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OQ.
Ap,
Cita
ubslitution,
il vient
En second lieu, si on mène CD parallèle à OX, on a aussi : m AC DF DF y — y' .
h""CB~BD' ^ BD~y"~y'
par suite,
D,„„.db,Coogle
Les deux équalioQs(a) et (^)aous doancnt finalement, pour les coor<ton-
iiées cherchées :
mx" + nx' mv" -\- ny'
«1 + " tn + n
Si le poiat de dinsion était en dehors des points A et B, par exemple
en C, une marebe identique conduirait aux formules :
mx" — na/ nty" — ny'
Dans le cas particulier où le point C est au milieu de AB, m =^ n ; et les
coordonnées du milieu sont :
Ex. a. Ub triingle ABC apour MOUnets : A( — i,o), B(o, 2),C t3(0); troiiTer les
eoordoDDJei Am milieux descAUt. B. [ . i |> <i|0), I -. i 1-
Ex. «. Lm aommeU opposa d'un p«nll^lagraiimie Mot ; A (o, o). A' (3. 2) ; B ip, 2), B* (3, d). QueU sont lu coordonnéet du point d'intersection des diigODales?
cy
El. 1. Le*MniniEts d'an tmogleionl : A (a*, y), fi (>", y") et C (>"',/") ; tronier let eoordonDëei des milieax dn médianes. , R, On vriTBra à Iroit expresiioni de It forme /aa' + a>" + »"' ay' -f
Ex. 4. Ou a quatre poiali dani un plan P„ P„ P. et P| i soit Ci lo milieu de P, P, ; on joint Ci avec P„ et On divise la distance C,Pi en trois pirtiea agates ; soit Ci lepMOtde division le plus près de Ci) on Joint C| avec Pt, et on divise Ci P, en quatre parties égales j trouver les coordonnées du point de divition C| le plus proche de Ci, celles des points dooD^* étant {x,, y,) etc. On trouvera successiveEDenl : i* Pour le [Wint T, :
0^. »i±î')i2-P»rl.|»mlC.:C-J-ti±f:, till+fiY „«„,
p«iac,J'-l
Si l'on continae l'opération que nous veoona d'indiquer, lorsque le nombre des points donnés est n, on troaven, pour le dernier point c«U9tniit,
D,gnz.dbvC00gle
Ce point s'ippeUe le rrnlre du moyMMi dUlanett des poiaU donués. Ua trrîve touJDura «D loime point final quel que soit l'ordre luîvi entre ces pointi dans ta sails dca opérations.
Ex. •. Étant donné un sjs;iiiie de m points Pi (>i, y,). Pi (si, y,) elc., construire le point doal ies coordonnées soni représentées par
'»i + iH + +"111 ' ti-t-tf*-
Ce point se Domine le centre dt* diilanetê prùpùrliùnneUtt du système.
4. Trouver t'expretsîon de la dUtanee entre deux point* donnés.
Soient M' (x', y'). M" (x", y") les points donnes ; menons les ordonnées H'P', H"P", et, par le point H', une parallèle à OX; le triangle H'M"K donne la relation :
WW* = TK.* + WK* — iM'K . M"K eos H'KH"; mais
M'K = P'P" = x"— X', M"K = M"P"-KP" = ?"-/■ De plus, si 6 est l'angle des axes, M'KM" = i8o'' — 9.
Donc, en désignant par i la distance des deux points, on obtient la Tormule : ,. ,
a' = (i" — x'J' + (y"— y')' + 2{x" — i')(y"— y')co89. D'où
J = |/(x" — x')' + (y" — y')'4-2(x" — x')(y" — i/')cos9.
L'expression de la distance de l'origine à un point H' (x', y') découle de la précédente; il faut supposer que le second point M" vienne coïncider iivec l'origine; alors x" = o et y" = o; et il vient :
Lorsque les axes sont rectangulaires, ces formules se simplifient : 0 x= ^ , cos 9 ^ o ; par suite,
a=i/(x"-xr+(y"-yr;
et la distance d'un point M' (x'y') k l'origine devient
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Dans l'application de ces formules, il fout tenir compte du signe des coordonnées, et prendre, pour S, la valeur positive du radical. Ex. 1. Trouver la distance des deux poinU A (- 3,4) et B (5,-6). R. aV^T El. t. Qaels «ont le) colës d'un triang]« qui a pour SDiiiTDets : A ( — i, — 2), B(l,Z),
C{2,-3)? R- al^sT V^ïôT KâëT Ex. a-ETalnerlidiMnce entre le point A(a',^)etIepoinlB ^"^+"y > , "<" -*^ ) |.
Ex. 4. Faire le même ealcnl pour les points A («in p, — cog g) et B ( — sin 7, eos p).
Ex. m. Lei sommeU d'un triangle sont A(a', y'), B{a", y") et C{«"', y"'); tronrer les diilaacei entre Im milieux det cdtù.
R. i K (y " — •")• + W" - y")', etc. on -BC, ^AC, ÎaB. Ex. •■ Eiprinier que ta diatancs d'uD point H (*, y) au point (— i, 2) est égale à 3.
Ex. S. Déterminer le« coordonnées du centre du cercle c)ui passe par les trois poinla A (— I] i) B (i, 2), C (i> — 3). n faudra résoudre les deux équations
Ex. S. Chercher les coordonnées d'an point du plan ulué à égale distance des points
On a la condition : <a -I- 1)' + (y — i)'=(« — 2)*+ (y — 3)*, ou6« + 4y — Il =0," Tous les systèmes de valeurs, qui satisfont a cette relation, donnent des points qui
répondent à la question.
9. Coordonnée* polaires. Dans ce nouveau système, pour diftermincr un point du plan, on prend préalablement un point fixe 0 appelé pôle, et une droite fixe OX. Les coordonnées polaires d'un point quelconque H sont: 1° La longueur du rayon vccleurMOqu'on désigne par la lettre p; 3" L'angle m que fait ce rayon «1.». vecteur ivcc l'axe.
La coordonnée p varie entre octoo; l'angle u se compte à parlir
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de OX vers OY de o* ^ 360°. Ces limites auflisent pour déterminer un pointquelconquedu plan.
Il existe une relation importante entre les coordonnées polaires et les coordonnées rectangulaires d'un point, lorsqu'on prend le pAle pour origine, et l'axe OX pour celui des abcisses. Si on mène OY perpendiculaire iOX ainsi que les coordonnées du point H, on a évidemment :
X ^ p cos u, y ^ P sin w ; d'oA
2 = tg » et p = (/a:» + y'.
Ces formules permettent de changer une relation entre les coordonnées rectangulaires x ety en une autre qui ne renferme plus que les coordonnées polaires, et réciproquement,
Ex. a. iDlroduirc duu 1m ^ttioiuqtii suirentlet eoordonnéM poltirM.
I» A« + By-»-C = o. R. p=ï 5-:
^ '^AoMB-i-BdaM
2* ytffl — a} — o'sro. R, atia*m = fto$m,
3» •'-l-V*«=5». R- p = scosh.
4" ■(■•-Hlf*) — o{«» — V*)i=o. B. p co$ u = n COI 3u.
Ex. 1. latroduirelMcoMdonD^i rectugnlaires diDilM^qutlionsauivaDtes : I» p" C05 2» = o«. B. •• — !>• = o».
a" p* sb a« = 6*. B. «7 =- .
30 p = n-i-AGM«. B. •»-»-y' — A« = oV^^ + y».
4> f) = a «in 2». R. {«■ -1- p^' — io'aV = o.
Ex. •. Chercber reipreisioD da II dittiaee entra deux poinli donnés :
A (,',«') et fl(p",»").
Om:
m" =:f"tiHiâ",ji" ^p"siiku",m' =p' em ti',i/' =: fi' eotv'. D'où
f~p^-i-p"'—2fi"p' eo« (■" — ••').
On iniverail (n même résolut directement ta maj^n du triangle rorroé pir les deux pÛDtt doDnés et le plie.
% 3. THANSFORKATIDN l>ES COORDONNÉES.
•. La transformation des coordonnées a pour but d'exprimer les coordonnées X et y d'un point, comptées sur deux axes primitifs, en fonction des coordonnées du même point relatives à un nouveau système d'axes.
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— Il» —
Les formules qui en dérivent servent à ialruduire les coordonnées nouvelles dans une rclalion entre les premières x et y, et à passer ainsi, comme nous le verrons plus tard, de l'équation d'une eourbe rapportée i un système d'axes, k son équation pour des axes nouveaux. Cette opération est souvent utils pour simplifier, avec un système d'axes convenables, l'ëquation d'une ligne afin de l'étudier avec plus de facilité.
Dans la recherche des formules de transformation, nous allons distinguer différents cas, suivant la position des axes nouveaux rclstÏTement aux axes primitifs.
T. Prehébe TAjiNSFoniiTioN. Déplacement de rorigine. Soient OX, OY les anciens axes, et O'X', O'Y' les axes nouveaux; nous désignerons par X ety les coordonnées d'un point M par rapport aux premiers, et par a:',y'le8 coordonnées du même point pour les deux 8ttlres;eofin, soicntaetfiles coordonnées F,,, i. de la nouvelle origine 0'. On a
a=OA, fc = AO', i' = 0'P', y = MP', x = OP, y = MP. Mais.
OP = OA + AP = OA + O'P', MP=PP'+MP'=AO'-j-MP'; ou bien
Ce sont les Formules de transformation qui correspondent à un changement de l'origine, la direction des axes étant la même ; les quantités a et 6 sont supposées connues.
Sx. I. Que deriennenl les ëquïtiODs
If-t-4Ji — 7 = 0, ï'-t-y' — 4* + 2ï — 1=0, ii l'on plue la nouvstle origine tu point (2, — i)?
R. y' -»- 41' ^ o, «■' +■ y'* := 6. 9. Que devient l'équatioH
si la nouvelle origine se trouve sur OX ■ une disUnce de l'origine primiiire?
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