro. On distingue les formes binaires, ternairei, quttiernairet etc. suivant que la fonction hoOiogène renferme deux, trois, quatre variables etc.; on emploie aussi les qualificatifs anglais quadrique ou quadratique, cubique, quartiqut ou biquadratique etc., pour exprimer que la fonction est da second, du troisième, du quatrième degré etc.

Les formes binaires quadratique, cubique et quartique ont pour

o,x* + $a,x^ + Sitixy* + a,y' Otx* + 4a,«'y + 6atx'y* + 40,0^ + o^ t^t celle de l'ordre m

<hx- + mail— 'y H ^ :' oix- ''y' -\ 1- a»y.

La forme ternaire de l'ordre «1 s'obtient en développant (x + y + ")" et en ajoutant ensuite un coefficient i chaque termcy

Translormer linéairement une forme f(x, y, je ...), c'est remplacer les variables par. les expressions suivantes :

x = /5 -\-mii 4-nÇ H

oà l, n, Z— Bont des nouvelles yatiablcs en même nombre que les premières; la fonction F(^, >i, Z •-•} qui résulte de cette substitution est la fonction transformée; enfin le déterminant formé avec les coefficients /, m, etc. s'appelle le module de la transformation; nous le désignerons toujours par r.

La théorie des formes s'occupe principalement de la recherche des fonctions des coefficients ainsi que des fonctions des coefficients et des variables de cette forme qui ne sont pas altérées par une transformation linéaire, c'est-à-dire une transformation où les variables primitives sont

D,gnz.dbvC00gle

Mets aux variables nouvelles par des relations du premier degré. Une fonctioD des coefficients qui jouit de cette propriété s'appelle tRvonant; si la fonction renferme en même temps les variables, elle s'appelle tovaritmt. Nous allons essayer par quelques exemples très simples de bien foire saisir le sens de ces expressions.