LIGNE DROITE
(cooiDonniu ctiTtsiiiiNu).
SoHWAiRi. — Formti tUvenei de Viquation du premier degré. — Prohlèmet. ~- Droite maginairt. Equalioni de degré lapérieiir rtpréieniani dee ligne* droites. — Rechtrcke dt Utma géamitriquee du premier degré.
% 1. ÉQUATION hV PReHlBR DEGRË.
SI. L'tiqufttion Is plus simple du preniier degré est c«llc qui ne renferme qu'une coordonnée, par exemple
Pour 1 interpréter, menons k volonté dans le plan {fig. ii) deux axes OX, OY et prenons sur le premier une abscisse OA = a. Le point A appartient au Iilu de 1 cc[uation, il en sera de même de tous les points M li'l^ WM^^^Kf J ^'^ '" droite DC parallèle à OY et travei^ |*ljW^^àw*^^^^^^ sant le point A : car ils ont tous pour abscisse B»\ t^f^UvAv^^^â '^ *' °'"<^"^^) Bucun autre point du plan ne ^1 AVViV^tf J^^^K pouvant satisfaire à cette condition, l'équation proposée représente une droite paral- I lele a l'axe des y. De même l'équation Wf ^^ ' F Ay + G = o
' - -ï- - on peut ramener à la forme S = 6,
sera celle d une droite EF parallèle à OX et qui rencontre OY en un point B tel que OB = b.
D,gnz.dbvC00gle
Ainsi toute équation du premier degré, qui ne renferme qu'une coordonnée, représente une droite partUléte d la coordonnée gui n'y entre pas.
99. Considérons maintenant une équation qui renferme les deux variables X et y sons terme coaslaat; elle est de la forme Ay+ftr = o.
En la résolTant par rapport à (/ et posant m = — -, elle devient y = »tx.
Dans le cas où m est positif, il est évident qu'on ne peut saUsfaire à l'équation qu'en attribuant aux coordonnées x et y des valeurs de même signe; les points du lieu doivent se trouver dans l'angle XOY où les coordonnées sont positives, et dans l'angle opposé où elles sont négatives.
De l'équation on tire
Si donc Mi, Mi, Mi (/îy. 16) sont des points du lieu, on aura Ml P.M^Pt— M.P, OP, ~ OP, ~ — OP, ~^'"'
Les triangles H<OPi,H.OP,,HjOP.
sont semblables et les angles HiOPi, MiOPi, HiOPi égaux; les trois points Kl, Ml, Hi sont en ligne droite; et eomme ils sont quelconques, le lieu de l'équation sera une ligne droite qui passe par l'origine, l'ëquation étant satisfaite pour x ^ o, y =^ o, f,^. ik.
Un raisonnement identique prouverait que le lieu de réquatjon y= — mx, est une droite qui traverse l'origine, et qui esldirïgéedanslcsanglcsYOX', XOY' où les coordonnées ont des signes contraires.
Donc toute équation de la forme Ay + Bx =^ o ou y ^ mx représente une droite qui passe par l'origine.
99. Prenons enfin l'cquation la plus générale du premier degréenxcty Ay + Bi4-C = o.
D,gnz.dbvC00gle
Posons : m = — -- , 6 := — — ; nous aurons ù considérer l'équation
Soit OHi une droite passant par roriginc et représentée par y = ffli.
Pour une même valeur de x, l'y de la première équation surpasse l'y de la deuxième de le quantité constante b. Les points du lieu de l'équation proposée seront donc situés sur une ligne PQ {fig. 16) parallèle h OHi et qui intercepte sur OY une longueur OB = 6.
Lorsque b est négatif, on a
y^mx — 6; c'est l'équation d'une droite RS parallèle & OMi et de l'autre cAté de l'origine.
On prouvera de ta même manière que les deux équations y= — ffli + ft et y=—mx — 6 représentent deux droites parallèles ii celle de l'équation y = — mx.
Aprèscettedi3cuasion,onest endroit de conclure que iouU éq^taiion au premier degré mtr« lea variabUi x ety reprétente une ligne droite.
94. Réciproquement, une droite quelconque lera repriaentée par une égualion du premier degré.
En effet, si elle est parallèle à l'un des axes, tous ses points auront une
même abcisse ou une même ordonnée et son équation sera
X = a ou y = 6.
Si elle passe par l'origine, en prenant plusieurs points de la droil« Mi,
Ht, H) et abaissant les ordonnées, on aura des triangles semblables, et par
suite, les relations
