Seconds TRànsFORHATiON. Changement de direction des axes
Les droites OX, OY (fig. 6} sont toujours les axes primiUrs et OX', OY' les nonyeaux axes issus de la même origine; soient a el^ les angles de ces derniers avec OX : ces deux angles sont donnés et seirent h fixer la position des axes nouveaux. Nous désignerons, comme lantdt, par x et y, :x' et y', les coordonnées d'un point quelconque H relativement aux axes de même nom; enfin 8 sera l'angle YOX. Après avoir mené les coordonnées, on a, d'après la figure,
9 = YOX, a = X'OX, p = Y'OX.
i = OP, y = MP, a;' = OP' y' = MP'.
Pour arriver à exprimer x et y au moyen de x* et de y', remarquons que les deux contours x-{-y, x' -\-y' ont la fi^ t,
même résultante OH : leurs projections sur une même droite seront égales. Si, par exemple, on les projette successivement sur OX et OY, on obtient les égalités
x-J-ycos9 = i'co8a+y'cos (3, « cos 9 + y = a/ ces (6 — «) + y' cos {S — P).
11 resterait k les résoudre par rapport i x et y. On peut éviter cette résolution en projetant les mêmes contours sur deux droites OR, OS respectivement perpendiculaires à OY et OX; dans le premier cas, le terme en y sera nul parce que MP est perpendiculaire à OR, et dans le second, ce sera le terme en x qui disparaîtra. Il vient alors
x eos XOR = x' cos X'OR + y' cos Y'OR y cos YOS = x" cos X'OS + y' cos Y'OS ou bien
xcosï-— S J = x'eos( a-l 9 J-J-y' cos((3-i 9 J,
ycosi - — 9 l^x'cosf « l-|-y'cos( |3 li
c'est-à-dire
n 0 =x' sin (9 — ^) +y' sin (9 n9 = x'sina+y'sinp.
D,gnz.dbvC00gle
En divisant par sio B, on obtient les formules cbcrchëes; elles servent k passer d'un système d'axes obliques h nn autre système de m^me nature et de même origine; elles sont peu employées dans toute leor généralité. Nous allons examiner quelques cas particuliers d'un usage plus fréquent.
1° Poster (ftin syitème ifaxes rectangulairet à vn êt/Hème d'axu ObtÙjllM.
On a, daDS ce cas, $=—, sinS^ij et les formules précédentes
deviennent
ï =a= l' cos et + j/' cos ^
y = x' sina-i-y'sinp- 2° Paâser rf'ttn jysténu tfoxes reetangutaira d un autre tyitème tTaxes reetangiUairtt.
Dans cette bypotbise, d=-i sin9=i; de plus, |3 = — \-a,
cos j3 = — sin CE, et siu ^ =: cos et. Les formules propres à c« passage seront;
a; ■= l' coa ce — y' sin a,
y = at'8in a + j'cosa.
3' Patter d'un ay^inu ^axa obU^uêi à un système (Taxes recfOMgulttim.
On a ici : p= — j-a, sin (9 — P)^ — cos (9 — *), et sin P = cos a;
par suite,
x' sin (9 — a) — y' cos (9 — «)
9. Tkansfqrmation gëréralb. Elle consiste à changer h la fois l'origine et la direction des axes. On peut y parvenir au moyen des deux transformations précédentes. Si 0'(a, 6) représente la nouvelle origine, et si on mène, par ce point, deux axes O'X", O'Y" parallèles aux axes primitifs, on passera d'un système ù l'autre par les formules X = o+ x", y = 6 +y''-
Il reste ensuite b pisser du système O'X", O'Y" au s}'stème O'X', O'Y', en conservant l'origine. Il faudra remplacer x", y" par les valeurs générales de X et jr trouvées prëcëdemmeat. Les formules de la transforma- Uon la plus générale des coordonnées rectilignes seront donc
sin 6 '
, , ac' sin « + v' sin S " ~ sin 9
Rexuqdes. I. Dans les formules précédentes, B est l'angle formé par les parties positives des axes OX et OY; il peut varier entre o* et iSo". Les angles « et ^ sont formés par les parties positives des axes nouveans avec l'ancien axe des x positifs ; ils peuvent varier cotre o* et iSo*.
n. Dans les cas particuliers du N* 8, si l'origine diange et se trouve au point 0' (a, 6) du plan, il faut t^outer aux valeurs de xet de y les coordonnées a et 6 de cette origine.
III. Les différentes formules de la transformation des coordonnées sont du premier degré en x' et y' et de la forme
x^a + px' + 9s', y = 6 -}-'■*' + sy'.
La substitution de ces valeurs, dans une équation du degré m en x et y, conduirai une nouvelle équation dn même degré en x',y'.lle8tclairqne le degré ne pourra pas s'élever, car te développement d'un polynôme & la puissance m ne donne pas de termes en x',y' de degré supérieur ii m; il ne diminuera pas non plus, car, en repassant des axes nouveaux aux anciens, il devrait augmenter.
Ex. 1. Hontrerquer^qattioii
est tovJDun de li mtme forme pour toua lu ues rectangulaires de même origine. Ex. a. On a l'équation en coordonnëet rectangulalnif
•• + y* — an» — 2fty -t- o* + 6" = R', Que devient-elle jwar un «ystime d'aies reeliDgnlairei Uaas do l'origine 0'(a, bjî
R. «"-t-y'> = R'. Ex. S. Qnel chaagemeat éprouve l'équation en coordonnée! rcelangulairei /-••=. 4, si 00 prend pour aiea les biMedriees de» axes primilibt B. l'y' = 2.
D,gnz.dbvC00gle
£x. «. Écrire les rormules propre! à piEser d'un système d'ues rectangulaires i un système d'axes oblique* en conservant l'origine et le même axe des >•
R. a = a* + y' coa p, g = ji' ào/i.
El. S. Ëtinl donnée l'ëqnatioD eu coordonnées recUngultîret
que dcTicot-elle, si on conserve l'ue des x et si on prend, pour ue des y, la btuedrice des aies primitifs?
R. 4»" + y'* + y^tff' = 2.
10. TransfomuUion des coordonnées cortisienneit tn coordonnées polaires. Nous avons déjà fait connaître les Tormules qui servent à opérer ce passage, lorsque les axes sont rectangulaircs, l'origine au pdie, et l'sxe des x coïncidant nvcc l'axe polaire; ce sont : X =^ p cos o>, y ^ p sin b).
F'i' T. Si l'axe desx Tait un angle aifig,7)fvec
l'axe polaire, il suffit de changer u en u — a, et on a, dans cette hypothèse, a: = û cos (u — a), t/ = p sin (w — a). Supposons maintenant {fig. $) que les axes soient obliques, et qne celui des x coïncide avec l'axe polaire. Le triangle OMP donne
MP sin w 0P sin(9 — m) I OM^^sinô' ÔM iinl
I D'où on tire les Tormules de Iransforma- Fi(. s. tion :
p sin {9 — (■)) psiocii
% 3. ÉQUATIONS DBS LIEUX CËOMÉTRIQUES.
11. Soit AB une ligne définie gëomclriquement par une pro[>riété commune à chacun de ses points. Menons & volonté, dans le plan, deuxaxes OX, OY. Les coordonnées ar et 1/ d'un point H dépendent de sa position sur la courhe : pour la valeur particulière x ^ OP, l'ordonnée prend
D,gnz.dbvC00gle
une valeur dëterminéc MP; et si on Tait varier x, par exemple, en lui
attribuant les valeurs croissantes OP' l'ordonnée y varie aussi; elle
augmente ou diminue suivant la forme de la eourbe. Dans tous les cas, on peut regarder l'ordonnée d'un point qui décrit une ligne géométrique comm dépendant de l'abcisse de ce point; ce qt s 'exprime en disant quey est une fonction de X. Dès lors, en partant de la définition de cette ligne on pourra, parune construction auxiliaire cl au moyen de théorèmes connus, exprimer par une équation la relation qui existe entre l'ordonnée et l'abcisse. L'équation ainsi obtenue ne renfermant plus que des quantités données et les deux variables x et y est l'équation de la ligne définie : e'est-i-dire une équation qui sera satisfaite par les coordonnées de tous les points de la courbe; car ces points jouissent de la même propriété et doivent satisfaire ii la même relation.
Réciproquement, toute équation entre x el y représente une ligne dont on peut connaître approximativement la forme au moyen de deux axes quelconques. Il faut remarquer qu'un système de valeurs pour x et y, pris au hasard, ne satisfera pas généralement ji l'équation ; les points dont les coordonnées satisfont à cette relation ne vont pas se répartir dans le plan d'une manière arbitraire; mais ils doivent se suivre d'après une certaine loi. Or, si on donne h la variable x qui représente l'abcisse une valeur x,, l'équation donnera une ou plusieurs valeurs pour y, suivant son degré ; on aura donc un ou plusieurs points de la courbe situés sur l'ordonnée correspondante r Xi . Avec une seconde valeur x ^= xt, on obtiendra de nouveau un ou plusieurs points du lieu sur l'ordonnée correspondante h Xt, et ainsi de suite. Lorsque les points ainsi trouvés sont assez rapprochés, on peut les joindre par un trait continu, et traeer approximativement la courbe, lieu de l'équation donnée.
il arrivera quelquefois que le lieu représenté par l'équation ne pourra se construire; par exemple, x*4-y' + i =o: il n'existe aucune valeur réelle de x et de y qui puisse satisfaire à l'équation. Il faudrait alors employer les quantités imaginaires; on dit, dans ce cas, que la courbe ■«présentée par l'équation est imaginaire.
Nous allons donner quelques exemples qui ont pour but d'indiqner la marche à suivre dans la mise en équation des lignes. Nous ferons remar-
D,gnz.dbvC00gle
quer que, les axes des coordonnées étant arbitraires, on peut les choisir comme on veut dans chaque question. SouTcnt, on Tait usage d'axes rectangolBires ; s'il y a des points ou des droites données, il est gëuéralefflcnt avantageux de prendre l'un des axes passant par ees poiots ou coïncidant avec une droite connue.
19. Cbaclb. La eirconfirenee de cercle est une courbe dont lapùinlt sont égaUment dùtantt d'un point fixe appelé centre.
Pour arriver h son équation, prenons pour axes deux droites rectangulaires qui se coupent au centre. Soient x et y les coordonnées d'un point H ; menons HP perpendiculaire k OX, ainsi que le rayon OM. Le triangle OHP donne
Ôp*4-mp' = ôm',
ou bien
x' 4- y' = r% r étant le rayon du cercle.
f,g 10. C'est la relation qui existe entre les
coordonnées d'un point quelconque de la circonférence, ou l'équation de cette ligne, pour le système particulier d'axes que nous avons choisis.
Cette équation serait différente, avec un système d'axes reetangulairea issus d'un point quelconque A du plan. En effet, si on les prend parallèles aux premiers, et si on prolonge HP jusqu'il sa rencontre avec Ax, on a ici x^ AQ,y = HQ. Soient a ='AR, et 6 = OR les coordonnées du centre; on a toujours, dans le triangle OHP,
