AA' + BB
et celle du parallélisme
BA'-
- AB' = 0 ou ■^=
c'est-â-dire que, si deux droites sont parallèles, les coefficients des variables sont proportionnels.
Supposons, maintenant, que les axes soient obliques; an a alors m sin 6 , m' sin S
UDga
h m cos 6 I + m' cos 5
et l'on trouve, après la substitution dans la relation (k), {m' — m) sin 6 *■■* f = H mm' + (m + m') cos 9 '
Avec la seconde forme d'équations, on aurait (BA' — AB') sin 9
La condition de pcrpendicuiarîté pour les coordonnées obliques est donc I + mm' + (ttH- m') cos d = o ; ou bien
AA' + BB' — (AB' + BA') cos 6 = o.
Ex. t. Chercher l'aigle dei droilM
D,gnz.dbvC00gle
Ex. •. Ecrire rëqoation d'une droite quelconque (aÎMDt nu angle de 45* itm U droite y ;= nue -1- 6.
Ex. •. HoDtrer qu'on ne peut ivoir en m Jme lempï
Ex. «. Déterminer Ttugie de deux droites, coniuiasuit les conniu des ingles qu'elles font tvec les axes.
Supposons que le point (i'), dans la figure prccUenle, ait pour coordonaées p et 7, et Mit p M dislance à l'origine. Projetons le contour p-t- q -t-,r respectivement sur p, q et oz'. 11 Tiendra
p-t-fcosQ^pcosa;
I>coss + g = r cosp;
pcoss' -t-çcos^^rcosf.
Bd éliminant p, q, r, on trouvera, pour déterminer f, la relation
an'll co*;^cosbcos«' -t- eosjtcos^ — (c«s ac(isjS'-t-coi^cosa')cos6j
elle M réduit 1
eos f := cos a Eos a' + cos ^ cas ^, si les aies sont rectangulaires.
S9. Trouver Péquation générale des droites parc^léUs à une droite donttée.
Supposons d'abord que la droite donDëe soit représentée par y = mi + 6.
Od sait que les coefficients angulaires de deux droites de mémo dircctioD sont égaux; par suite, l'équation
y =1 mx + }., où > est arbitraire, ddfiaira toutes les droites parallèles à la première.
Si la droite donnée est At/ 4- fix + C = o, la condition du parallélisme peut s'écrire
On y satisfait en posant : A' = kX, B' = AB. Il en résulte que l'équation * (Ay -H Bjc) + C = o.
D,gnz.dbvC00gle
représentera uqc droile parallèle k l'autre quel que soit C. En posant
X = -7-, elle devient
Ay + Ba; -h i = o.
IS. Trouver Véquaiûm générale des droite» perpendievlaù-ea à «m droite donMe.
Quand les axes sont rectangulaires, on a, pour les conditions de perpendicularité,
1 4- mm' = o, AA' + BB' = o.
De la première, on tire m' =— ^; par suite, l'ëquation
représentera une droit* perpendiculaire ky^mx-j-b, quel que soit l. Dans le second cas, la condition peut s'écrire
d'où A' = BA, B' = — AA; et l'équation
ft (By — Aar) 4- C = o, ^ C
OU, en posant ^ = r »
By — Ax + X = o,
définira une droite quelconque perpendiculaire Jila droile Ay+Bi+C=*o. Lorsque les axes sont obliques, les conditions de perpendicularité peuvent s'écrire
1 +mm' + {m + m') cos9 = o, A' (A — B cos e) — B' (A cos 6 — B) = o. D'où
^ 1 4- m cos 6
m + coBS '
A cos e — B A — B cos 6 *
Les équations cherchées seront alors
i-\-mcosQ
^ m + costJ
(A C06 e — B)y + (A — B cos 0) 1 4- i = o.
S4. Déterminer U point d'intersection de deux droùes donniei. Soient
y ^ mx + 6. y = m'x + 6'
les équations des droites données. Les coordonnées de leur point commun
doivent satisfaire à la fois à ces deux équations : il suffit donc, pour les
obtenir, de résoudre les équations par rapport à x et y.
En égalant les valeurs de y, on a
mx + 6 = m'x + 6' d ou x = ,
et, par suite,
mb' — bm'
Lorsque m = m', ces valeurs sont infinies, et cela doit être puisque, dans ce cas, les droites sont parallèles.
lu. 1. Qnd eu le poÎDt d'iotenectioD des drailet
3« + 3ï — 8 = o et 5« — 1/ — 9 = oT
Kl. s. IVoaver Ici coordonDées des «omraeu d'un triingle dont Im cAtéi ont pour
2ï — « = 3, y + * — 1 = 0, stx + yam- H. A{o,i), B(-2,o), C(-5.+
Ex. a. Chercher le point d'intersection des droites
(6 — ft') I — (o — «') V = a'6 — a/(' (6 — 6*) « .+- (a — o*) y = 06 — a'*'.
Ex. a. Mène recherche pour les droites
]>-t-aic-l-a*^o, y + i«! + i' = o.
D,gnz.dbvC00gle
Ex. S. DétermiDGT le point cominni) des droites
1 nft' — fco' ' 06' — fta'
El. •. Même calcul pour
f est l'angle des deni droites.
Ex. V, Avec les mjmes équatioDs que dans l'exemple précédent, calculer la distinee da poinl d'tnterseelioD des droites k l'origine.
On a, en appelant p cette distance,
f ■ = a* + K' = . [p* +. p'« — ^/p' eos e] . sin" f
Si 00 désigne par D la distance entre les pieds des perpendiculaires abaissées de l'origine sur les droites, on aura cette relation
55. L'équation géaërale de la ligne droite y^mx+b ae renferme que deux coefficients ou paramètres inconnus. Il en est de même de l'ëquation Ay-|-Bx-{-C = o; car, si on divise par C, il reste les deux
A B coefficients ^ et ^ dans k premier membre. Les deux conditions géométriques auxquelles une droite peut être assujettie servent à trouver deux équations de condition où entrent les paramètres et des quantités données : équations qui suffisent pour les déterminer. Dans les problèmes qui suivent, on s'occupe de la recherche d'équations de lignes droites soumises i certaines conditions.
56. Trouver l'iQu<aion d'une droite qui passe par deux points donnés. Une droite quelconque est donnée par l'équation
y = mx + 6, en déterminant convenablement les coefficients m et b. Soient M' {x',y^, H" [x", y") les points donnés. Si l'un de ces poinls, par exemple M', doit
D,gnz.dbvC00gle
appartenir à la droite, ses coordonnées doivent satisfaire à l'équation : on a donc la condition
y' = mx' + b.
On peut profiler de cette relation pour éliminer une inconnue, par exemple b; ce qui s'obtient par la soustraction des équations membre à membre; il rient ainsi
Cette équation représente une infinité de droites, puisqu'elle renferme un eoeOicient indéterminé m; et toutes ces droites jouissent de la propriété de passer par le point M'.
Hais, comme la droite cbcrcbéc doit aussi passer par M", on a cette seconde condition
v" — y'^tn(x" — a:'), d'où »b^~ — -■ y 9 \ » x" — x'
Si on substitue cette valeur dans l'équation précédente, on obtient, pour la droite cbercbée,
on bien, sous une forme plus symétrique,
y — y' ^ — ^ y"-y' x" — x'' En chassant les dénominateurs et faisant passer tous les termes dans le premier membre, on peut encore écrire
(y" ~y')x~ (x" — x')y + y'x" — x'y" = o. Il est boA de retenir que le coefficient angulaire d'une droite qui passe par deux points est égal au rapport de la différence des ordonnées i la différence des abcisses de ces points.
Ex. 1. Que devient l'^qattiou d'une droite qui pisse par d«ai poiott, si on bit sneeeuivenwnt y" = y', •" = a:'*
Ex. «. Écrire réqaalion de U droite qui joint l'origine au point H {>',|r').
H. c'y — y'ir = o.
Ex. •. TroDTer les équations des c6tés d'no triangle dont les sommets sont (— i, 2)f (a. 3). (- 4. 5)-
H. 3y — • — 7 = 0, y + ai — 1 = 0, 3y + a> — 11 = 0.
D,gnz.dbvC00gle
Ex. «. Let wnimeti d'un triingle Mot A (OtO), B {o,f"] C (m'" fi); tnjuer let équations des médiaDes.
R. a"'j/ — j/"x = o, ay"* + «"'y — «'"y" = o, v"a> + 3n)"')r — «"V' = o- Ex. B. Trouver la coudilion pour que les trois points (m', jr*), (a", jr"), («"', |r"0 soienlen ligne droite.
L« droite das deux premiers pointa est
iS" — jf')ai^{œ' -«")|r-HïV — «y' = o.
D'aprfa II question, le troiiiëme point devra utisbire à cette ëquatiou, et la condition cherchée sera
(y" - s') *"' +{^- «'T f"' + jr'»" - «y — o, ou, sous une forme plus symétrique,
«' (y"' - y'T + »" (y ir"') -1- *"' ù^' - ,-) = o. Ex. •■ TroaTcr les médianes do triangle dont les sommets sont : A(x',y'), B («"ijr")i C(-"'.y"'}.
H. (aa' — •"- •'") y- (a»' — y" — /")»! + !''(''"-*-«'") — œ'(y" + |("'> = 0; (»"— ai'-»"')y — (ay" — y' — y"')«-|-y"(«' + «"') — B"(y' + y"') = o; (w'" — «' - x") y — (ay'" — y' — y") « -t- y"' (»>' ■+■ »") - «'" (y- -t- y-O — o, Ex. «. Hontrer que la droite passant par les milieux de deux cdiés d'un triangle est parallèle an Iroisiime e£të.
Ex. •. Trouver le rapport des segments qu'une droite Ay -4- Bb -t- C ^ o détermina sur la ligne qui joint les deux points H' (o', y'). H" {m",y").
Désignons par— ce rapport, et par C [n, y) le puint d'intersection de* droto. <hi aura (N* S)
Sabstitnons ces valeurs dans l'équation de la droite donnée ; il viendra A {m^' ^- ny') + B (me" -j. n»-) -«- C (m -•- n) = O.
Ex. •. Trouver le rapport suivant lequel la droite des pointa D (x' y'), E {x", y") est rencontrée par {aligne qui joint deux autres points P {«"',y"'), G (*", y").
n ^ »' ly" - y"') -t- »•" (y' - y") -*-»"(/" — /)
n b" {y'" — y") + «"' (y" — y") + x" (y" — y'") Ex. ■•. Une droite rencontre lescôtés AB,AC,BC d'un triangle aux pointsF,B,D; démontrer la relation
D,gnz.dbvC00gle
Ex. a 1 . Pur les somioeti d'un triiDgle ABC, on mené Iroù droites panant par un même point 0 et conpaDt les cCtës opposëa ani points D, E, F ; prouver que l'on a (onjours BP-CE-AF DC-EA-FB~"'* Ex. ts. Étant donné un quadrilatère ABCD, on mène les diagonales du parallélogramme ayant pour iomniels les milieux des câtës; soit I leur point d'intenectioD, et F, G, les milieux des diagonales dn quadrilatère. Les points I, F, G sont en ligne droite et le point I est le milieu de FG.
ST. Trouver téquaiion d'une droâe qui passe par vn point et qui est partdlète à une droite donnée.
Soit M{x',y')etjf^=px-i-q le poittt et la droite donoés. La droite cherchée aura une équation de la forme (N' 32)
et, comme elle doit passer par le point M (x', y'), on a la condition y'=px' + A.
En retranchant membre h memhre, le cocfScient indéterminé X disparaît, et il Tient, pour l'équation demandée,
Ex. fl. Quelle est réquation d'une droite passant par H (n', y") et parallèle à l'une des droites tnirtntes :
Ex. a. Va triangle a pour sommets A (1,3), B(— 1,1), C (3, 2)i trouver les droites menées par les sommets pirallèlemeot aux «6lës opposes.
R. 4S( — a = 7, y="i, 2y — «— ie=o.
SS. Trouver l'équation générate des droites qui passent par le point d'intersection de deux droites données.
Soient les équations des droites doDoées,
y — tïii — fc = o, y — m'x — fc' =i o ; l'équation demandée sera
(ft) y^mx — 6 = X(y — m'x — b% dans laquelle X est indéterminé. En effet, elle est du premier degré en x
D,gnz.dbvC00gle
et y, et, À cause de la présence de X, elle représente une infinité de droites ; de plus, toutes ces droiteg passent par le point d'intersection des deux premières; car les coordonnées de ce point ennuient le premier et le second membre de l'équation, quel que soit )..
Une condition nouvelle permettre de déterminer À; si, par exemple, la droite est assujettie à passer per un point H (x*, j/'), on a la relation y' — mx' — 5 ^ i (y' — tn'x' — 6'). Par l'élimination de X, on trouve l'équation
y — mx — 6 y — m'x — 6' y' — nu;' — 6 y' — m'x' — o' qui représente une droite issue du point d'intersection des deux premières, et passant par le point donné.
Pour exprimer que l'une des droites (k) doit être parallèle à la droite y — px — q^o, il faudrait d'abord écrire ainsi l'équalion
(i — À) y 4- (m'A — m)x + b'X — 6^o; et la condition du parallélisme serait
I — ). m'A — m I ~ — p Cette relation sufGt pour déterminer ).. En. t. Droite painnt par H(i, — s) et le poinl d'interaection dei droites
F.x. M, Droite pissonl par l'origine et le point commun dci droites
Ex. S. Droite pirallèle à sy -¥- 31 = 5 et puiuil pir !e point d'intersMtioD des droite* de l'exeinple i.
Ex. a. Les riléi d'uo triingle sont :--t-^= i, » = o «l y = 0, Ttoutct Iw médiuies.
D,„„.db,Coogle
S9. Reeonnaitre êi trois droites concourent en un mémepoint.
CoDsidërons les droites représentées par les équations
Ay + Bx + C = o, A'y + B'x + C = o, A"y -^ B"x 4- C" = o.
Od cherche les valeurs de x et de y du point d'inlerseetion des deux premières : si les valeurs obtenues satisfont ïi la troisième équation, les trois droites proposées passent par un même point. On trouve ainsi, pour la condition génémie,
A" (BC — CB') + B" {CA' — AC) + C" (AB' — BA') = o.
n est un moyen pluscommode, c'est de chercher trois constantes ï,f<,v telles qa'en multipliant respectivement les équations par ces constantes et ajoutant, on ait l'identité
; (Ay -h Bi + C) + p (A'y + Wx -{-C') + v (A"y -}- B"x 4- C") = o; c'est-à-dire une équation qui soit satisfaite quelles que soient les valeurs de X et de ^. En effet, les coordonnées du point commun aux deux premières droites annulent séparément les deux premiers trinômes, et elles devront également annuler le dernier, puisque l'équation est satisfaite quelles que soient les valeurs attribuées aux variables; donc les trois droites eoneourent en un même point, si on peut arriver à une telle identité. Souvent il suffit, pour la trouver, de combiner par addition ou soustraction les équations des droites données.
Ainsi, dans l'Ëx. 4 du numéro précédent, les médianes du triangle sont
h^— 1=0, +-5— r=o et ^ = 0;
si on change les signes des deux dernières équations et si on ajoute, on a
l'identité
Dans cet exemple les constantes sont : / = i, ft^ — i etv = — i
El. 1. Montrer que les droites guivanlM ""'V ~ y"" =• o, ay"* + *"'i/ — »'"!(" = o, y"» + 2a>"'y — «'"j" — o M coupent en nn même point.
Le point d'intenection du deni dcmiira « pour coordoaDJes « = — ,y=. —
D,gnz.dbvC00gle
vileurs qui utiiTonl à U premicre équation. Autrement, si on retrancba les deux deniiires éqnilioDS on retrouve ts première. Donc, etc.
Ex, a, Héme recherche pour les droites
y4-a> + B* = o, y -I- fci -t- ft* = o et » + (B-»-à)=o.
Si, tprès iToir retranché les deni premières équations, on ijoute au résultat li dernière multipliée par (6 — a), ou trouve 0 = 0.
4#. Trouver t'^ualion de la perpendiculaire abmtsée d'un point sur un« tbroùe donnée.
SoientM(x',y')ely = mx-}-6 le point et U droite donnés. La perpendiculaire est représenhie par une équation de ta forme
SI on exprime qu'elle passe par le point H, on a
En retranchant membre à memJire, on trouve, pour l'équation demandée,
Lorsque la droite donnée est définie par Ay + Bar +C = o, m = — j .
et on a pour la perpendiculaire
Dans le cas où les axes sont obliques, on arriverait de la même manière aux équations
y— y' ^ x—x' I + "» C08 9 m + cos 6
y — y' ig — J' , B cos 9 — A Aco8 0 — b'
El. fl. Droite istue du point (— i, 2) et perpendiculiire à U droite 5> — 2y = 5.
R. 5yH-M=8.
El. S. Les sommets d'uQ triangle sont A(i,2),B( — i, t), €(—2,3); trouver lei équations des perpendiculaires abaiisées des sommets sur les cAléi opposés.
D,gnz.dbvC00gle
Eqiulioiu des cdtéi :
ay — « — 3 = 0i 3y + « — 7 = 0, y-*- ï»-«- i =0. EquttioDi dei perpendiculures :
y-(-;MH-i=o, [T — SX — 4 = 0, 2y — * — 3 = 0.
Ex S. Droite pissant pir H (a/, y') et perpendieulaire à--i- ^^ i.
£1. 4. Les Irais hauteurs d'un triangle passent par ud même point.
Ed effet, si on choisit deux axfs rectangulaires de maniire que lus coordoimto des sommets soient : A («', o], B (o, y"), C {"'", o), an tronvera, pour les équations des htuleurs
jl"y — »'{m — a"')t=a, y"y — a!"' (* — «T = O, a! = o; on Toit facilement que la dernière est une eaïuëquenee des deux autres ; donc, etc.
Ex. ». Les perpendiculaires élevées aux milieux des câtës d'un triangle passent par DO même point.
Avee le triangle de l'exemple précédent, on aura, pour les équations des perpendiculaires,
jr"y — •'«-»--{«''— s'") = 0. y"s — !''"''-*■-{'''"*— y"')=Oi » — =°-
En retranchant les deux premières, on retrouve la troisième; donc, etc.
Ex. a. Droite passant par te point H{^,}'}etperpendicnUireà*co*aL-i-ysina— p=«.
Ex. •. Droite menée par le point d'intersection des droites j/ — 2« — 5^o, y -t- M — I ^ o. et perpendiculaire à 2^ — $x^g.
41. Chercher l'exprtttion de la dittanee ^un fiomt à une droite.
Supposons d'abord les axes rectangulaires. La distance d'un point H (x*, y*) à une droite donnée y — mi — 6— ose compte «up la perpendiculaire représentée par l'équation
Soient x,, 1/1 les coordonnées inconnues du pied de la perpendiculaire et P la distance cherchée; on aura
Or, en vertu d'une propriété des fractions égales, on peut écrire y — y' __ — {^ — "') y—y' — mfx — x') — y' + ntaZ + y — mx I m 1 + wi' 1 -|- m'
D,gnz.dbvC00gle
Remplaçons les coordonnées courantes x et y par Xi, yi : comme le pied de la perpendiculaire appartient à la fois aux deux droites, y, — mxi = 6; il viendra donc, pour calculer les différences Xi — x*, t/i — y\ les équations suivantes :
yi ~.y' —ixi — x'}—(n'~m^ — f>)
si on substitue leurs valeurs dans le radical précédent, on trouve, pour l'expression cherchée.
Lorsque l'équation de la droite donnée est de la forme Ay-4-Bx4-C^o, m^ — j» 0 = — TJ" vient, dans ce cas.
Le numérateur de ces fractions est le premier membre de l'équation de la droite où x et y sont remplacés par x' et y'. De là découle cette règle : Le premier membre de l'équation d'une droite Ai/ + Bx + C = o, diviië par [/ A' -j- B*, représente la distance d'un point guelconque H (i, y) du plan à celle droite.
Enfin, si la droite donnée est représeolée par l'équation x ct>6a.-i-y sin a — p = o, on a pour la perpendiculaire
„ x'eos a-|-v'sin a — p . , , , , ,
P = ^ = ± (x' cos a -)-y' sin a ~ p).
j/cos' « -J- sin' a
Donc, «I on subêlilue dans le premier membre de l'équation de la droiie X cos a-}' y sin a — p := o les enordonnées d'un point ^[x\ y'), on obtient une quantité x' cos a -\-y' sin « — p qui mesure la distance de ce point à la droite.
Pour attribuer des signes différents à la perpendiculaire suivant la position du point par rapport à la droite, il faut remarquer qu'avec x'=o et y' = o, on a : x' cos « -j- y' sin a — f = — p. La distance de l'origine il la droite est négative; il faudra regarder, comme négatives, les perpendiculaires qui se rapportent aux points du plan situés du même cdté de la droite que l'origine; car la fonction x cos a -(-y sin a — p est contioue;
D,gnz.dbvC00gle
.elle reste négative jusqu'à ce que le point H arrive sur la droite; elle passe «lors par o et devient positive par un point situé au-delà. Lorsque les axes sont obliques, la distance
P = / {a:, — X')' + (y. — y')' + 2 (x, — X') (j/, — y') cos 6 se compte sur la perpendiculaire qui a pour équation
y~~y' .__... 3= — a:' 1 4- m cos e m + cos 9 ■
De U, on aura comine tantôt les relations
y —y' ^—{X'-x') ^y~y'~~m(x^x') — y'+mx'+y—mx i-{-mcos6 m-J-cosO 1 4-»»'+ 2W» cos 9 i -j- m' -{- am cos 6 ' et, pour le pied (xi,yi) de la perpendiculaire,
- m cos 9 m + cos 9 i + m' -f- zm cos 9 En substituant les valeurs de x, — x', yi — y' lirces de ces équations dans le radical, on trouve, après les réductions, p ^ j. (y' — mx' — b) sin 9 (/ I + m* -H 2m cos ô Cette valeur de P est aussi proportionnelle à la quantité y' — mx' — b,
Bemarque. L'expression de P pour ta distance d'un point (x, y) k une droite est de la forme
P = p(Ay + Bx + C) avec des axes obliques et rectangulaires, p étant une constante qui est la même pour tous les points du plan. Menons, par le point M, une oblique jusqu'à sa rencontre avec la droite; soit ^ l'angle qu'elle fait avec celleci; la distance P* du point h la droite suivant cette directioa est égale à P divisé par sin <f>. Nous aurons encore
I" = P'(*Ï + B»+C), p' étant une nouvelle constante.
Cela étant, supposons que l'on veuille opérer une transformation de coordonnées en prenant les droites
(O'Y') Ay + Bx + C = o, (O'X') A'y + B'x + C = o pour les nouveaux axes, la première pour axe des y', la seconde pour
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ase des x'. Les coordonnées nouvelles sont les distances obliques d'uo point il ces droites; on aura donc
x- = p' {Ay + Bi + C), y' = p" (A'y + B'ar + C)
ou, en posant : 0= — ) »'=— -i P C
ax' =Ai/ + Bx + C, a's' = A'y + B'a; -f C. Quand les nouveaux axes sont rectangulaires cl passent par l'origiDe, on a simplement
<rx' = Ay 4- Bx, n'y' = By — Ax. Il faudrait résoudre ces équations par rapport à x et y. Il est inutile de le faire dans la plupart des cas : on les emploie généralement soos la forme précédente pour simpliGcr les équations. Ex. 1. DisUDM du poÎDt (— 1,3) à la droite z-l-3y — 5^=0.
Ex. a. BisUncesde l'origiDeaiu droileï Ay-t-Bc-i-C^O et — t-^^i.
Et. ». Trouver les équations des bissectrices d'un triangle dont les câlM sont : Ay -+- B« + C = o, A'y -t- B'» -t- C = o, A"y -f- B"x 4- C" = o.
|/ÂM^ 1/ A" -I-B'' p' A"« -•- B"'
on aura pour lea bUiectriaei ialdrlenrei, l'origiae dtant diiii le trîaDgle,
A (Ay -»- B» -t- C) — *' (A 'v + B"* + C) -sO.
i" (A "y + B"b ■+■ C") — i (Ay -t-B» -i-Q =0.
Ces droite* concourent en un même point; la somme des ëqualiput donne 0 = 0.
Ex, é. Trouver les coordonnées des pieds des perpendiculaires ibeisséei du point Il («', y*) sur les droite*
Ay + Ba-i-C = o, »cosa + ysin« — ;^o.
, A{Aif'-*-Bi»'+C) , B [A/ -H B*" + C)
"■ "=' ÂMTBi ' ' = '^ ÂM:!! •
y — y'4-sina(p— «"cosB— s'sina), x = x' -t- coia{p.~ b" coia — y' âaai-
D,gnz.dbvC00gle
Ex. ■. IMtcrminer l'aire d'un irEangle en foDClioD des coordouDëes dea somineK. SoieDt A(c',v'), B{x'',y"), C(ii'", ff"') les sommets et S le snrfitee du triingle. Oi sait que aS ^ BC X ^> ^ ^t">t '* perpendiculiire abaissée da tonnnet A sur BH. Or,
eij/" — ti"') — y'lx"—m"')+y"' a"- X-" s"
=»/(«"- OM-(F"-v"T, P = -
l/(«"-«,-")'-(-(/'-/'7 par anile, il viendra
2S = «' (y" — y"') + m" {*/'" — y') + *'" {s'— y"], ou bieD
38= I «' ï' II.
Dans le eu pvtlenlier où le sommet («''', y"') est l'origiDet cette expression si
Quand les ixes sont obliqDet, il hul multiplier le délenniDtnt par sin t. Ex. •- Trouver la snr&ee d'un triangle dont les cités sont repràentës par les équations
Ay + Bac + C = o, A'y -h B'« + C = o, A"y -t- B"x + C" = o.
11 but ehercher les coordonnées des points d'intersection de ees droites prises deux ï deux, et Ie« substituer ensuite dans l'expression précédente. On trouvera
