P' + MP'=()MV

Mais,

OP = BQ = AQ — AR = X — ff,

MP = HQ — PQ = MQ-OR = y — 6;

de sorte que l'équation du cercle, pour ce second système d'axes, sera

19. HïPEnBOLE. L'hyperbole est une courbe dont chaque poùtl jouit de cette propriété ; que la différence de tes disantes à dntx poinl$ fixes est constante.

D,gnz.dbvC00gle

Comme il y a deux points fixes doDoës, prenons, pour axe des x, la droite qui passe par ces deux points, et, pour axe des j/, une perpendiculaire OY élevée au milieu de la distance FF'. Soit M (x, y) un point de la courbe; tirons les droites HF, BIP', et MP perpendiculaire à OX. Nous représenterons la constante par 2a, et la distance FF' par 2c.

D'après la définition, on a :

MF' — BfP = 20.

Or, le triangle HPP donne ^'i ■'■

MF = I/mP* + FP' = |/mP* + (OP — OF)' ; on bien

HF = |/s' + (a;-c)'. On tronvera aussi, par le triangle HPF',

MF' = t/y'-i-{x + c)*.

L'équation de la courbe sera done

/j,i 4- (ar -f- c)» - |/j(' + (X - c)« = 2a. Afin de simplifier, faisons passer le second radical dans le membre de droite, et élevons ensuite au carré. Il viendra, après les réductions,

ex — a' = a |/y* + (a; — e)' ; et, en élevant une seconde fois au carré, on pourra mettre l'équatioD sous la forme

Hais, dans le triangle FHF', on a FF' > P'N — FM ou 2c > 2a ; la diff^ rence c^ — a* est positive et on peut poser : c* — a* ^ 6*. L'équation de l'hyperbole, pour le système d'axes de la figure, sera finalement

6*x' — d'y* = a*6' ou bien

Pour se faire une idée de la courbe, il faut discuter l'équation. Si on la

D,gnz.dbvC00gle

résoud par rapport ù y, on trouve

A chèque valeur attribuée à x, corrcspoodcnl dcun valeurs égales et de signes contraires pour y; les points de la eourbe sont dooe distribues deux à deux à égale distance de l'axe des x. Il en sera de même relativement à l'axe des y; il suflit de résoudre l'équation par rapport ii x pour s'en assurer. La courbe est donc symétrique par rapport aux deux axes.

Pour X ^ ± a, y =: o ; si on porte sur l'axe des x, de chaque cAtë de l'origine, OA=OA'^a, on aura les points A et A' oii la courbe rencontre l'axe des x. Dans l'hypothèse x^o, l'équation donne pour y une valeur imaginaire j la courbe ne rencontre pas cet axe.

Lorsque x varie depuis o jusqu'à ± a, y est imaginaire; donc, si on tire par les points A et A' des parallèles à OY, il n'y aura aucun point de la courbe situé dans la portion du plan qu'elles comprennent. Mais si x augmente depuis ± a jusqu'à d= oo , y est toujours rccl et croit indéfiniment avec X. A ces valeurs correspondent les deux branches de la figure : elles s'étendent à l'infini, l'une dans le sens des x positif^, l'autre dans le sens des x négatifs, en s'écartant de plus en plus des axes.

* 14. Lehmscate. La lemniscate rit une courbe telle que le produit det distances de chacun de ses points à deux points fixes est constant et égal au carré de la moitié de la distance des points fixes.

Adoptons le mémo système d'axes que dans l'exemple précédent, et posons a = OF. L'équation de la courbe sera

Si on élève au carré les deux membres, on obtient

te + (i -.)•][,• + (. + »)■] = a-, ou bien

[y'-t-x' + o' — 2ai] [y' + jr» + a'+2ai] = a'. L'équation de la courbe peut donc s'écrire

{y* + X» + ay — 40»x' = o'.

D,gnz.dbvC00gle

En la résolvant par rapport h y', on Irouvc

Pour calculer y, il faudra- toujours prendre le radical du second membre avec le signe positif.

A chaque valeur de x, il y a deux valeurs égales et de signes contraires pour y; la courbe est symétrique par rapport à l'axe des x.

Les points de rencontre avec XX' s'obtiennent en faisant y ^o; on trouve ainsi le condition

On y satisfait pour x ^ o, et x ^^ ± a [/^Lt courbe passe par l'ongine et coupe l'ane des x en deux autres points situés à une dislance a ^^2 du point O.

H est raciledevérilier que, pourics valeurs dex plus grandes que a 1/2, y est imaginaire; la courbe reste comprise dans la portion du plan interceptée par les parallèles h OY,mcnées par les points où elle rencontre l'axe des x. Lorsque x varie entre o et a ^^^,y augmente d'abord pour

diminuer ensuite: le maximum de u tombe entre x = — etx^ — ■ La

courbe aura donc la forme indiquée dans la figure.

1S. CissoÎDE DB DiocLÈs. On S vn cercle {fig. tS), vn diamètre a = OL,

et la tangente LR à l'extrimiti de ce diamètre. Par le point 0, on mène

une sécante quelconque telle que OD qvi rencontre le cercle en vn point C;

on prend enfin OU = CD; le lieu du point

H ainsi conilrtiil est la courbe appelée

cisiotde.

Pour trouver son équation en coordonnées polaires, prcnonsle pointOpour pôle, et OL pour axe polaire. Soient p, u les coordonnées du point H; d'après la construction, on a

p = OM = CD = OD — OC.

^ Or, si on mène CL, ics Iranglcs rectan-

^'<- "■ gles ODL et OCL nous donnent

OD = -^, OC = o eos w.

C'est l'ëqunlion de la cissoîde eo coordoDnëea polaireE.

En vertu de la transfonaatiao indiquée prëcédemmeat, od obtiendn facilement l'ëquatioa de la courbe en coordoonées rectangulaires. Si on prend OL pour axe des x, et la perpendiculaire OY pour l'axe des ordonnées, il faut se servir des formules

X = p cos 6), «/ = p sin u.

On trouvera ainsi :

Cette équation indique que la courbe est symétrique par rapport k l'axe des x; si x augmente de o à a, l'ordonnnëe y croit d'une manière continue et devient infinie pour x = a. D'ailleurs, pour toute autre valeur attribuée à x,yesl imaginaire. La courbe se compose de deux branches symétriques qui s'éloignent de plus en plus de l'axe des a eo se rapprochant indéfiniment de la droite fixe RR'.

16. SpiaiLE n'AncmaÏDE. Vne longueur fixe OA tourne uniformément autour du point 0, de sorte que le point A décrU une circonférence de rayon OA ^ r. Vn point H port en même temps du point 0 pour parcourir d'un mouvement uniforme le rayon OA, pendant te mérn* tempt que le point A décrit ta cùeonféreae* entière. Le li«u des posiliona du point K est la spirale d'Àrchimède.

Cherchons son équation en coordonnées polaires, le point 0 étant le pdle et l'axe polaire étant dirigé suivant la position primitive du rayon OA. Soit 0A| une position du rayon mobile telle que AA| soit, par exemple, la huitîërac partie de la circonférence. D'après la nature de la question, le point H sera sur 0A| à une distance du point 0

D,gnz.dbvC00gle

^le à la huitième pariie de ee rayon. On a donc la proportion : OH AA, ^. ù a

0A| circoof. r 2ir

d'où, en posant a = — >

C'est l'équation cherchée.

Il sera facile de construire la courbe par points. Après avoir partagé, par exemple, la circonférence en huit parties égales par les points Ai. Ai, A(..., (u tire les rayons OAi, OAj, OAi... et on prend sur chacun d'eux

h'â'r'" ''"'^y**')- ^ courbe ainsi obtenue passera évidemoient par le point A.

Si on suppose que le rayon fasse une infinité de révolutions autour du point 0, et que le point H parcouru A chaque tour la longueur du rayon, la courbe se continue indéfiniment en forme de spirale.

1T. Les courbes précédentes ont une définition géométrique très simple. Il est évident qu'on peut imaginer différents moyens pour engendrer et décrire des courbes; mais, après avoir épuisé les procédés faciles, la description des lignes deviendrait nécessairement pénible et compliquée. Les découvertes géométriques seraient ainsi dues, soit à un effort de l'imagination, soit au hazard. Bien différente est la doctrine des coordonnées : toute ligne est représentée analytiquement par une équation et, réciproquement, toute équation k deux coordonnées est la définition d'une certaine courbe. Nous arriverons bientôt aux conditions et formules qui expriment les relations de situation de points et de droites dans un plan. Dès lors, pour démontrer une propnété d'une figure, on n'aura plus qu'à se servir d'eipressionsanalytiqucs connues aies combiner entre elles afin d'arriver à la relation algébrique qui exprime la propriété indiquée. On remplace ainsi toute démonstration graphique par une opération de calcul.

§ i. CLASSIFICATION DBS UGNE8 PLANES.

flS. On divise d'une manière générale les lignes planes en lignes algébriquet et en lignes tranicendatites .- les premières sont représentées par des équations qui ne renferment que des opérations algébriques i

effectuer sarxcttfj les lignes transcendantes ont des équations où se trouve un sinus, un logarithme ou tout autre signe transcendant qui se rapporte à ces variables.

Les lignes algébriques se partagent en diiîërcnts ordres suivant le degré de leurs équations : ainsi une ligne est dite du second ordre, si son équation est du second degré en x et y; une ligne de l'ordre m est celle dont l'équation est du degré m.

La nature d'une ligne étant indépendante du choix des aies auxquels on la rapporte, une bonne classification doit s'appuyer sur une base invariable avec les cbangements d'ares coordonnés. Or, nous avons vu que les formules de transformaUcn, pour passer d'un système d'axes è un autre, ne changent pas le degré de l'équation. Donc le partage des lignes en différents ordres comme on vient de l'indiquer est légitime ; une courbe de l'ordre m le sera toujours pour tous les axes possibles.

Chaque ordre renferme aussi plusieurs etpècea de courbes suivant les valeurs attribuées aux coefficients qui entrent dans l'équation générale. Cest ainsi, comme nous le verrons bientAt, qu'il y a Irois espèces de courbes du second ordre. Newton a prouvé l'exislence de soixante-douze espèces de courbes du troisième ordre, et, deptis, ce nombre s'est accrd de plusieurs espèces nouvelles.

19. Une ligtu de l'ordre m ne peut être reneontrte par une droite «i plu» de m points.

En effet, rapportons cette ligne à deux sxes dont l'un OX coïncide avec la droite donnée. Avec ce système d'axes, l'équation de la courbe est du degré m. Pour les points d'intersection avec l'axe des x, on a ^ = o ; cette hypothèse introduite dans l'équation fera disparaître les termes qui renferment y et il restera une équation en x qui sera au plus de degré m; elle donnera au plus m valeurs pour les abcisses des points d'intersection de la courbe avec la droite XX'.

Il suit de cette propriété qu'une ligne du premier ordre ne peut élte rencontrée par une droite qu'en un point; toutes les lignes de cet ordre seront des droites.L'hyperbole,qui est une ligne du second ordre, ne peut être rencontrée par une droite en plus de deux points; le lemniscate en plus de quatre i)oint3, etc.

99. n arrive quelquefois qu'une équation du degré m se décompose

co UD produit de plusieurs l'actcurs de degré inférieur. Dans ce cas, elle représente plusieurs lignes d'un ordre moins élevé. Ainsi une équation du troisième degré qui pourrait se mettre sous la forme :

représenterait une ligne du premier ordre donnée par l'équation

et une ligne du second ordre par

mx» + pxy + çy* 4- s = o .

De même l'équation du degré m

(a(X-|- 6iy + Cl) (a^x -f- 6iy + ci)-— (a^x -j- b„y + e.) = o donnera un système de m lignes droites; c'est un cas particulier d'une ligne de l'ordre m, et il arrivera quelquefois qu'une propriété de cette dernière s'appliquera au système de ces m droites.

Bemarqde. De toutes les lignes planes, les plus remarquables et les mieuE connues sont les lignes du second ordre. I.es géomètres de l'antiquité en ont fait la découverte en coupant par un plan un ctlne droit à base circulaire ; c'est ainsi qu'ils ont été amenés aies étudieret qu'ils sont parvenus à en démontrer plusieurs propriétés importantes. Apollonids (247 ans avant J.-C.) a réuni, dans va traité en huit livres, ses propres recherches sur ce sujet avec tout ce qui avait été fait avant lui. D'après les principes de la géométrie analytique, ces courbes sont représentées par l'équation générale du second degré eu x et y. Avec cette équation et par desproc^dés inconnus aux anciens, on a pénétré plus avant dans la nature des lignes du second ordre, et augmenté considérablement le nombre de leurs propriétés; aussi leur théorie fera l'objet d'une grande partie de la géométrie plane : il est indispensable de s'y arrêter un certain temps pour aborder plus facilement l'étude des courbes d'un ordre plus élevé.

D,gnz.dbvC00gle