SI

L'(!quatioD {jénérale du premier degré'

Ay + ftr + C = 0, dans laquelle A, fi, C sont rëeU, représente une droite, lieu des points réels du plan dont les coordonnées satisfont ii l'équation; mais celle-ci est aussi satisfaite par une infinité de valeurs imaginaires de x et de y, et on peut dire que cette même droite renferme une infinité de points imaginaires.

Soient a -{-a' |/ — i et 6 -f- 6' (/ — i un système de valeurs propres à satisfaire à l'équation; on aura

A (6 + y ,/rrr) + B (a + a' v/=T) + c o, d'où

(*) A6+Bo-l-C = o et A6' + Ba' = o.

Les nombres (a, 6), {a', b') des coordonnées imaginaires correspondent toujours à deux points réels, dont l'un est sur la droite Ay -l" ^^ ~i~ ^ =^ ^ et le second sur Ai/ 4- Bx = o.

Les relations (k) permettent de cslenler les rapports p et - qui entrent dans l'équation de la droite passant par un point imaginaire donné (a -f- a' ^^'--^ b-\-h' \/ — i). On aura seulement un système de valeurs pour ces inconnues : donc ■'/ n'y a qu'une teuU droite réelle qui passe par un point imaginaire.

4S. L'équation

(A + A' |/:r7) y + (B + B' i/ITT) « + C + C /="i = o est dite l'équation générale d'une droite imaginaire. Si on groupe les termes réels et ceux qui multiplient |/— i, elle prend la forme Ay + fi3: + C + (A'y + B'3: + C')l/:^ = o.

On peut satisfaire k cette équation par un seul système de valeurs réelles de x et de y données par les équations suivantes :

Ay4-Bx-l-C = o et A'y-f-B'x-}-C' = o.

Donc, toute droite imaginaire poste par un point réel du j^an tt un seul.

D,gnz.dbvC00gle

Deux droites imaginaires soat'^conjuguées, si elles ont des équations de la forme

(A — A'(/^^)y + (B — B'i/^3:4-C — C'/^^ = o. Si on écrit

Ay + Bz 4- C + (A'y + Wx + C) j/^T = o,

Ay + B* + C-{A'y + B'x + C'}(/^ = o,

on voit qu'on satisfait à la fois bus deux équations en posant :

Ay + Ba; + C = o et A'y + B'i + C = o;

celles>ci déterminent un point réel commun aux droites. Donc, deux

droites imaginairei conjuguées ont un point d'ùilersection réel.

Les points et les droites imaginaires ne peuvent pas se construire géométriquement; mais il est avantageux et nécessaire de les introduire en géométrie, pour interpréter certaines équations et donner à l'éuoncé d'un théorème toute la généralité possible.

44. Il arrive quelquefois que le premier membre d'une équation r(x,i/)^ode degré supérieur se décompose en un produit de plusieurs facteurs du premier degré en x et y; l'équation est alors satisfaite en posant chaque facteur égal à zéro, et elle représente un système de droites réelles ou imaginaires.