POINT ET LIGNE DROITE
(cnWDONÎlÉM TI
SoHsiiBi. — Caordùnnces Iriangutairrt et polggiutaUi, E^uolion de la ligiu droite. — Pnblèmrt — Coordonniei laH^eiilii-llet, équation du point. — Rapport anAarirumiqut etka''m<iiiiiiie;Aontographit; iitvolution.
% 1 . DÉFIMTIONS ; ÉQUATION DE LA LIGNB DHOITE EN COORDONNÉES TniANGULAinES ET POt.Y<iOMALES.
- pi,B^xcûsat-^ifsinix-
94. Considt^rons un triangle fixe a^y; nous nommerons A, B, C, les eûtes opposés aux sommets a, {3, y, les équalions do ces eôtcs étant
A = o, B = o, C = o, dans lesquelles A ^ a; cos «i -| C ^ a; cos aj+y sin «j — pj.
les coordonnées triangulaires d'un poiut M du plan sont les distances orthogonales MP, HQ, MR de ce point aux côtés du triangle fixe, appelé triangle de riférence. Or, si {x„y,) sont les coordonnées rectangulaires du même point, ces distances sont les nombres positifs ou nëgatirs x< eosai-|-yt sin «1 — pi, X, co3a» + yÉ f'»-»'-
sin ixt — pt, Xt cos (ti-\-i/i sin x, — p^; nous les désignerons par A|, Bi, C<, et les coordonnées d'un point variable par A, B, C. D'après une
D,gnz.dbvC00gle
remarque faite précëdemmeat, l'une quelconque de cea coordonnées triangulairee, par exemple A, sera négative si le point se trouve dins la même région que l'origine par rapport à la droite A, et positive dans la région opposée. Ainsi, dans l'hypothèse où l'origine des coordonnées se trouve dans le triangle, les trois coordonnées du point H sont négatives; pour te point H«, la coordonnée C est seule positive tandis qne pour le point Hi ce serait la coordonnée B qui deviendrait positive etc. Les coordonnées triangulaires sont liées entre elles par la relation — oA — 6B — cC = 2S, où a, bf c désignent les longueurs des cAtés du triangle de référence A S SB surface. En effet, d'après la figure, on a, pour le point H,
triang. H^-j-triang. H/a4~triang. HaJ3i=3triang. ABC; ou Inen
— oAi — 6B, — cCi = aS.
Il est essentiel de remarquer que cette relation existe, quelle que soit la position du point H ; ainsi, pour le point Mt, on a
triang. TA^y 4- triang. M»ya — triang. Hto^ = triang, ABC, on bien
— oAf — fcBi — cCi = aS;
car la coordonnée Ci est positive; il serait facile de vérifier la fonnnle pour toute autre position du point M. Si on désigne par Ai, Ai, Ai les hauteurs du triangle, on a : oAi^^zS, bkt = 2S, gAi=3 2S; et la relation fondamentale peut encore s'écrire
En vertn de cette relation, il suflSt de connaître les rapports dedenx coordonnées h. la troisième pour calculer numériquement chacune d'elles. Supposons, par exemple, que les coordonnées d'un point soient proportionnelles aux quantités f,$,h; on aura
A B C — gA — 6B — cC 2S
7 g~h^ ~af~bg — ch~' af^bg + ck' D'où
A = -— ?/5- B- =yS c^ ^'^ .
af+bg-^ck' af+bg-i~ch' af+bg + <k
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Ud point du plan est aussi déterminé, si on prend pour les coordonnées triangulaires non pas précisément les perpendiculaires cUesmémes, mais ces perpendiculaires multipliées respectivement par des constantes 1, (*, v, c'est-i-dîre en posant :
A' = iA, B'=f*B, C' = vC; A', B', C étant les coordonnées nouvelles; celles-ci sont liées par la relation
oA' bV eC'
Dans le cas particulier ofi A = a, ft='betv^c, on aurait très simplement
— A' — B' — C = îS.
Lorsque les équations des côtés du triangle de référence sont de la forme
aix + bty + e, = o, a»a: + t«y + c» ^ o, a>3c + 6»!/ + c» = o, on peut dire que les coordonnées triaogDlairesd'nn point sont les nombres positifs ou négatifs aiXi4-6,yi-)-ci, atx^~^-bty,■^ct, aiX,-\-b^i-\-Cs; car ces quantités sont proportionnelles aux perpendiculaires A, B, C; on a, dans cette hypothèse, A =p/o,'+6i', (j. = |/o»*-|-V, v = (/oi'+6i'.
Enfin, si on prenait, pour tes coordonnées d'un point, les rapports des
triangles partiels au triangle de référence, e'est-à-dire les quantités
oA 68 cC ...
-i , —, -5 , on aurait simplement
Ce sont les coordonnées triangulaires proprement dites, tandis que les autres se nomment souvent coordonnées tr^inéaireg ou coordonnée* trUqtères. Dans ce cours, nous donnerons toujours le nom de coordonnées triangulaires aux dislances orthogonales A, B, C d'un point aux côtés du triangle de référence.
Arec ce mode de détermination du point, on adopte trois coordonnées, nne de plus qu'il n'en faut pour trouver sa position dans le plan. Ce système présente le grand avantage de conduire k des équations homogènes entre les coordonnées triangulaires pour représenter les lieux géométriques.
Nous nous sommes basés sur les coordonnées cartésiennes dans les définitions précédentes j cependant, la théorie des coordonnées triangu-
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lak!» ftnX être exposée d'une manière indépendante, et c'est ce qae nous ferons gënëralement dans ce qui va suivre. Ce syslème se suffit à lui-même et il est bon de le regarder comme t«l pour ne pas le confondre avec la méthode dite de nolatùm abrégée, comme on l'a fait à l'origine.
Il est quelquefois avantageux, dans certaines questions, de prendre, pour figure de référence, non pas un triangle, mais un polygone d'an certain nombre de côtés. Dans ce cas, on appelle coordonnées polygonalu les distances positives ou négatives d'un point aux côtés du polygone. Comme deux de ces longueurs sufGsent pour fixer la position du point, les coordonnées polygonales ne sont pas indépendantes les uoes des autres : elles ont des valeurs déterminées, quand d'eux d'entre elles sont connues.
Enfin, il est utile de remarquer que le système des coordonnées cai^ tésiennes n'est qu'un cas particulier du précédent. Supposons que l'on prenne le côté ya. (fig. S7) pour axe des x et le côté yj3 pour axes des y; on aura
k'^xtiay, B 1= y sin y.
Soit K la distance du troisième côté a^ à l'origine. Si, dans les formules précédentes, on prend
sin y sin y K'
Admettons maintenant que le côté o^ s'éloigne & l'infini : les quantités C et K augmenteront indéfiniment et leur rapport aura pour limite l'unité. Dans ces conditions, les deux premières coordonnées trilalcres sont X ety et la troisième est égale à l'unité pour tous les points du plan. Le système des coordonnées cartésiennes demande seulement deux axes; mais, on n'y change rien, en supposant un troisième axe à l'inlîni formant un triangle avec les deux autres. On peut ne pas faire mention de la troisième coordonnée qui est l'unité et se servir d'équations non homogènes en x et y; mais, dans beaucoup de cas, il est préférable de désigner la troisième coordonnée par s pour faire usage d'équations homogènes en x, y, s.
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5fi. Trouver Us coordoimie» triangulairea d'un point H (jui tlivist une ligne PQ dans un rapport donné— ■
Soient (A,B,,C|), (A*, Bi, C|) les coordonnées des points P et Q,
et (A, B, C) celles du point M. Abaissons des perpendiculaires sur le
côté A du triangle de référence et menons les parellcles PR et MS.
^, , , . PM m .
D après la question, — ^ — ; mais, par les
triangles semblables, on a
PM MR A — A, MQ~QS~At — A*
d'où Fig. n.
A — Al m . . wAi-f-nAi
7 = — el A= ;
Al — An m + H
On trouverait de la même manière
mBi + nB. mC + iiC,
Les coordonnées du milieu de PQ seront
A, 4- A. B,-fBt C, +C,
fttt. Trouver l'aire d'un triangle dont tes sommets sont : a' (A(, B|, C|), |3' (Ai, B,. Ci), -/ (A„ B„ Cï).
Par les points «', (i', -/ menons des parnllcles ou côté C du triangle de référence, et soit S' la surface cherchée;
S' = trap. VQ^y + trap. QRa'/ — Irap. PR/'^'. Or,
trap. PQVa' = ^(A, + A,) PQ = i(A, + A.) {C'Q - fiP),
car sa hauteur est égale îi la perpendiculaire abaissée du milieu de «('|B' sur le côté A. De plus,
D,„„.db,Coogle
Donc
