INTRODUCTION

SowjlKi. — De» toordonnéei eariitienne; Miqtiei et rtcianguiairet. Coorii<m>lie* poUxirfi. — Traatfomialion dei coordiinnrei. — Patêagt de la di/inition d'une ligne gtomiln'que i ion équation. — Clmi'fieolion dei ligna planei.

§ 1. DES CUOnnOKNËES.

1. On donne le nom de coordonnées aux quantités variables qui servent à fixer la position d'un point dans un plan.

Pour définir les coordonnées de Descartes, tirons prèalBblemcnt {fig. i) deux droites fixes X\', YY' qai se coupent en un point 0, .'«ous un angle quelconque. Par un point H, menons des parallèles à droites; les coordonnnes de ce point sont les longueurs MQet MP, c'est-àdire ses distances parallèles aux droites fixes. Mais MQ = OP, MP = OQ :

ce sont ordinairement ces quantités que l'on considère, parce qu'elles

sont dirigées suivant les droites primitives. La coordonnée OP s'appelle abciêse du point H et se désigne par la lettre x; la seconde OQ est l'ordonnée et se représente par la letlrc y.

D,gnz.dbvC00gle

Si l'on doDnc les deux coordonnées OP et OQ d'un point du plan, on trouve sa position en portant, sur les droites prëalables, les longueurs OP ctOQ; les parallèles menées par les points PetQ déterminent, par leur interseelioD, le point correspondant.

Comme rien n'indique dans quel sens il faut compter les distances OP cl OQ, on pourrait trouver quatre points H, M|, Mt, Ms qui répondent It ces mêmes coordonnées. Il y a indétermination. Pour la Taire disparaître, ont est convenu d'admettre la loi suivante pour les signes. Les abcisses sont positives, si elles sont dirigées à partir du point 0 dans le sens OX, de gauche à droite; elles sont négatives dans le sens opposé. Les ordonnées sont positives, lorsqu'elles sont comptées h partir de l'origineOdansle sens OY, négatives dans le sens contraire. En vertu de cette règle que l'on suit toujours, si on représente par a et ( les coordonnées OP et OQ, on a évidemment :

Pour le point M... x = a, y = f>i

Pour le point Hi... x = — a, y = l>;

Pour le point Ht... x = — a, y'= — b;

Pour le point Hs... x := a, y = — b.

Ces systèmes de valeurs pour les coordonnées diffèrent au moins par les signes des quantités a et b; et il est visible qu'il n'y aura plus qu'un seul point dn plan qui réponde à un système de valeurs données pour X et y.

Les deux droites fixes XX', YY' se nomment les axu dn caordonnia; la première est l'axe des abcisses on des x; la seconde est l'axe des ordonnées ou des y. Le point 0 s'appelle ori^ne; enfin, l'angle formé par les parties positives QX, OY est VangU dtê axes; nous le représenterons par 6; il est toujours compris entre o* et i8o'.

Le système de coordonnées que nous venons de définir est le système des coordonnées obUquei.

%. Coordonnée» remngutairtt. Dans ce système, les droites préalables XX', YY' forment un angle droit; de sorte que les coordonnées rectangulaires d'un point sont les distances perpendiculaires de ce point aux deux axes, ou les projections orthogonales du rayon OH sur les mêmes droites. C'est le système le plus généralement employé.

Rbhahqiies. 1. Les coordonnées obliques on rectangulaires d'un point

D,gnz.dbvC00gle

soat des quantités vnriablcs avec sa position dans le plan ; elles peuvent avoir une valeur quelconque entre les limites — oo et -)- eo . Un point sur l'aie des xaunc ordonnée nulle; pour les points extrêmes de cet axe, on aurait :

a: = -|-eo, y = 0, et x= — co, t/=o.

Tout point de l'axe des y a une abcîsse nulle ; l'origine est le seul point du plan qui a ses deux coordonnées égales à o.

II. Par abréviation, on emploie la notation H (x, y) pour indiquer que le point H a pour coordonnées les nombres x et y; le premier est l'abcisse, le second l'ordonnée. Souvent dans une question, pour distinguer lee coordonnées variables X et t/ de celles de points donnés, on affecte ces dernières d'accents ou d'indices; ainsi M' (z', y'), M| (xi, t/i) etc. sont généralement des points donnés; tandis que H{x, y) est un point variable qui décrit une certaine ligne dans ic plan.

S. Trouwr les coordonnées d'un point C qui partage une ligne AB en

tieujc segments dont le rapport est égal o— -

Par les points A,C,B {fig. 2), menons des parallèles à OY; soient {x', y'), (z", y") les coordonnées des points donnés A et B, et (x, y) celles du point C. A l'aide d'une parallèle à OX menée par le point A, on a les égalités :

AC AK m

Fig. ï.

Or AK.