Considérons, en premier lieu, l'équation du second degré
Ax*-f Bx + C = o.
Si on désigne par a et 6 les deux racines de l'équation x' -)~t ^ H~T
= o, la première peut se mettre sous la forme
On y satisfait en posant : x — a==o,x — b = o. L'équation proposée
se partage en deux autres du premier degré et représente deux droites
parallèles k l'axe des y. Ces droites sont réelles cl difFérenles si B' — 4AC
> o, imaginaires si B> — 4AC < o, et elles coïncident lorsque B* — 4AC
^ o; car ce sont les conditions pour que les racines a et b soient réelles
et différentes, imaginaires et égales.
D,gnz.dbvC00gle
L'équatioo du degré m
doDDe m racines réelles ou imaginaires a, b, e, d.., l; on peut écrire (x-a){x-6)(x-c){x-rf)...(i-0 = o.
D'où on tire les m équations
x^a = o, X — 6 = 0, X — c^o,..., X — 1^0, qui représentent m droites réelles ou imaginaires parallèles à OY. De même l'équation
y- + B,y— <H-B.y— 'H hB-.y + B. = o
définit m droites pamllèles ii l'axe des x.
Donc toute équation du degré m, qui ne renferme qu'une coordonnée, représmUe m droites rieUes ou imaginaire» paratlèlet d ta coordonnée qui ne se trouve pa» dam l'équation.
M. Soit maintenant l'équation homogène du second degré Ay' + Biy + Cr' = o, c'est-à-dire, une équation où la somme des exposants des variables x et y est égale à 2 dans chaque terme. Si on la divise par x*, on a
En regardant— comme l'incoaaue, l'équation a deux racines a et 6, et elle se transforme en
k('^ — a\(^ — bj = o ou A(s — ax)(y — 6x) = o.
On y satisfait en posant
y — ax = o, y — 6x = o ;
l'équation proposée représente deux droites qui traversent l'origine. L'équation homogène du degré m est de la forme
y- + A.y--'x + Aiy"-'x' H H A.(yx— ■ -j- A»!- = o.
En U divisant par z~, elle devient
D,„„.db,Coogle
Soient a, b, c,..., l, les m racines de l'équatioa résolue par rapport à - ; DO pourra remplacer l'équation donnée par les m équations
y — ffx^o, y — bx = o,,..,y — tr = o, qui donuent m droites passant par l'origine.
Donc toute équation homogène du degré m représente un tystéme dt m droilea iêêues de l'origine.
4T . Trouver Sangle des deux droites de l'équa^n Ay'4- Bxy+Cx*=o. Les équations des droites étant t/ — ax = o et y — 6x^=0, on a:
tang f = 7; mais a et 6 sont les racines d'une équation du
second degré, et on doit avoir 0 + 6 = — -i a6 = -. D'où on tire
a — 6 sa ^/^a 4" 6)' — 406 = ; en substituant, on trouve
Ung9 = |/B'-4AC A + C Les droites sont perpendiculaires si A-|-C=o, et parallèles si B* — 4AC = 0; mais comme elles passent par l'origine, elles doivent coïncider dans ce dernier cas. Avec des axes obliques, la condition de perpendicularitè serait ; A + C — B cos 9 ^ o.
4S. Chercher l'éqvation de» bisiectricet des droites reprisetOées fur Ay* + Biry4-Cx» = o.
On sait que les bissectrices des angles des droites y — ox = o, y — bx = o sont représentées par les équations y—ax y -
En multipliant membre b membre, il vient
(y — ax)* (y — &J^)'__ ,+a» 1+6'
Après avoir cliassé les dénominateurs, on trouve l'équation do second degré
(a + 6) y' + aary (i — ai) — (a + 6) X* = o
D,gnz.dbvC00gle
— ss —
qui reprëeente les bisscctiices. Si on substitue à valeurs, elle devient
Les bissectrices existent toujours, même si B* — 4AC < o, ou lorsque
les droites proposées sont imaginaires; car, si on pose z=- > l'équation
B toujours des racines réelles.
