Trouver la condUiott pour qut l'équation du tecond degré
Ay* + îBxy + Cx* H- aDy + aEï + F = o
repritente deux lignes droùe».
En résolvant l'équation par rapport k y, on obtient
y = 5î±±i(/(B> — AC)i« + 3(BD — AE)a; + D« — AF.
Pour que le second membre soit du premier degré et de la forme mx 4- b, il faut que le polynôme sous le radical soit un carré parfait, et que l'on ait la relation
(BD — AE)' = (B» — AC) (D*— AF), ou bien
ACF + 2BDE — AE' — CD» — FB' = o.
Les deus droites dt et et que représente l'équation du second degré, lorsque la condition précédente est satisfaite, sont parallèles ans droites Di et Bipassant par l'origine et données par l'équation Ay*+2Bxy4-Cx*=o. Eo effet, soient ^ et A les coordonnées incooDues du point d'intersection de Si avec j,; transportons l'origine en ce point sans cbanger la direction des axes. Il faut remplacer x par x'-^geti/ par y' -^ A; après la substitution, l'équation devra se réduire à
Ay" 4- sBi'y' 4- Ci'* = o; car les coeflScients des termes du second degré conservent la même valeur, et les droites dt et 3% passant par la nouvelle origine sont représentées par une équation homogène du second degré eo x' et y'. Donc, les droites
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i, et St issues de la nouvelle origine sont parallèles aux droites Di et D* issues de l'origine primitive, puisque l'équation est la même en faisant abstraction des accents donnés aux coordonnées nouvelles.
La fonction des coefficients qui, égalée a zéro, exprime que la courbe se réduit à deux droites, est du troisième degré par rapport h ces coefRcients; elle joue un rôle important dans la théorie des lignes du second ordre. Il est utile de remarquer qu'elle est égale au déterminant symétrique
c'est-à-dire au discriminant de la fonction
f(x,y,z) = Ay» + 2 Biy 4- Ca:' + 2 Dy« H- a Ezx ■+- Fc* ;
car, si on forme les équations dérivées, on trouve
r. = 2(Cjc+By + Ez) = o,
/; = 2 (Bx -1- Ay -1- Dx) = o,
/; = 2 {El + Dy + Fx) = o.
Le déterminant de ce système est précisément celui qui précède.
Ex. i. Que repréMiUent les équations : [i) «> — y' = o, (s) a^ -»- y* ^ o, (3)^ — o»=o, (4) y' -H 4a!y + 4** = o, (5) y' + 4«y -t- 3»* = o? R. i) Les tùssecU-ices des aseï y -f- > = o, y — (i := o, 2) Deux droites inuginaires
f—»\/^^=o,94-my^=o.3)Letàj<ùte»K~a=o,»—a( — ~^ f^"'
4) Deux droites qui coînddeDt, y -t- 211^0. s) Lm droites y-|-3x:=o, y + e^o. Ex. ». Que faut-il pour que les deux droites imigintirei
(A + A'l/^ï + (B + B'ï/^«-*-C-f-CV^T=o.
■ieD( un point réel d'inlerseetion ?
R. Les droilssAy-t-Ba:-»-C=o,A'y-l-B'«-t-C'=0,ay-l-{i«+e=O,a'y-<-fc-He'=9l doivent coueaarïr en un même point.
El. I, QaeUeTtieur fsul-il donner à Jidsng l'équation B*+Jiy*-l-3asr-t-»-t-ji — i=a) pour obtenir deni lignes droites?
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Ex. 4. Que représente l'ëqlididii
(,A)- + A.{«-A)'-»(y-t) + A,(»-A)»-*to-*)'-*--A-(y-*r = 0? R. Un système de m driHles qui passeol pir le point (A, I).
§ 4. LIEUX GÉOHfiTRIQUES.
AO. Les principes de la géométrie analytique donneDl une méthode uniforme pour la recherche dea lieux géométriques, en exprimant par une équation la relation qui existe entre l'ordonnée et l'abscisse de chaque point; la nature de cette équation indique celle du lieu demandé. Dans les questions de ce genre, il est important de bien choisir les axes pour simplifier la suite des calculs ainsi que le résultat final. Comme nous l'avona déjà fait remarquer, il est souvent avantageux de seservir d'axes rectangulaires. S'il y a des droites données, on les prendra de préférence pour les axes; de même, lorsque deux points sont connus d'avance, on fait passer l'un des axes par ces points, on place l'origine au milieu, etc.
El. a. Trouver le lien des poinls tel» qne ta diSërence de lears dislaneet 1 deut droites (iies est coDStonte et égale à k.
Les deui droites fiies étant prises pour axes des coordonnées, soil 9 («, jr) on point
dn lieu ; on a, d'après la Ggnre,
MP=:ifsine, MQ = «sinO;
l'équation cherchée aéra
k y = aH — r-:uni
C'est un« droite ptrallèlc a la bisseetrice des axes; pour k = a,(iii»ims = x. . '*'
Ex. •. Lieu dea points dont la somme des distances à deux droites fixes est conslaitte.
Ex. M, ÎÀta des points dont le rapport dea mêmes distances est constant. R. y = *,».
El. 4. Un point se meut dans nn plan de minière que la dilTéreace des curés de tes distances s deux points fixes est constante. Quelle ligne décrit ce point?
Soient F et F' les deux points fixes; prenons pour origine leur milieu, et, pour axa des z, la droite qui les joint. H {se, y) étant un point du lien, on trouvera facilement, avec des axes rectangulaires,
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a est la moitié de la distance FF'; n on reprcscnlc par k* 1* ConsUnU, od h l'équation du lieu demiodë,
Le lieu est donc une droite pcrpeDdieuIiire 1 FF', et lito^ k une di>tuic« — du milien das points fixes.
Et. •■ D'un pMDtU on ■buisclespcrpendieQlurctHPetUQsurdeuxdrMlMriiet; quel est le lieu des points H tels que OP+OQ=fi
Ont
OI> = x + ycose, OQ = v + zcojS.
Ex. •. Dans la même hj^lhèse, trouTer le lieu des points tels que la droite PQ reste parallèle à une droite fixe.
R. z + y cos 9 = i (y + * ces S). Ex. V. On donne une droite K et diux points fiici 0 et 0' sur cette droite. D'nn point H on mène, sous des inclinaisons données, les droites MB et HC. TrouTer le Ben des points H tels que~-^ k (const.).
le point 0 étant pris pour origine, 00" pour axe de y, les deux droites HC et UB ont des équations de la forme j/=m,x+fi„ y = mi«-l-h;ai, et mi sont donnés.
Hais OC = ^i, OB = ja,i d'où 0'B = ii — ^t, d étant la dislance des points fixes. On a donc la relation
Si on substitue à ^i et ^ leurs valeurs y — m,> et y — mpi, on trouve pour l'équation du lien
(i-t-*)y-KH-«,*)« = W.
Cest une droite qui rencontre l'axe des y an point dont redonnée est y = r ■
Sii=l,y = ^.
SI . Lorsqu'une ligne est mobile dans un plan, son équation renferme au moins un paramètre variable qui prend une valeur dclemiince pour chaque position de cette ligne. Il arrive souvent que tes points d'un lieu géométrique sont déterminés par la rencontre de deux lignes variables de position ; on a alors k eombiocr des équations dans lesquelles entrent
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certains coefRcients iodéutrininés. Il est nécessaire, daos ec cas, de trouver des relations en nombre suflîsant pour éliminer (eus ees paramètres, et arriver à une «Jqualion qui ne renferme plus que x et 1/ avec des quantités données; eelle-ei éUnt satisfaite, quelle que soit la position des lignes mobiles, sera l'équatioD du lieu géométrique eherebé.
A9. ^tonl donné un angle XOY, 0» mène deux géeantes queleonquet PBA, PDC; (routier le lieu du point cfinfersection des droites AD et BC.
Soient (—a,b) les coordonnées du point P; les sécanlfli auront pour équation (PA)y 6 = î,(x + a),(PC)y-6 = X'(x + a).
Si on bit successivement x = o et v = O1 on
fit- H.
trouve
0B = 6 + ;ia, 0D = 6 + i'a, OA = -^i^, OC ^1^/'";
les équations des droites qui se coupent au point M seront
^ 'b + ra ia + b~'-
Les coordonnées du point H satisfont a la fois à ces deux équations quelles que soient les valeurs des paramètres X et A' ; il reste à éliminer ces derniers; on y arrive facilement îei en retranchant les équations membre k membre. En effet, on a :
^{):^^+i-Trfi)+^\w+b~)^+b)^°'
ou bien,
«y U-ÀO + fta: (>'->) =
et, finalement,
ou — 6x = 0.
■^ lieu cherché est donc une droite qui passe par le sommet de raii};le fixe. La droite OM est appelée la polaire du point P par rapport à l'angle YOX, et le point P en est le pôle.
La droite OP est représentée pary ^= x, ouay-|-6x = o. La polaire
d'un point (xi, i/i) de cette droite a pour équation Xiy-f-yix = 0, ou
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— (iO —
bien, CD remplaçant t/i par Xi, ay — bx = o; ainsi, tous les points
de U droite OP ont In même polaire.
Réciproquement, un point quelconque {c, d) de OM a pour polaire la droite OP; car l'équation de la polaire du point (c,d) est cy-^dx^o%
mais le point (e, d) étant sur la droite OM, on a : arf — 6c = o, ou - = -^ ;
çt l'équation précédente devient ot/ -j- 6x := o qui représente la droite OP.
CI. Soient alinéa «n atiglê LOS et deux pointa fixe» P e( Q en Ugite (jrwfeatJW jf point 0. On mène d'un point fixe R une aéeaate quelconque tt d'intersection des droite» PA el QB.
Soit 0 l'origine ; prenons la droite PQ pour axe des x et OL pour axe des y. Posons OP = a, OQ = a' ; on a pour les équations des droites qui se rencontrent en H
(PAly = X(i + «), m)y = i'[x~a'U où ). et i.' sont des coeificients variables. De Fig. c plus la droite OS a une équation de la forme
y^kx, k étant une constante donnée. Si on cherche les coordonnées des points A et B, on trouve
l'équation de la droite qui joint les points R (p, }) et B sera donc
En exprimant que le point A se trouve sur cette droite, on a la relation
aa - q) [k'a' -p{\'~k)]. p [A^'a' - 7 (>' - k)] ;
ou bien
lo[(a'-f)J'+pt]l'a'[j-*ri.
Enfin, après la substitution des valeurs de X et X' tirées des équations (PA) et (QB), on trouve pour l'équation du lieu
— (il —
o'ot donc UDC lignu droite. Il scrnit facile de prouver que cette droite [lasse par le point N, intersection de PR avec OS, ainsi que par le point de concours des droites QR et OL.
Lorsque le troisième point fixe R se trouve sur la ligne des dcuK autres PQ, on a 9 =^ o, et le lieu est alors une droite qui passe par le sommet de r.-ingle Ose et dont l'équatioa est
Dans cette hypothèse, le triangle ABM se déplace de telle sorte que deux de SCS sommets A et B parcourent les droites fiies OL et OS, tandis que ses cAtés passent respectivement par trois points fixes P, Q, R en ligne droite; pendant ce mouvement le troisième sommet décrit le lieu de l'équation.
Si l'on troitait le problème dans le eas de la fig. 34, où le point One se trouve plus sur la ligne des points fixes, on trouverait aussi que le troisième sommet M f1|. ».
du triangle mobile décrit une droite qui passe par le point d'intersection des droites fixes OL et OS.
On peut étendre la propriété précédente à un quadrilatère variabtc ABCM {fig. 25), dont les côtés passent par les poinU donnés P.. P„ Pi, P* en ligne droite, tandis que ses sommets A, B, C glissent sur les lignes fixes Di, Dt, Di; dans ces conditions le sommet libre M décrit une ligne
En effet, les trois côtés du triangle BEC pendant le déplacement du quodrilnlère, pivotent autour des points P., P], P* et les sommets B et C restent sur les droites Dt et Di;donc, pi|. »
le sommet E décrit une droite qui passe par le point If, intersection de D( avec Di. Cela étant, le triangle AEM a ses trois côtés qui passent par Pt, Pt, Piet deux sommets A, E, qui glissent sur les droites fixes D| et EH; donc pendant le mouvement du quadrilatère le sommet M doit décrire une ligne droite.
En passant du quadrilatère au pentagone cl ainsi de suite, on arrive à
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ce llicorcmc genvrol : Si les n eûtes d'un polygone jiivolent autour de n pointa fixes siluéi en ligne droite, pendant que n — i sommets glitsent sur n — I droites fixes, le sommet libre décrit une ligne droileii).
Ce tNorèoie donne le moyen de résoudre cette question intéressante : Étant donné un triangle tel que ODC (fig. 24), lui inscrire un triangle dont les côtés passent par trois points fixes P, Q, R en ligne droite. On iroagioc un triangle variible ABH dans les conditions indiquées préccdcmmeat ; le troisième sommet décrit une droite qui rencontrera le càtë CD en ud point M; la position ABH du triangle mobile satisfera à la question. En étendant cette solution successivement au quadrilatère etc., on a un procédé géométrique pour inscrire k un polygone de n cdtcs, un autre polygone d'un même uombre de ciVtcs passant par n points fiscs en ligne droite,
Xxaraloea but 1* Uga» droite.
: Ex. a. DisUncg cotre deux lignes paiillèles Ajr-^B«-t-li^o, A'jr+B^«-t-}i = o,
Ex. «. Droite puum pir l'origine et pcrpcodlcnlaire i la ligne qui jmdI lef pointi (o, J), (o', *-).
R. (o-it')« + {* — 6')y = o.
Ex. S. Droite paHuil par lea poinli (t/,p'), («t",p").
R ^ P'f>"»ia {<-"-"')
p'tin(tt — u') — p"iiaitt—»i")
El. 4. ADgledefdroile«:0=3T ^■-. — ( p = tt sr-- — •
" ' A rni u ■!- R *in u '^ A ' ma u ■4. Ir «m u
AA'-t- BB'
Ex. t. Si 1 cil un cocOlcienl indéterminé, que rcpréscoleot les cquitiont
AcoiM-f-Bsinii '^ fi co» u — A lin w
(Ij Ce ihcorcme est une couscqucDce d'une proposilioti plus gcnëralcdueè Htc-Lautlo le npportinl bu lieu décrit par le somnicl libre d'un polygone, lonqne les points fixes on pôlci ne «ont pus en ligne droite : Pokcilit, Propriiléi projrelivtt de* fi/nret, tomeJ, p.SSl.
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Ex. • Surface du triangle fonllë par les ligDM (..■<-.)■
El, t. Aire du parallélogriiiiine dont les eàtéa ont poor équations
A* + By + C = o. Ai + By -t- C = o, o* + 6y + n = o, m -»- ty + r* — o. <C-C'U'-0 «■ . A6-Ba
Ex, a. Interpréter r^ation lia 3 «^o.
R. Elle repréMDte les lignes h^o, ti^~< u= — •
Bi. ». Que repr^enteot les Rations P-t-lQ^o,? — 1Q = C, PetQ élinl des ptdynËmes do premier d^ré en» et y?
Ex. a». Un point H se ment de manière que la somme des carres de ses distaneei i deux points (f„ yi), (^, yi) soit égale i la somme des eirrés de ses dif lances à deai antres points (x*, yj, (xt.yi); montrer que le lieu dn point H est la droite «(ir,-»-!,— i,— «j)-*-ay(y,-|-yi— y.— yj)=»i'-t-«i'' *j'— a!«'+Vi'+J'i'— y.*— Vi'-
Sx. 11. Qusml une droite so déplace de maniire que It somme des réciproques des segments qu'elle détermine sur les axes est conslanle, elle passe par un point llxe.
Sx. f •. Sor les câtés d'un triangle pris comme diagoualei, on forme des parallélogrammes ajint leurs calés parallèles ï deux lignes fixes ; montrer que les autres diagonales passent par uD même point.
Ex. ±B. Dans tout Irapèie, la ligne qui joint les milieux des diagonales est parallèle ■nx deux bases.
Ex. té. Le milieu de la droite qui jmnt les milieux des diagonales d'un quadrilatère est le centre des moyennes dislances des quatre sommets.
Ex. ■•, Si AL, BH, CN sont les perpendiculaires abaissées des sommets sur les câl^ BC, CA, AB d'un triangle, montrer que les droites HN, NL, LU rencontrent les edtcs BC, CA, AB en trois pdnts en ligne droite.
El. <•. Dans tout triangle, le point de concours des hauteurs, le point de concours des médianes, et celui des perpendiculaires élevées sur les milieux des câtés sont en ligne droite.
Ex. la. Dans nn triaugle OAB, ou mène une parallèle DE i la base AB; trouver le lieu du point d'intersection de BD avec AE.
Soient OA eL OB pris pour axes et a = OA, A = Ofi; la parallèle détermine sur les axes des segments proportionnels i a el b. Posons OD^/ia, OE^=^b; les lignes qui déterminent le point du lieu seront
D'au, en éliminant ^i par la soustraction,
le lieu est une droite qui passe par le milieu de la base' du triangle.
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Ex. -18. Trouver le lieu des centres des rectangles inscrits dins an triangle donne.
Menons la hauteur CR du triangle; prenons cette droite poor aie des y et Rfi [loor
axe des z. Si on pose(i;^RA,a' = RB,CR ^p, les équations des câtés àa triangle
La droite DEpartlIèle à la base est représentée par y s;;!, où /i est indctenniiié. En remplaçant y par /i dans les éqoalioiu préeédcotes, on Irouvera
a = RP =
Or, l'abcisse du point H est évidemment la denù-somme des valenrs qu'on Tient d'écrire, c'est-à-dire, a: = ( i ]; d'an
autre cdte l'ordonnée du même point est- ft; d'rà Il =r zy. L'équation du lien sera
Ex. !•. Mener dans an plan une droite telle que U samme des perpendicoUirea abaissées de m points sur cette droite, iDul:ipliécs respectivement par les constantes kt, *„»,...*■ soit égale èïéro.
Prenons pour les coordonnées des points (»i,Vi), («i, Va),— ('■» ynji et poar l'équation de la droite
On a la condition
t,(9,cosa+v,sina— p)-hil>(i'a«Osa-t-]FiSinK— p)-f— -l'M««<M* + ir.tinB— 1()=4>;
ou plus simi^ement
COI a liis, •¥■ tin K Ikn/, — p 2*1 = O, dans laquelle ZJt,iisiliXi + it*s-i-"- JUim ^iVi = ^iTi-^-" ■*■ l'mjim et ^i^ *. -h *.+ •■■ t-
Si OD tire de cette relation la Taleur de p pour la substituer dans l'équition de la droite cherchée on tronve
alk, ~ Ilix, -h [>£*, — »4ri] tang s = 0 1 équation qui renrenne encore un coefficient incoonn a. Il y a une inCnilé de droites qui répondent i la question et elles passent pon un point Gie dont las coordonoées sont ;
> = —'—, y = ''^' ■ Ce point est le cenlre des dbtances proportionnelles des
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Ex. M», EUnt àoBoie» d«ai droitea, on hit tonrnar mMur d'un point Bie une sécante qui, dms une certaine position, ree contre les droites ini points A et B. On
(veod lur U tétanie une loDgueur OM, telle que l'on ait: 777:^777 ~^itï^* Trouver
le lien du point H.
PrenoDi la poiilioD primitiTe de la sécante pour aie pdtire et le point O pour pdej les droites données ont pour équations
p, = p cos (h — a J, Pi = p cos (m — et,) i mais, en développant et désignant par a,, b,, oi, bt des eonttanles, on peut mettre ces équations sous la forme :
-=:a,c«su-f-A, sinti, -^b.cm » + bi*în ti.
L'4i|iMlian du beu sera
- = K H- a») M) » -I- (ft, -(- 6,) »in a.
Si l'on avait «dignes droites, le lieu d'un point M, tel que l'on ait :
m~ôâ"*'ôb"*"ôc"*""'
serait la droite de l'équation
Zoiisa, + ai + ■■' <'tn ^li,:=ài-\-bt-t- — ■*■ b^.
PoncELET, danj son Titsiti dtt propriitii jtrojactivt* deë figure», tome II, (S, s'est occupé de la relation qui précède ponr généraliser, d'après les principes de projection centrale, ta notion du centre des moyennes distances d'un syslème de de point! donnés.
El. SI. Lien d'un point tel que la somme de ses distances t m points donnés soit égale à la somme de ses distances b m autres points fixes.
Ex. ■«. Dans un parallélogramme ABCD, on mïne une droite PF parallèle i AB, et une droite QQ' parallèle h BC. Qnel est le lieu do point d'intersection des droites Wî. P'Q ■
Ex. «a. Étant donnée la base AB d'un triangle et la relation : cot A H- m col B = i, troBTi^ le lieu du troisième sommet.
Ex. «4. Étant données m lignes a, b, c,... t, chercher te lieu d'un point H, tel que la somme des aires des triangles ayant ces lignes pour buet et le point H pour sommet cnmman soit égale i m'.
Ex. t«. Étant donnés deux points A et B, l'un sur OX, l'antre «nr OY, on prend deux antres points A' et B' tels que l'on oit rOA' -(■ 0B' = OA 4- OB. Trouver le lieu du point d'intersection des droites AB', BA'.
D,„„.db,Coogle
Ex. ••. tt wmiDe det perpendicultirM ibuttéBi d'un point quelconque prit dw* l'intàîeur d'on polygone régulier sur lei e&tét est coustautE. Si le pdjgoae e*l nn triangle équilaténl, celte gomme est égale i I* baulenr du Iriangle.
Ex. S9. Dans tout polygone fermé, la somme algébrique des produilt de chaque câté par le sinus ou le cosinus de l'angle qu'il fait avec une droite quelconque est anUe.
£i. >S. Par un point donné, mener une droite qui fasse dee angles ^ui avec deux droites données.
Ex. 99. Mener une droite qui dirise un triangle en deux parties éqnirtleDles.
Ex, s*. Trouver un poiol, dans l'inlérieur d'un triangle, tel que lei droites qui le rdunissent aux Mmioets déterminent trois triangles équivalents.
Ex. M. Ëttnl données denx droites, mener, par un point, une droite qui détermine sur elles, k partir de leur point d'interseclion, des segments dont le rapport soit égal à une quantité donnée.
Ex. W9. Partager nn triangle en denx parties dans le rapport de m : m, par une droite menée par un point donné.
Ex. sa. Par tu point donné, mener une sécante qni, par sa rencontre aTW denz droites fixes, détermine on triangle d'une aire donnée.
Ex. mé. Étant donné un angle BOC, mener, par un point A, une sécante qn rencontre les cAtés en des points H et N tels qne le produit AH-AN tait minimum.
Ex. as. Sur deux droites rectangulaires OX, OT, on construit un rectangle ivriaUe OABC d'un périmètre donné; montrer que la perpendiculaire abaissée dn sanimet C sur la diagonale AB passe par un point fixe.
Ex. ■•. Étant données cinq droites, on en prend quatre pour former nn quadrilatiic eomplet dans lequel les milieux det trois diagonales sont en ligne droite; les ônq droites analogues dans les ciuq quadrilatères que l'on peut former avec le* droite* données passent par un même point.
Ex. Sf . Etant données quatre droites A, B, C, D, on «n prend trois poor formv un triangle dont on construit le point de concourt des hauteurs. Les quatre points aimi obtenus sont en ligne droite.
Ex. M». D'un point II ifig. 30) on abaisse les perpendiculaires HP, HQ sur deux droites fixes ; trouver le lien dn milieu de PQ quand le point H décrit une droite donnée.
Ex. S». Dans nn triangle ABC, on donne la base AB et la tomme h des denx antres cités ; du sommet C, on tire la bauteur CP sur laquelle on prend une longueur PK égale à l'un des câtés du triangle. Trouver le lien du point H.
Ex. «•. On a nn triante ABC dont let ettét variables AC et BC rencontrent sns pdnts H et N une droite donnée FG parallèle 1 la base. Trouver le lien décrit par le
PH point C, lorsque j^q = *-
Ex. «fl. Sur la base AB d'un triangle ABC on prend les longueurs AR et BF
telles que ronait--=-=Km; on tire ensuite, par les points K et F, det droite* parallèles
i une droite fixe; soient G et H leurs points de rencontre ivee iC et BC. IVoutw le lieu du pùnt d'intartectioD des drntes BA et GB.
D,gnz.dbvC00gle
Bi. «t. Soient A et B deux poiiitf fixes ; pu la point B, on mène uni droite qoeleonqoe, et, pir le point A, la perpendicnlure AP i celte droite; on prend ensuite inr AP tm point H lel que AH.AF = conituite. Trouver le lieu du point H.
Ex. «a. Cn triangle OAB dont le gommet O eit fixe tourne autour de c« point en Tarianl de gnndiur naît en restant semblable à lui-m^me ; si le sommet A décrit une drale, tjael sera le lieu du sommet B?
Ex. 4M. D'un point donné, on mène des droite* k une ligne donnée, «t l'on partage cet distances en deux parties suivant un rapport donné. Trouver le lieu des points de firidon.
hi. «». Étant donné un angle XOY, on mène, par un point H, deux dnntes aux lignes OX, OY, chacune soua un angle constant; soient P et Q les întcrMctions des
drates; trouver le lieu du point M, quand Ti^=^ i (const,).
Ex. <•. Etant données trois droites qui concourent en un même point, bvuver le liin des points tels, que si l'on mène de chacun d'enx, sous une incUnaisoo donnée, des sécantes aux lignes droites, la distance entre ce point et la première droite soit égaie au produit des dislances du même point aux deux antres,
Ex. «s. Étant données qnatre droites qui passent par nn mjme point, trouver le lien d'an point Ici que, menant de ce point une sécante qui rencontre les quatre droilei, la somme des distances du point d'où part la sécante et ceux o£i elle rencontre les deux preauèreg soit égale k la somme des deux autres distances analogues.
Ex. «S. Les s<anmets d'un triangle glissent sur trois droites Gies OA, OB, OC qui concourent en un même point ; si deux cttés AC et BC passent chacun par on point fixe, le troisième cdlé AB tournera aussi autour d'un point fixe.
Ex. 4*. Étant donné nn polygone de i» câtés, si on le déforme en faisant glisser ses sommets sur « droites qui concourent en un même point, tandis que m — i de ses côtés pivotent autour de m — I pointa fixoa, le m''» cité tourner* aussi autour d'an point fixe.
Ex. >•. D'un point H, on mène, sous des inclinaisons données, deux sécantes qui reneoatrent une droite fixe XS' aux points C et D ; trouver le lieu dn point H tel qne le rappmt des segments AC et BD eomplés sur XX' a partir de deux points A et B soit eonttant.
Ex. ftl. Lorsque deux triangles sont tels que le* perpendiculaires abaissée* des sammets dn premier sur les eâtés du second passent par un même point, réciproquement, lea perpendiculaires abaissées des sommets du second sur les cotés du premier passent aussi par un même point.
Ex. m». Etant donnés m pomt* Ai, Ai, , A. sur une droite et nn point O sur
la même ligne, ou appelle eintre /larmonique du système par rapport au point 0, nn nouveau point C tel que
ôÂl'^'ôÂi'*' ■*'ôâ;~ôc'
Snt F tin point quelconque du plan ; menons, de ce point, des rajons aux poioto 0, A,, Aa A«,C; montrer que, si on tira une transversale qui rencontre lea rayons
D,gnz.dbvC00gle
:9ux points u, Qi, ai a*, -/,1e point ■/ sera le canlra harmoniqac de t* demior
Ex. ■«. Sait un gysUme da m points A„ Ai A. dlïtriUié» d'une nuière
quelconque dan$ le pUn, et une droite fixe OX ; joignom un poinl qucEcoaque 0 4e la
adroite fixe aux poiota Ai, Ai, A, A^j nienans ensuite une Innsvfrule quelconque
•qoi reueoDlre Ira njooB OX, OA,, OAa OA^ aux points «, u,, a, a Si y est
ile oeotre bimwniqoe du «yslàne Oi, oa d. par rapport an point b, la droJlr O/
:paueM tntijoiirs par un point fixe C, quelle que soit la IraniTenalfl employée etqncl ^ue «oit le point 0 pria sur OX. Le point C *e nomme le centre harmonique du âjitêmephu Al, Ai ... A^ p^r rapporta la droite OX. (Poncuit.)
D,gnz.dbvC00gle
CHAPITKE 111.
