Soit la roTDie binaire quadratique
f= (!(** + 2a,iiy + H»y».
Posons, pour les formules de transformation,
x = l^-^tKn, y = /'S + m% le modale r étant
r^ \ l m = /m' — ml', \l' m' \ En substituant ces valeurs, il vient pour la transformée F,
F = ao(tÇ -I- mny + 2a, {t^ + mu) {1% + m'w) + at(l'l -+- m'v)*. Développons le second membre et réunissons les termes en Ç*, ^i, yi*; on trouve
F = A.Ç* + 2A,Êil+Ai»l»
A„ = aol* + 2aiU' + aj". A, = a»m' + 2o,mm' + (Hm", A, = aM + a,{lm' + ml') + thi'm'.
On peut former avec les coefficients de f différentes expressions, telles que
o^ l a, + o„ a^aiG^, a,a\ — o„ «oa, — a*, etc. ainsi que les expressions correspondantes pour la transformée F, A,-)-A,+A„ A„A,A., A„AJ — A„ A„A, — AJ, etc. Il arrive quelquefois, en comparant celles-ci aux premières, que l'une d'elles D'en diffère que par un facteur dépendant uniquement des formules de la transformation. Ainsi, par les valeurs de A», A,, A|, on vérifie facilement la relation
A^A, — Aî = r* {a^ttt — à[) ; mais il n'en est pas ainsi pour les autres expressions, l'idée que renferme cette équation s'exprime brièvement en disant que a^a^ — a* ert
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— XLTin —
un invariant de f. En général, on appelle ainsi, vne expression de» coefficients if une forme telle, qu'après une transfomu^xon liniaire, texpretaion analogue avec les nouveaux coefficients ut égale à ta première tnuUijdiie par une puissance du module de la transformation. Donc, n f(x, y, z... a», ot, oi...) est une forme queleonque, et F(Ç, vi, %... As, A|, A|...) sa transformée, une fonction H (a«, ai, Oi...) des coefficients de /'est un invariant, si l'on a :
n(A„ A„ A,...} = r* n(ao, a„ a,...)- On peut aussi avoir un invariant se rapportant & un sysl^e de formel. Un exemple très simple de ce cas est donné par l'éliminant B des équations
aix + ftiy + *<*=' o> ûta; -\- b^ -\- Ctx = o, Ojx + 6,y + "i^ ^ o. Ona:
''I bt
Si on transforme les équations par les formules * = 'e + «t» + nÇ, y = n + m'y, + n% z = l'% + m"yi + n'%, elles deviennent
(ai/4-6if+Ciï")Ç-|-(ai«i+6ini'-l-eim")»i+{aiM+6in'+Ci»"));^o, (oi/4-6i''+<'»'") £+('*«'''+ ^•"'+<:i''>")*l+{<'*''+^«'>'+**''")ï = °> (oif -i-6i(' -H Ci/")S+(o»m 4-63»»' +*'"*") *l+(ain -HM'+dn'Oîi^O' D'après la règle de multiplication des déterminants, réliminant E' de ces équations transformées a pour valeur
/" d'oA résulte la relation
elle est conforme à la définition qui précède. Donc l'éliminant E est une fonction des coeOicients des trois expressions linéaires qui composent les premiers membres des équations jouissant de la propriété de l'invariance; OD l'appuie ûivorùtnl sim^dtané de ces fonctions.
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— xux —
Nmis avons vu qu« le discFimiDant à d'une forme binaire égalée i zéro s'aaaule dans le cas d'une racine double; ce qui iadique que la fonction renferme un facteur au carré qui eubsisteiia encore après la transformation. Le discriminant A' de U transformée s'annulera toujours en même temps que A et devra renfermer ce dernier comme facteur. Ain^, poar la forme quadratique : aax* -f- sttix^ -1~ "ly'i ^^ ^^'^ ^"^ A ^ uoOt — a* ; nous avons vu tout-à-l' heure qu'après la ti-ansformation on a : A' := Ac Âi — AJ et la relation
Le dÎBcriminaot d'une forme binaire est donc un invariant. Cette propriété subsiste pour le discriminant d'une forme i un nombre quelconque de variables.
De même, on s'explique aussi comment, en général, l'éliminant E d'un système d'équations doit être un invariant des premiers membres; car la condition E = o exprime que ces équations ont une solution commune; après la transformation, les équations nouvelles auront aussi une solution commune et leur éliminant E' devra s'annuler en même temps que B ; il faut donc que E' sott égal ii E multiplié par un facteur indépendant des coefficients des équations.
91. Il existe un principe important qui permet de trouver un invariant simultané de deux formes, lorsqu'on connaît un invariant de l'une d'elles. Soient f{x,y ... uo, ai, ot...) et ip(x, y ... tg ^•■^«■■■)*'^u''f'>r''i^^ du même degré et n(a«, ai, Ot- .-) un invariant de la première. Désignons par Q',, n',, IIj... les dérivées de H par rapport aux coeCBcienIs Oo, du a*...; je die que l'expression
6,ii;+6,n', +6,n; + ---
sera un invariant simultané des deux formes.
En effet, prenons, pour la forme f, la fonction f-i-kff où k est une constante indéterminée. On passe de f^f-\-k(p en remplaçant les coefficients Uo, ai, oi... paroo+J^bo, at+kb„ at-\-kbt..., et si II (as, ai...) est un invariant de f, ]l{an~{-kb,, 0|-|-A6,, ai + ftbi,...) sera un invariant de f+k(p, quel que soit k. En développant, les coefficients des diverses puissances de k jouiront de la propriété de l'invariance et, en
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particulier, le coeffieient de la première puissance de k; d'après la formule de Taylor, ce dcraier a pour valeur
c'est précisément l'expression proposée.
Comme premier exemple, soient les formes quadratiques
Nous savons que a^a^ — a] est ua invariant de la première; en appliquant la principe, on trouve que
bflOt + 6i ( — 20() + tttOa = a«bi-|- dibg — zaïb, sera un invariant si multané de fet de 9.
Soient, maintenant, les deux formes ternaires quadratiques f= 01,1' 4. (!„)/* 4- a,.x' + zaïtxy •+■ 2a,txz + zott^z, tf = biiX* + 6ïiy' + biiz* -+■ 2bi^ + sbuxx + afru^e.
Nous avons fait remarquer précédemment que le discriminant d'une forme est un invariant; pour la première, il a pour valeur
iiauati-^ lattattOti — Oiiali — otiah — aiiola*
La notation des coefficients est différente, mais l'applica tion du principe est U même; il faut multiplier les coefficients 611, bu... de la seconde forme par les dérivées de II prises par rapport aux coefficients correspondants de la première. Il vient ainsi
6n{aiiOi» — oïi) + 6ii(o(.*in — oïi)4-fcii(«iio«t — ail) -i-2b,t{a,tatt — Oiioi 1)4-261 j(aiiatt — ai)ais)-|-2frtg(aM(iii — anati). En partant du discriminant de la seconde forme
6„6„ft„ + îiMft.it». — bubU - 6.,61, - b^ibU, on trouve également
an (6»6» — bU) + atf (&<ib» - Mi) + a» (6..6it - bU)
+2a„{hitbtt—b»bit)+2a,t{b,tbtt-btib,t)+2ati(b,tb,t — b,tbjt).
Ces deux expressions sont des invariants simultanés des deux formes.
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m, Covariant». On ttppdle ainn une expreetion dti coefficient» ei des variables iTune forme telle, qu'après une transformation linéaire, la mime expression prise sur la transformée est égale à la première multipliée par unepuissance du module de la transformation.
Soit f(Xf y... Os, <i|...) une forme quelconque, et F(Ç, >i... A», A,...) sa tnnsformëe; un covariant f est défini d'une manière générale par l'équation
f{l, ri... An, Ai...) = r*9 {x, y... oo, a,...). Nous allons démontrer un principe fondamental qui conduit h une série importante de covariants. Pour fixer les idées, considérons une forme f{x, y) h deux variables seulement; le raisonnement est le même dans le cas général. Supposons que x et y, x' et y' soient deux séries de variables qui se transforment linéairement par les mêmes formules, de telle sorte que Ton ait :
x = t^ + mri, X' = /Ç' + mv',
^'' y = n + m'r,, ^^' y' = fS' + mV.
On dit alors que les deux séries de variables sont eongridientes. Oq en déduit
x + }x' = Hi + )^i') + m{ri + }.vi'),
"> y + iy' = 1(1 + m + m (1 + ^"O ;
par suite, les variables x ~\- îx", y -|- iy' sont aussi liées aux variables nouvelles S + A^', n -)- )-n' par les même formules que les autres.
Effectuons, maintenant, dans la forme f(x, y) la substitution (i), donnant, je suppose, l'égalité
En vertu des formules (3), on aura aussi (*) f{x + ix',y + Xy') = F(5 + Xf, v + hi%
quelle que soit la valeur de )■. En développant, il y aura égalité entre les coefficients des diverses puissances de )■ de part et d'HUtre ; par suite, on a les relations
et, ainsi de suite. Il est donc démontré que les opérations suivantes :
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appliquées à une forme quelconque / jouissent de b propriété de l'invariance. On doit regarder ces expressions comme des covariants k deux séries de variables.
Supposons que l'on ait effectué l'une des opérations précédentes sur une tonne f(x,y); le résultat sera une fonction renfermant les deux séries de variables que nous désignerons par P {x,y, x',y'); nous pouvons regarder x et y comme constants, c'est<à-dire les asEÏmiler aux coefficients de /; dans cette hypothèse, P est une fonction ordinaire h deux variables x',y'; toute exprcsssion des coefficients avec xety, jouissant de la propriété de l'invariance, conservera cette propriété quelles que soient les valeurs de x et de y; mais comme elle renferme les coefficients de / (x, y), ce sera un covarisnt de cette forme.
Considérons, par exemple, la forme cubique binaire f= a,x* -\- 3aiX'y + 3aiiy' + ajy*.
Prenons les trois dérivées secondes pour les substituer dans l'expression
x-r^ + zx-yr^ + yY»; en laissant de côté les facteurs numériques, on trouve
x" (ojx + o,y) + 2x'y' (o,i -t- «^) + !/'*(a,x + a,y).
C'est une forme quadratique par rapport aux variables x', y' dont le discriminant est :
{atx + a,y) (a,x + a,y) — {o.x + a,>f)* = (orti — a\)x' 4- (oooi — a,ai)xy + (tt,o, — o|}y*.
Le discriminant jouissant de ia propriété de l'invariance, l'expression précédente est un covarisnt de forme cubique.
Comme second exemple, soil / (x, y, z) une forme ternaire de l'ordre m; supposons qu'on lui applique l'opération indiquée par
Si on regarde x et y comme constants, le discriminant de cette forme du second degré en x', y', z', c'est-à-dire le déterminant des équations
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sera uo invariant de la forme; par suite, le détermioaat formé des dérivées secondes, c'est-â-dire
fi r~
est un covariant de /'; il en est encore ainsi lorsque la forme renferme plus de trois variables. Ce déterminant s'appelle le Hessim de f. Enfin, soient f, F, <f trois formes à trois variables; les expressions
x'FL + *f'F', + z'P'„ sont du premier degré en x', if, z' et leur déterminant
fi f'
est un invariant; done, si x ,y et z sont variables, ce sera un covariant simultané des trois formes. -Il en est de même, dans le cas géDéral, pour le déterminait composé des dérivées premières de n formes différentes il n variables; ce déterminant s'appelle le Jaeot/ien de ces foncttoDs.
Nous aurons l'occasion pins tard de rencontrer les formations invariantes que nous venons de définir. Nous pouvons maintenant aborder les premiers principes de la géométrie analytique qui est l'objet de ce cours.
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