M|P.M.P. OP, ~ OP
Soit m le rapport constant de l'ordonnée ù l'abcisse; on aura pour chaque point de la droite
D,gnz.dbvC00gle
Enfia, si la droite donnée rencontre les axes, on peut toujours mener par l'origine une droite qui lui soit parallèle et qui ait pour équation y ^ mx ou y ^ — mx.
Or, pour passer de celle-ci à la première, il suffit d'augmenter ou de diminuer l'ordonnée d'une quantité constante h; l'équation de la droite proposée sera nécessairement du premier degré et sous l'une des formes indiquées dans le numéro précédent.
XS. Lorsqu'on connaît l'équation d'une droite, il suffit pour la
construire de chercher deux points qui lui appartiennent. On donnera
donc à X deux valeurs x,, Xt choisies à volonté; l'équation Toumira les
valeurs correspondantes j/t > ^t pour l'ordonnéey. La droite des deux points
Hi(xi,yi), Hi(xt,t/i) est celle qui répond à l'équation donnée. Pour
plus de facilité ou détermine d; préférence les points où elle rencontre
les axes ; pour x ^ o, l'équation donne l'ordonnée du point d'intersection
de la droite avec OY, et, pour y = o, l'abcisse du point d'intersection
avec l'axe des x.
Ex. 1. Que signifient les éqottiana m^O,y^of
B. Lt première représente l'ue des y, U tecoode l'tie des ».
Ex, •. Figurer le parallëlogninme dont les côtés oat poor éqattions
Ex. ■■ Que représentent les équations
jr — « = o, y-*-it = o?
B, Les bissectrices des ues.
Ez. 4. Construire le triangle dont les côtés ont ponr équitions
El. •■ Figurer le quadrilatère dont les tàUa sont donnés par
Ez. •. Bbntrer qne les équations A]/ + Ba-t-C = o, k'f-t-Wx-t-C = o repréiea-
--., ABC
lent la même droite, si Ion a ; TJ^^'S^'c''
ne. Coefficient angulaire. Lorsque l'équation d'une droite PQ {fig, 16) est ramenée k la forme
y = mx + 6( le coefficient b représente l'ordonnée du point d'intersection de la droite
D,gnz.dbvC00gle
avec l'axe des y; car, pour x = o, y=-&. Cette longueur s'appelle l'ordonnée à l'origine .* sa valeur n'a aucune iaflueoce sur la direction de la droite; elle ne fait qu'indiquer si celle-ci passe plus ou moins prte de l'origine.
Pour obtenir la sîgniQcation de m, menons OHt parallèle k PQ; son équation sera
y= mx.
Pour un point Hi, on aura
M,P, = m-OP,; d'où in.=4^ = T "jP^'- ' OPi sinOMiP.
Soit S l'angle des eues et a celui de la droite avec OX ; il viendra, en
remarquant que OU|Pi = Q — a.
Lorsque les axes sont rectangulaires, 6 = go", sin (S — «) = cos a,
et, par conséquent,
m = tang a.
Le coefficient de x dans l'ëquation s'exprime donc en fonction de
l'angle <x ; on l'appelle coefficient angulaire ou congtante de lUrection.
Lorsque l'équation est de la forme
Ay + Bar -t- C = o,
il faut la résoudre par rapport i y pour obtenir la valeur du coefficient
angulaire; on aurait ainsi m = — — •
97. Il existe encore deux formes très employées de l'équation d'une droite en coordonnées cartésiennes que nous allons faire connaître. Reprenons l'ëquation
Ay + Bi + C = o d'une certaine droite AB. Appelons a et b les distances à l'oriKine des points d'intersection de la droite avec les axes, et introduisons ces quantités dans l'équation.
Pour y = o, x = OA = a ; d'où
Pour X = o, y = OB = 6 et, par conséquent, A64-C = o.
D,gnz.dbvC00gle
On en tire B = ,
après la suppression du facteur commun C,
■ o + i si 00 imagine un parallélogramine dont les sommets se trouvent sur les axes aux distanœs :t: a et ± ( de l'origine, les «équations de ses côtés seront
Lorsque, dans les formules
on pose A = o, B = o, les segments interceptés par la droite sur les axes sont infinis. Il en résulte que l'équation
o.y + o.x-l-C = o ou C = o, c'est-à-dire une constante égalée k zéro» doit être regardée comme la déGnition analytique d'une droite située à l'infini et nécessairement indétermioée de direction, puisque le coefficient angulaire se présente
sous la forme ~ • Cependant, si on avait à considérer une droite
Aj^ -f- Bx + C •= o, lorsque les coefficients A et B tendent simultanément
vers o, et que le rapport — -7 reste constant, l'équation limite C= o
représenterait une droite à l'infini paraUèle à une direction déterminée.
SS. Abaissons de l'origine {fig. 17) une perpendiculaire sur la droite AB; soit p la longueur de cette perpendiculaire, et a, ^ les angles qu'elle fait avec les axes positifs OX, OY. Les triangles rectangles donnent
cos Ot cos p
La substitution de ces valeurs fournit cette nouvelle forme de l'équation d'une droite
a: cos a + y cos P = ;).
D,gnz.dbvC00gle
Pour un système d'axes rectangulaires cos j3 = sin «, et on aurait alors
a:cosa+ysina — p = o.
L'équation d'une droite A'B' parallèle h la première de l'autre eàlé de l'origine mais à ta même distance de ce point serait
ICOS (180" — a) + y cos (180" — |3)=P> OU bien
X cos « -J- y cos j3 = — p ;
et, en coordonnées rectangulaires,
a; cosa + tf sina = — p.
Dans ces équations p doit être regardé comme pouvant être positif ou négatif et les angles a et p comme compris entre les limites o et i8o*. L'équaUon générale
Ay4-ftt-l-C = o peut toujours être ramenée h la forme
a' cos a -]- !/ sin a — p = o; c'est-â-dire qu'il est toujours possible de trouver une quantité p et un angle a propres Ii passer de l'une ii l'autre. En efTet, multiplions l'équation par un facteur indéterminé ft, et identifions-la avec la seconde; on aura les relations
^A^sincc, ^B = cosa et (iC = — p. En élevant les deux premières au carré et ajoutant, on trouve f*'(A* + B')=i, d'où
et par suite, cos « := ± —
sin a = ± -
U suffit done de diviser l'équation proposée par ± |/A* + B*.
99. Équation de ia droite en coordonnéet polaire». Soit AB une droite {fig. 18), 0 le pélc et OX l'axe polaire. Abaissons OP perpendiculaire à AB et posons OP = p, POX=a; ces quantités^ et a sont constantes pour une même droite. Si p, u sont les coordonnées d'un point quelconque H, le Irianglc p%. 18. OSIP nous donne
D,gnz.dbvC00gle
d'où
P P coa(M — «)
C'est l'équation de la droite en coordonnées polaires : elle s'obtient immédiatement de l'équation du N* 28, en remplaçant x par p cos û>, et */ par p sin a. En dé?eloppant, elle peut se ramener à la forme
' C COS u -|- D sin (d
§ 2. PROBLÈMES SUR LA LI6NB DROITB.
3V. Étant donnée t'iquation d'une droite, trouver l'angle qu'elle fait avec taxe de» x .
Si
y ^mx-{-b est l'équation de la droite donnée en coordonnées rectangulaires, od a pour déterminer a la relation
tang a = m.
Avec des axes obliques, il faut prendre
sin (6 -a) •' en développant et résolvant l'équation par rapport A tang a, on trouve
' I + m cos 8 Afin d'avoir une formule calculable par logarithmes, écrivoDS
tang (a 1
m — I sin « — sin (6 — «) \ . 2/
m+i~'sin« + siu(e — «)■" ^^fl ' d'où on lire, pour déterminer a,
langfa — -1 = — — -tang-.
Ex. *. Dptfnoiiicr l'iDgle lie la droite V = 3(D-i- 5 arec l'axe des a.
D,gnz.dbvC00gle
El. s. Étint donDJet les droilei jr^m», y = vi'*, tronTerrindinaïwo, rarTaxc des Et de U biuectrice de l'angle qu'ellM tommA entrt allés.
KH-o'
Soita"cetaDgICi«ii*: g"= ■ lUU
En (Mrekippant, et dÎTÏMDt les deux lenuf de la fraction pir cm a cm ■', on (rouTew
, ««,'-1-1/(1 H- «•)(! + ai™)
El. S. Trourer lei cosinua des iDglei de la draile Ay-^Bff + C:=oaT«c lei axes.
Menons, par l'oHgine, 1* droite Ay -t- B> se o parallèle à la droila donnée, Premitf ensnite, 1 partir de l'origine, une longueur OH ^ r, ei soient p, q lei coordonnée* da peint H. On aurra Aq-t-Bp ^o; d'où
Hais p = reMa,q = raa^,ii et f iUat 1m Uglei de la droite ■< en dédain les égalités
SapposoDj maintenant qae leg aiei «ùenl Dbli(|aes, et projetons le contai reapecliTeuient lur p, q, r. Il Tiendra les relations
p-*-qeoi9:=rcoêa, p<iaêt't-i = rectp, pcosii + 9eosp = r.
En éliBÛnaot p, f , r, on aura
I I eos Q cos a I ^ I,
ces B I cos ^
ou bien, en développant,
(i) cos' ■ + cos* fi — 3eosscos(!eost=3 tin' i.
Cest la relation qui existe entre les cosinus d'une droite avec deux • elle se réduit 1 eos* ■ + cos* ^ = i, pour des aies rectangulaires.
Cela étant, les deni premières équations donnent
p-t-qtoii ptMt + ç
A — BcosB AcosS '
Kcos' a-t-cos«ff — acosacosgcosB I
^ ( A— Beos e}*-t-(A eosB-B)'- 2( A— Bras a)(A eosS- B)cose ^A'+B*— «ABcosS
D,gnz.dbvC00gle
Ces égilità déterminent cos «, cm jl.
Ex. 4. fiimener l'équation Ay-t-Ba + C = o d'une droite rappMtée k des tie( «bliquei i II forme x eoa ■ + y tos p — f> ^ o.
Si on idenliSe le prenuire ëquilioa avec la seconde, eprù l'avoir multipliée pu un lacieiir indéterminé i, on aura le* relation!
/iAe=>cos^, /ifi^cof s, /iC=i—p;
en sahstituant dam la relation {k) du numéro précédent, il rient, pour déterminer^, l'équation
fi> (A'-K B* — 2AB CM ») =a ain* 6.
II faudra donc multiplier l'équation proposée par le factenr
iV/At + IP — aABcoae SI. Trouver VangU de deux droileg données.
Les équations des droites donnëes peuveDt toujours se ramener à la forme
Menons, par l'origine (fig. 19), deux droites parallèles aux premières : elles auront pour équations
(i')ï = mx, (2')y = m'x, et feront entre elles le même angle que les droites proposées. Soit 9 l'angle cbcrché, a. et «' les angles d'inclinaison des droites (i') et (2') sur OX.
On a ëTidemment
a^»' — «J d'où
(A) tangç —
Ung «' — Ung »
i + tang<x-Ung«' ^^^ ^^
Or, si les axes sont rectangulaires, tanga'=^m', tanga = m; on lura donc, .pour délerœiner f, la formule
tangqi =
I -i-fam' Lorsque les droites sont perpendiculaires, ç = - > lang ç = co ; par
D,gnz.dbvC00gle
telle est la reUtioa qui doit exister entre les coefficients angulaires de deux droites pour qu'elles soient perpcDdiculaircs. Si elle s sont parallèles, 9 ^ o et tang <p = o; d'où tn^m' sera la condition du parallélisme de deux droites.
Quand les droites proposées ont des équations de la forme (i) Ay + Ba; + C = o, (2) A'y + B'x 4- C = o,
ona : m = — -» m' =
= — — ; et, dans ce cas
